Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet

Innehål Plankurvor Rymdkurvor

Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Längden av en kurva

Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Längden av en kurva Polära koordinater och polära kurvor

Plankurvor (i rektangulära (kartesiska) koordinater) Exempel 1: Linjen i planet 1. Ekvationen på explicitform; som en funktion av en variabel : y = kx + m Om k = 2, m = 1 så blir y = 2x + 1. 2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan koordinater: y kx m = 0 Om k = 2, m = 1 så blir den implicita ekvationen y 2x 1 = 0.

Plankurvor (i rektangulära (kartesiska) koordinater) Exempel 1: Linjen i planet 1. Ekvationen på explicitform; som en funktion av en variabel : y = kx + m Om k = 2, m = 1 så blir y = 2x + 1. 2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan koordinater: y kx m = 0 Om k = 2, m = 1 så blir den implicita ekvationen y 2x 1 = 0. 3. Ekvationen på parameterform (vektorform); som en vektorvärd funktion: Låt P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ) vara två punkter som ligger på linjen. { x = x0 + t(x 1 x 0 ) y = y 0 + t(y 1 y 0 ). där < t <.

Om P 0 = (0, 1), P 1 = (1/2, 2) så får man { x = 0 + t 2. y = 1 + 2t Det finns oändligt många ekvivalenta parameterframställningar. De beskriver samma kurva. Trots detta kan de bestämma olika orienteringar och ha olika rörelselagar!

Exempel 2: Cirkeln med centrum, i (0,0) och radie 2 1. Ekvationen på explicitform; som en funktion av en variabel : y = 4 x 2 2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan koordinater: x 2 + y 2 = 2 2

Exempel 2: Cirkeln med centrum, i (0,0) och radie 2 1. Ekvationen på explicitform; som en funktion av en variabel : y = 4 x 2 2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan koordinater: x 2 + y 2 = 2 2 3. Ekvationen på parameterform; som en vektorvärd funktion av en variabel: { x = 2 cos t. y = 2 sin t där 0 t 2π. Cirkeln är en sluten kurva eftersom f (0) = f (2π) och g(0) = g(2π). Eftersom parametern t är vinkeln mellan x-axeln och radien OP, P(x, y) brukar den betecknas med den grekiska bokstaven θ. Orienteringen given av denna parametrisering är moturs. Det finns oändligt många parameterframställningar. (se t.ex Ex. 6 sid. 471). Cirkeln given ovan är också enkel (det finns inga dubbelpunkter.)

Exempel 3: Ellypsen med centrum, i (0,0) 1. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan koordinater: x2 + y 2 = 1, a, b > 0 a 2 b 2 2. Ekvationen på parameterform; som en vektorvärd funktion av en variabel: { x = a cos t. y = b sin t där 0 t 2π.

Exempel 4: Cykloiden (se sid. 471 i boken) { x = t sin t y = 1 cos t F ör t = 2π fås en punkt på kurvan, där kurvan saknar tangent, trots att både x, y är deriverbara överallt. Kurvan är inte slät..

Definition : En plan kurva är en vektorvärd funktion av en variabel { x = f (t) y = g(t). där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f, g är kontinuerliga funktioner. Om f (a) = f (b) och g(a) = g(b) kallas kurvan sluten. Om f och g antar samma värde i två punkter t 1 och t 2 kallas punkten (x 1, y 1 ) = (f (t 1 ), g(t 1 )) multipel. En kurva som inte har någån multipel punkt kallas enkel.

Definition : En plan kurva är en vektorvärd funktion av en variabel { x = f (t) y = g(t). där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f, g är kontinuerliga funktioner. Om f (a) = f (b) och g(a) = g(b) kallas kurvan sluten. Om f och g antar samma värde i två punkter t 1 och t 2 kallas punkten (x 1, y 1 ) = (f (t 1 ), g(t 1 )) multipel. En kurva som inte har någån multipel punkt kallas enkel. Varje parametrisering bestämer en orientering.

Anta att en kurva är given av två funktioner med kontinuerliga derivator. Om f (t) 0 eller g (t) 0, (t I ) så är kurvan glatt och lutningen y (x) = dy dx (x) = g (t) f (t) eller x (y) = dx dy (y) = f (t) g (t). Alltså, en kurva är glatt med undantag, eventuellt, i punkter där både f och g har derivatan lika med 0. För en slät kurva kan man alltid, teoretiskt, gå från en ekvation (form) till en annan.

Exempel 1: Linjen i rummet x = x 0 + t(x 1 x 0 ) y = y 0 + t(y 1 y 0 ) z = z 0 + t(z 1 y 0 ) där P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) är två punkter på linjen, t I. Om man elliminerar parametern t kan man skriva ekvationen på en ekvivalent form x x 0 = y y 0 = z z 0 u 1 u 2 u 3 där (u 1, u 2, u 3 ) är en riktningsvektor, dvs y = φ 1 (x) och z = φ 2 (x), som skärningen mellan två plan eller ytor..

