Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshållning

Relevanta dokument
EFTERNAMN: FÖRNAMN: PERSONBETECKNING:

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Lösningar kapitel 10

KONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:

Växande och avtagande

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Tentamen i Envariabelanalys 1

17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2

Om för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande

Ma B - Bianca Övning lektion 1. Uppgift nr 10. Uppgift nr 1 Givet funktionen f(x) = 4x + 9 Beräkna f(6) Rita grafen till ekvationen.

MATEMATIK Datum: Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MA2001 Envariabelanalys

III. Analys av rationella funktioner

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

3.1 Derivator och deriveringsregler

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.2. Linjens ekvation kan vi skriva som. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen.

1. Förklara, utifrån definitioner, trigonometriska samband samt det faktum att π 12 = 1 2 π6, varför följande likhet måste gälla exakt : p 2+ arccos

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

SF1625 Envariabelanalys

6 Derivata och grafer

Linjer och plan (lösningar)

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Rävsnäs. Kabelschakt vid stensättningar. Förundersökning i form av schaktningsövervakning

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Gamla tentemensuppgifter

Förändringshastighet ma C

Repetitionsuppgifter. Geometri

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

Uppgift 1-7. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

20 Gamla tentamensuppgifter

Den räta linjens ekvation

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN uppgifter med miniräknare 3

Den räta linjens ekvation

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

Lösningsskisser för TATA

hlager 2: 75 m 3 15 km 17 km h Lager 3: 100 m 3 hlager 5: 100 m 3 15 km 22 km 17 km 17 km 14 km Lager 1: 50 m 3

Övningstentamen i MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp

Funktioner: lösningar

Lösningsskisser för TATA

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

STABILITET FÖR ICKE-LINJÄRA SYSTEM

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Kulstötning. Israt Jahan Martin Celander Andreas Svensson Jonathan Koitsalu

Bedömningsanvisningar

Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshållning

ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Rättelseblad till M 2b

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.

Högskoleverket NOG

4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

vilket är intervallet (0, ).

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Funktioner. Räta linjen

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

En normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner

Transkript:

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift 1: Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Svara på frågorna med hela, logiska satser. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme! 1. Vilka spår av glaciärers framskridningsskede kan du observera i Finlands natur? Hur har de bildats? (5 p) Istiderna har slitit Finlands höjdprofil till en rätt flack och horisontell erosionsta eller ett peneplan. Av denna orsak saknar Finland höga berg. Under den senaste istiden har isen under framskridningsskedet format Finlands markgrund på följande sätt: - Rundhällarna (0,5 p.) har bildats då ismassorna har nött klipporna släta (0,5 p.). Isräfflorna i klippornas ta (0,5 p.) har bildats av stenarna i glaciärens botten (0,5 p.) och de avslöjar isens rörelseriktning (0,5 p.). - Stora flttblock (0,5 p.) har förflttats med isen i allmänhet några kilometer från moderberget (0,5 p.). - U-dalarna (0,5 p.) har bildats så att den framskridande glaciären har transporterat bort den förvittrade berggrunden (0,5 p.). - Isen nötte mineraljorden den transporterade till bitar av olika storlek (0,5 p.) som har bildat vår vanligaste jordmån moränen (0,5 p.). Den morän som transporterats med isbotten bildade den hårt sammanpackade bottenmoränen (0,5 p.) medan jorden på och i isen bildade den lösare fltmoränen (0,5 p.). - Bakom bergsupphöjningar hopades moränrggar eller kullar, s. k. drumliner (0,5 p.)

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift : Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Svara på frågorna med hela, logiska satser. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme!. Vad menar man med geografiska informationssstem och hur kan geografiska informationssstem utnttjas i skogsbruket och skogsindustrin? (5 p) Geografiska informationssstem (GIS, geographical information sstem) är ett datamaskinsstött sstem som kan användas för att samla in, uppbevara, modifiera, analsera och presentera platsanknuten data (1 p.). Utnttjandet av platsanknuten information är omfattande i skogsbruket och skogsindustrin. Skogsplanering bgger på utnttjande av den information som samlats i ett geografiskt informationssstem om träden (0,5 p.), digitala flgfotografier (0,5 p.), kartor (0,5 p.) och jordmånen. På basen av samlade informationen (skogsplanen) fattar man beslut om avverkning och skötselåtgärder för olika skogsplättar och tidtabellen för dessa (0,5 p.). Skogsbolaget (virkesinköparen) planerar med hjälp av sitt geografiska informationssstem den optimala avverkningsordningen för de olika stämplade hggesplatserna (avgränsade områden som skall avverkas) (0,5 p.). En modern avverkningsmaskin har en GPS-positioneringsapparat som anger maskinens läge, den stämplade hggesplatsens gränser och lagerplatser (0,5 p.). I sstemet har man också antecknat de värdefulla naturobjekt som skall sparas(0,5 p.). Även för det avverkade timrets fjärrtransport från vägkanten till fabriken utnttjas geografiska informationssstem (virkestransportbilarna har en GPSpositioneringsapparat) (0,5 p.). När man vet mängden av ett visst slag av virke och lagerplatserna kan man planera transportrutterna och tidtabellerna förnuftigt (0,5 p.).

