Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella tal. Slutna Bråkräkning: Lösa olikheter. s. 9-11 intervall. Öppna intervall. a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) s. 3-5 Koordinater i plan. (ac + bc)/c = (a + b) Egenskaper hos olikheter s. 9 Funktion, definitionsmängd, värdemängd Def. 1, s. 24. Sammansatta funktioner, s. 35 Graf av en funktion s. 26, och dess egenskaper. s. 26-29 Injektiva (one-to-one) funktioner. Def. 1 Inversa funktioner Def. 2, s. 166, kap. 3.1. Gränsvärde av en funktion. Kap. 1.2, s. 66, s. och s. 89 Def. 8, Höger- och vänster-gränsvärde Def.9, s. 91 Gränsvärden när x går mot oändligheten. x ±. Def 3, s. 75, def. 10, s. 91. Oändliga gränsvärden ±. s. 75, Def. 11, s. 92 Kap. 3.1 kancellations identiteter: f(f 1 (y)) = y och f 1 (f(x)) = x. Injektiva funktioner har invers. Monotona funktioner är injektiva och har invers. Graf till en funktion och dess invers är spegelbild av varandra med avseende på linjen y = x. s. 167 Relation mellan ensidiga gränsvärden och gränsvärde. Th. 2, s. 68. Regler för gränsvärden. Kap. 1.2, Th. 2, s. 69. Gränsvärde av summa (med bevis), Ex. 4, s. 90 Gränsvärde av produkt (med bevis), Ex. 33 s. 93 Gränsvärde av sammansatta funktioner Th. 7, s. 82 Instängningssatsen (Squeeze theorem) kap. 1.2, Th. 4, s. 71 (med bevis) Ex. 38 s. 93. Tips för bevis finns i boken och diskuterades på föreläsning. Gränsvärde av summa, produkt, kvot av funktioner. Gränsvärden när x ±. Gränsvärde av sammansatta funktioner. Bestäm definitionsmängd och värdemängd av en funktion Rita grafer till enkla funktioner. Bestäm om en funktion har invers. Rita grafen till en funktion och dess invers. Beräkna gränsvärde, högeroch vänster-gränsvärden av en funktion. Kunna bevisa att en funktion saknar gränsvärde, vänster-, eller höger-gränsvärde. Måste kunna använda konjugat, beräkna gränsvärden av rationella funktioner o.s.v. Beräkna ett gränsvärde med hjälp av instängningssatsen. Beräkna gränsvärde när x ±. Beräkna gränsvärden då f(x) eller f(x). 1

Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Asymptoter till graf. Bestäm horisontella, vertikala och sneda asymptoter till graf av en funktion. Funktion kontinuerlig, vänster/höger-kontinuerlig i en punkt, diskontinuerlig i en punkt. Kap. 1.4,Def. 4, 5, 6 s. 79, 80 Kontinuerlig utvidgning (continuous extension) s. 82 Hävbar diskontinuitet (removable discontinuity) s. 32 Samband mellan vänster-, höger-kontinuitet och vanlig tvåsidig kontinuitet. Kap. 1.4, Th. 5, s. 79 Summa, produkt, kvot av kontinuerliga funktioner och sammansatta kontinuerliga funktioner ger en kontinuerlig funktion. Th. 6, 7 s. 81, 82. Sammansättning av kontinuerliga funktioner ger en kontinuerlig funktion. Th. 7, s. 82 För en funktion given med formler eller med en graf, bestäm i vilka punkter den är kontinuerlig, diskontinuerlig, vänster-, höger-kontinuerlig. Bestäm om funktion har en hävbar diskontinuitet i en punkt. Bestäm om en funktion f kan utvidgas till en punkt utanför dess definitionsmängd så att funktionen f blir kontinuerlig i den punkten. Kontinuerliga funktioner på ett begränsat slutet intervall. Lutning av graf kap. 2.1, def. 1 s. 97. Derivata kap. 2.2, def. 4, s. 100 Singulära punkter, s. 101. Deriverbar funktion, s. 101 Definition för ln, exp, Def. 6, Th. 1, s. 172, 174. Funktion kontinuerlig på ett begränsat slutet intervall [a, b] antar sitt maximala och sitt minimala värde på [a, b] kap. 1.4, Th. 8 s. 83 Satsen om mellanliggande värde (Intermediate value theorem) kap. 1.4, Th. 