Definition: En rymd kurva är en vektorvärd funktion av en variabel x = f (t) y = g(t). z = h(t) där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f, g, h är kontinuerliga funktioner. Om f (a) = f (b), g(a) = g(b), h(a) = h(b) kallas kurvan sluten. Varje parametrisering bestämmer en orientering.

Definition: En rymd kurva är en vektorvärd funktion av en variabel x = f (t) y = g(t). z = h(t) där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f, g, h är kontinuerliga funktioner. Om f (a) = f (b), g(a) = g(b), h(a) = h(b) kallas kurvan sluten. Varje parametrisering bestämmer en orientering. Allt annat är som för plankurvor.

Uppgift 1: Visa att r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1 och p(t) = (sin t, 1 cos 2 t), 0 t π/2 är två parameterframställningar för samma kurva. Lösning: Elliminering av parametern mellan de två första ekvationerna medför att y = x 2, 0 x 1, och x 2 = sin 2 t = 1 cos 2 t = y, dvs. samma ekvation, 0 x 1. Observera också att varje kurva är enkel. Kurvan är en parrabel.

Tangentvektorn och tangentens ekvation Kurvan r(t) = (f (t), g(t)) = f (t)i + g(t)j kan också tolkas som banan som en punkt M beskriver i sin rörelse. r(t 0 ) är punkten position vid tiden t 0. är hastigheten och v(t) = r (t) = (x (t), y (t)) a(t) = v (t) = (x (t), y (t)) är accelerationen Samma definitioner för vektorvärda funktioner med tre komponenter, dvs för banor i rymden. r (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 ), z (t 0 ) är alltså tangentvektorn i punkten t 0. Man kan skriva som vanligt tangentens ekvation i denna punkt.

Längden av en slät plankurva Vi antar att kurvan är enkel och slät. Betrakta indelningen Π : a = t 0 < t 1 <... < t i < t i + 1 <... < t n = b av intervallet [a, b], så att alla delintervall har samma längd t. Summan av längderna av alla segment som denna inledning bestämmer är: n 1 S Π = (f (t i+1 ) f (t i )) 2 + (g(t i+1 ) g(t i )) 2 i=0 som enligt medelvärdesatsen kan skrivas n 1 = f 2 (τ i ) + g 2 (σ i )(t i+1 t i ). i=0 Enligt integralens definition fås, att längden av kurvan är S = lim n n 1 i=0 f 2 (τ i ) + g 2 (σ i )(t i+1 t i ) = b a f 2 (t) + g 2 (t)dt.

Bågelement: s(t) är kurvans längd från startpunkten till punkten M(t). Betrakta intervallet [t, t + t]. s = ( x) 2 + ( y) 2 = (f (t + t) f (t)) 2 + (g(t + t) g(t)) 2. Om vi delar med t och låter t 0 får man att s s (t) = lim t 0 t = f 2 (t) + g 2 (t) eller och s(t) = t a s (t)dt s (t)dt = ds = dx 2 + dy 2 s (t)dt = ds kallas å gelement och s(t) båglängd. Samma formel gäller för en rymdkurva.

Uppgift 2 Bestäm längden av kurvan med ekvationen (x, y) = (ln(1 + t 2 ), 2 arctan t), 0 t 1. Lösning: Vi beräknar först x (t) = 2t, y (t) = 2. 1+t 2 1+t 2 Enligt formeln är längden av kurvan: S = = 1 0 1 0 x 2 (t) + y 2 (t)dt = 1 0 4t 2 (1 + t 2 ) 2 + 4 (1 + t 2 ) 2 2 1 + t 2 dt = 2 ln(t + 1 + t 2 ) 1 0 = 2 ln(1 + 2).

Polära koordinater och polära kurvor Istälet för att beskriva positionen av en punkt med hjälp av rektangulära koordinater (x, y) kan man beskriva punkten med hjälp av polära koordinater [r, θ], där r är avståndet från origo till punkten P och θ r vinkeln mellan x-axeln och OP. Vi har det bijektiva sambandet { x = r cos θ y = r sin θ, där r > 0, 0 θ < 2π eller r = x 2 + y 2 och tan θ = y x.kurva i rektangulära koordinater kurva i polära koordinater I många fall blir det lättare att beskriva en kurva i polära koordinater, t.ex cirkeln med radien 1 har ekvationen r = 1 i polära koordinater.

Uppgift(9/ sid 488 i boken ): Beskriv kurvan r = 1 1 cos θ i rektangulära koordinater och identifiera den. Lösning: θ 0. Anta att θ (0, 2π). Om vi använder rektangulära koordinater kan ekvationen skrivas x 2 + y 2 x = 1 eller, efter kvadrering x 2 + y 2 = x 2 + 2x + 1 eller 1 y 2 = 2x som är en parabell. Använd ett program för att rita kurvan

Efter denna lektion bör ni känna igen ekvationerna till de vanligaste kurvorna kunna gå från en ekvation av en kurva till en annan kunna beräkna tangentvektorer till en kurva och skriva tangentens ekvation kunna beräkna längden av en kurva.