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift : Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Svara på frågorna med hela, logiska satser. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme!. Förklara följande begrepp a) En endogen händelse (1 p) Med en endogen händelse menar man processer som får sin kraft ur Jordens inre energi (0,5 p.). Endogena händelser är litosfärplattornas rörelse, vulkanismen, jordbävningarna, bergveckningen, markhöjningen och förkastningar (0,5 p. då minst två av dessa nämns i svaret). b) Podsol (1 p) Podsol är en näringsfattig jordmån tpisk för barrträdsbältet (0,5 p.). Podsoljordmånen består av ett surt humuslager (0,5 p.) under vilket finns en ljusgrå urlakningshorisont (0,5 p.) och en rödbrun anrikningshorisont (0,5 p.). Underst finns den opåverkade mineraljorden.

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift : Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Svara på frågorna med hela, logiska satser. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme! c) Storskalig karta (1 p) Med en storskalig karta menar man kartor på vilka man kan visa detaljerade uppgifter från ett litet område (0,5 p.). Ju mindre skalans (t.e. 1:15 000) nämnare är desto större är kartans skala (0,5 p.). Storskaliga kartor är tpiskt detaljplanekartor, temakartor, guidekartor och orienteringskartor (0,5 p. när svaret innehåller minst en av dessa). d) MKB (1 p) Förkortningen MKB betder miljökonsekvensbedömning (0,5 p.). En MKB görs före man börjar stora bggnadsprojekt (0,5 p.). Sftet är att utreda projektens inverkan på naturen och den bebggda miljön (0,5 p.). Stora bggnadsprojekt är t.e. motorvägar, fabriker, bostadsområden och hamnar (0,5 p. när svaret innehåller minst en av dessa). e) Bruttonationalprodukt (1 p) Med bruttonationalprodukten (BNP) menar man det sammanlagda värdet av de producerade varorna och tjänsterna i en stat under ett år (0,75 p.). BNP beskriver statens utvecklingsgrad (0,5 p.).

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift 4: Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Redovisa alla steg i din uträkning. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme! 4. a) Sök det största och minsta värdet för funktionen = i intervallen 10. ( p) Vi deriverar ekvationen = d d och söker derivatans nollställen 0 Vi finner alltså två nollställen. Vi räknar också andra derivatan för dessa d d 0 ) ( dvs. punkten är ett lokalt minimum 0 ) ( dvs. punkten är ett lokalt maimum. De möjliga minimi- och maimivärdena antas i punkterna =, =, = ja = 10 07 4,089 1,911 977 10 10 10 Funktionens minimivärde är 07 och maimivärde är 977

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift 4: Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Redovisa alla steg i din uträkning. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme! 4. b) Bestäm ekvationen för den räta linjen genom punkterna (5,) och (,8). ( p) Förändringar mellan koordinatpunkterna (5,) och (,8) är, = Från detta kan lutningskoefficienten k beräknas: = = 1 Ekvationen kan nu skrivas om till + C, där C är ännu en okänd konstant (där funktionen korsar -aeln) C löses genom att använda en av de givna koordinaterna. Med punkt (5,) ges: = 5 + +5 +5= = 11 Ekvationen är alltså + 11

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift 5: Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Redovisa alla steg i din uträkning. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme! 5. a) Du har till ditt förfogande 00 meter stängsel. Hur kan du avgränsa en så stor ta som möjligt med stängslet då en av sidorna gränsar till en å (dvs. stängslet behövs på tre sidor)? (4 p) Låt os kalla stängselsidan som är parallell med ån för och de två vinkelräta sidorna för. Stängslets totallängd är 00 m, eller + = 00 m Sålunda = 00 m Områdets ta (A) är alltså A eller A ( 00m ) Vi sätter derivatan till 0 da d 00m 4 0 50m A (50 m) = 4 < 0, alltså är detta lokalt maimum för funktionen, alltså = 50 m ja = 100 m, och sålunda A = 5000 m

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift 5: Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Redovisa alla steg i din uträkning. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme! 5. b) Om man har till förfogande ett dubbelt så långt stängsel, hur många gånger större ta kan man då avgränsa? (1 p) Nu + = 400 m sålunda da d 400m 4 0 100m alltså = 100 m och = 00 m vilket ger A = 0000 m och man kan alltså avgränsa en 4 gånger så stor ta

Helsingfors universitet, 0.5.01 Uppgift : Poäng /5 poäng DEL B, 0 p. Redovisa alla steg i din uträkning. Vänligen överskrid inte givet svarsutrmme!. Två bilar startar från samma punkt, den ena mot öster och den andra mot väster. Bilen som färdas västerut rör sig 10 km/h snabbare än bilen som färdas österut. Efter timmar befinner sig bilarna 400 km från varandra. Med hur stora hastigheter färdas de? (5 p) Låt oss anta att bilen i västlig riktning har hastigheten v 1 och den östliga bilen hastigheten v. Vi kan då formulera följande funktionspar: v 1 = v +10 km/h s = (v 1 + v )t s är sträckan = 400 km, t är tiden = h Ekvationen kan nu skrivas: (v + 10 km/h + v )h = 400 km ( v + 10 km/h)h = 400 km ( v + 10 km/h) = 00 km/h v = 190 km/h v = 190 km/h/ = 95 km/h och v 1 = 95 km/h + 10 km/h = 105 km/h