9, s. 85 Th. 1 om kontinuitet av deriverbara funktioner. s. 109 Derivata av: summa Th. 2 s. 109, produkt (med bevis) Th. 3, s. 110, reciprok Th. 4, s. 112, kvot (med bevis) Th. 5, s. 113 Derivator av funktioner: x a, e x, ln x, sin x, cos x, tan x, inverser för sin, cos, tan. Kedjeregeln: derivatan av sammansatta deriverbara funktioner. Th. 6, s. 115. Formeln för derivatan av invers funktion (med bevis) s. 168 (lär beviset från anteckningar, det är enklare) Gränsvärde lim x 0 sin(x)/x (med geometriskt bevis) Th. 8, s. 121 Använd Th. 9 för att visa att en ekvation f(x) = 0 med kontinuerlig f har rötter på ett intervall. Derivera komplicerade funktioner med hjälp av formler för: summa, produkt, reciprok, kvot, kedjeregeln. Beräkna derivatan av inversa funktionen till en given funktion. 2

Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Växande, avtagande funktioner. Def. 6 s. 139. Kritiska eller stationära punkter. Kap. 2.8, Th. 13, s. 140 Om f(x) har ett maximum (minimum) i en punkt c på ett öppet intervall (a, b) och f är deriverbar i c så är c en stationär punkt (f (c) = 0) kap. 2.8, Th. 14, s. 141 Bestäm alla kritiska (stationära) punkter av en enkel funktion. Extrempunkter: absolut maximum, minimum, lokalt maximum, minimum. Kritiska punkter, ändpunkter, singulära punkter. s. 234, 235. Högre derivator. Kap. 2.6, s. 127 Funktion konkav uppåt, neråt, inflexionspunkt. Kap. 4.5, def. 3,4, s. 240, 241. Asymptoter till graf av en funktion. Linjär approximation kap.4.9, def.8. Felanalys. Kap. 4.9 s. 269 Taylorpolynom, kap. 4.10, s. 272. Obestämda uttryck (Indeterminate forms) kap. 4.3. Stora O(x n ) beteckning för x 0, Def. 9, s. 276 l Hopitals första och andra regler Rolles sats (med bevis): kap. 2.8, Th. 15, s. 141 Medelvärdessatsen (Mean value theorem) kap. 2.8, Th. 11, s. 137 (med bevis, s.142). Generaliserade medelvärdessatsen kap. 2.8, Th. 16 Kap. 4.4, Th.5, s. 233 (existens av extrempunkter). Th. 6, s. 234 (vilka punkter som kan vara extrempunkter) Test av förstaderivata: Kap. 4.4, Th. 7, s. 236 Test av andraderivata: Kap. 4.5, Th. 10, s. 243 Satser om funktion som är konkav uppåt eller neråt. Andraderivata i en inflexionspunkt a är noll om f (a) finns. Kap. 4.5, Th. 9, s. 242 Feluppskattning för linjär approximation (med bevis): Kap.4.9, Th. 11 s. 270. Allmän formel för Taylorpolynom s. 273. Restterm på Lagranges form Kap. 4.10, Th. 12, s. 275. O(x n ) beteckningen och dess egenskaper s. 277. Taylorutveckla 1/(1 x), exp(x), sin(x), cos(x), ln(1 + x) kring origo. s. 278. l Hôpitals första regel (med bevis) och andra regel. Använd medelvärdessatsen för att uppskatta en funktion med en linjär funktion. Bestäm alla lokala och absoluta extrempunkter till en funktion på ett begränsat intervall. Beräkna högre derivator av en funktion. Bestäm på vilka intervall en funktion är konkav uppåt, eller neråt. Ange inflexionspunkter. Bestäm horisontella, vertikala och sneda asymptoter till graf av en funktion. Skissa graf till en funktion. Ange linjär approximation till en funktion, feluppskattning till den och det intervall där dess värde måste ligga enligt feluppskattningar. Bestäm Taylorpolynom av ordning två till en funktion och intervall där funktionens värde måste ligga, feluppskattning till den. Använd Taylorutveckling för gränsvärdesberäkningar som i Example 9, 10 s. 280. Använd l Hôpitals regel för gränsvärdesberäkningar. 3

Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Rummet R n. Mängder, punkter, vektorer. (ej öppna, slutna mängder, inre, yttre punkter) Kap. 10.1 Vektorer i planet och i rummet Kap. 10.2 s. 570-573. Absolutbelopp längden av vektor. s. 573. Summa, multiplikation med tal, skalärprodukt av två vektorer Def. 3. S. 576, Avstånd mellan två punkter. Projektion av en vektor på annan vektor Def. 4, s. 577. Kryssprodukt, Def. 5 s. 580 geometrisk mening, Determinant. s. 582 Trippelprodukt. Plan i rummet, räta linjer i planet, ekvationer för dem. Geometriska tolkning av koefficienter. s. 589 Formler för summa av två vektorer. Formel för skalärprodukt, cos av vinkel mellan två vektorer, Th. 1, s. 576. Absolutbelopp, avståndet mellan två punkter. Formler för projektioner. Formler för determinanter, s. 582. Formler för kryssprodukt s. 584. Geometrisk formel för kryssprodukt, s. 580. Def. 5, s. 580 Arean av triangel med kryssprodukt, Ex. 3 s. 584. Formeln för trippelprodukt av tre vektorer. Def. 6 s. 584-585. Volym av parallellepiped med trippelprodukt, Ex. 4 s. 584. Beräkna avståndet mellan två punkter. Beräkna skalär och vektorprojektion av en vektor på annan vektor. Beräkna cos av vinkeln mellan två vektorer Bestäm koordinaterna för mittpunkten på en sträcka mellan två punkter i rummet. Användning av kryssprodukt i geometriska problem t.ex. för att beräkna volym, arean, och vinklar mellan vektorer. Bestäm en vektor vinkelrät mot två givna vektorer eller linjer. Bestäm en vektor som är samtidigt parallell med två givna plan. Beräkna trippelprodukt av tre vektorer. Ekvationer för ett plan på fyra former: standard, genom en given punkt s. 588, med sträckor (intercept form) s. 589, normal form s. 588, och deras geometriska mening. Ekvationer för en linje i rummet: på vektor form s. 590, på skalär parametrisk form s. 590, i form av två ekvationer Ex. 6, i standard form Ex. 5, s. 591. Lösning av linjära ekvationssystem. Lay 1.1. Typiska problem med plan och linjer: Ange ekvation for ett plan: a) genom tre givna punkter; b) genom en punkt och en linje; c) genom en punkt och vinkelrät mot en linje; d) genom en punkt och parallellt med annat plan; e) genom en punkt och parallellt med två givna linjer. Ange ekvation for en linje: a) genom två punkter; b) genom en punkt och vinkelrät mot ett plan. d) som är skärningslinjen av två givna plan. Bestäm avståndet mellan en punkt och ett plan (Ex. 7, s. 592) eller en linje (Ex. 8, p. 592). Bestäm avståndet mellan två linjer (Ex. 9, s. 593) eller mellan två parallella plan. Bestäm projektion av en punkt på ett plan eller en linje. Bestäm projektionen av en linje på ett plan. Bestäm om två linjer korsar varandra. Bestäm om fyra punkter ligger i samma plan. Använd ekvationen för planet for att identifiera hur det ligger med avseende på koordinataxlarna. 4

Tentan kommer att bestå av följande typer av problem: Formulering av definitioner, begrepp och satser från listan kan komma som en del i alla tentauppgifter. Formulera och bevisa en sats från listan. Formulera en sats eller definition. Beräkna ett gränsvärde av en funktion. Ange punkter där en given funktion är kontinuerlig, diskontinuerlig, vänster- eller höger-kontinuerlig, eller en hävbar (removable) diskontinuitet. Använd satsen om mellanliggande värde för att visa att en ekvation f(x) = 0 har lösningar (funktionen f har rötter) på ett intervall. Beräkna derivator av första eller högre ordning av en komplicerad funktion. Använd medelvärdessatsen för uppskattningar av typ: f(x a) < L(x a) för en funktion. Bestäm singulära punkter, globala (om de finns) och alla lokala extrempunkter, och inflexionspunkter av en funktion. Bestäm de intervall där en funktion är växande, avtagande, konkav upp eller ner. Ange Taylors formel eller linjär approximation till en given funktioner nära en punkt. Lös ett problem som innebär beräkning av: avstånd mellan punkter, projektioner av vektorer, beräkning av vinklar mellan vektorer o.s.v. i samband med vissa geometriska frågor. Skriv en ekvation för ett plan eller en linje som uppfyller vissa geometriska villkor. Eller tvärtom: bestäm geometriska egenskaper eller parametrar (avståndet, vinklar mellan plan, linjer, eller punkter givna med ekvationer) Beräkning av kryssprodukt kan ingå som delproblem i något geometriskt problem. Lösning av ett linjärt ekvationssystem kan ingå som delproblem i något geometriskt problem. Varje uppgift kommer att ge ett visst antal poäng. Maxpoäng på hela tentan är 50. Beroende på hur fullständig lösning du har skrivit, får du en viss del av poängen för varje uppgift. Summan av dina poäng för hela tentan bestämmer ditt betyg: 20 poäng ger betyg 3; 30 poäng ger betyg 4; 40 poäng ger maximala betyget 5. För mindre än 20 poäng kommer du att få underkänd. Oavsett dina poäng för tentan får du inte betyget för kursen före du har redovisat tre obligatoriska laborationer i Matlab. 5

Att tänka på för att undvika onödiga fel: Kontrollera så ni kan grundläggande beräkningssteg som bråkräkning, faktorisering av andragrads-polynom, räkneregler för exponential och logaritm funktionerna, derivata av produkt och kedjeregeln osv. Singulär punkt betyder att funktionen är definierad och kontinuerlig i punkten, men inte deriverbar i punkten. Lokala extrempunkter: Lokala extrempunkter kan finnas i kritiska punkter, ändpunkter och singulära punkter, så glöm inte kolla alla tre typerna om de finns. Lokala extrempunkter: En kritisk, singulär eller ändpunkt behöver inte vara lokal extrempunkt. Kolla tecknet på derivatan på båda sidor för att avgöra ifall den är det. Absolutbelopp kan normalt hanteras genom att dela upp i två fall. Ena när argumentet är positivt, det andra när det är negativt. Derivatan av en symmetrisk funktion är antisymmetrisk och vice versa. Om f( x) = f(x) så är lim x a + f(x) = { g(x) lim f(x) och lim f(x) = x a x a lim f(x). x a + om x a Antag f(x) = med deriverbara funktioner g(x) och h(x). Funktionen f(x) är kontinuerlig i a om lim f(x) = lim f(x) = f(a), vilket här är h(x) om x > a x a x a+ samma sak som lim g(x) = lim h(x) = g(a). Derivatan för x a blir f (x) = x a x a { g (x) om x < a h (x) om x > a. Observera att x = a inte ingår i det uttrycket. Derivatan f (a) existerar om vänster och högerderivatan av f är lika (f (a) = f +(a)), så om g (x) och h (x) är kontinuerliga så existerar f (a) = g (a) = h (a) om den sista olikheten gäller. Om f (a) inte existerar men f är kontinuerlig i a så är x = a en singulär punkt. Om lim x f(x) är mindre än alla lokala extrempunkter saknas minsta värde på grund av att funktionen inte antar gränsvärdet. Motsvarande gäller även för största värde, gränsvärde mot öppen ändpunkt osv. För att funktionen ska ha ett största eller minsta värde måste det finnas en punkt a D f så att f(a) är största eller minsta värdet. Nära räcker inte. Använd l Hôpitals regler endast för gränsvärden av typ [0/0] eller [ / ]. Ofta är det enkelt att kontrollera svaret. Om man t.ex. räknat ut skärningslinjen mellan två plan så kan man sätta in lösningen i båda ekvationerna för planen som en kontroll. Kontroller kan göras på kladdpapper om man vill. Kontroller kan elliminera många onödiga räknefel. 6