et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten Fysik - MB 011
et är beroende av objektets form och av hur massan är fördelad i objektet I r i m i i där I = tröghetsmoment m i = masselement r i = avståndet från m i till t.ex. masscentrum (kan betecknas med L) Fysik - MB 011
Några formler för tröghetsmomentet I cylinder med längden L, fastsatt i längdaxelns mitt: I 1 1 ml cylinder med längden L, fastsatt i ena ändpunkten: I 1 ml 3 Fysik - MB 011
Exempel Bestäm tröghetsmomentet för en klasslinjal (L = 1 m, m = 30 g) då den svänger runt en axel i ena ändan. i mitten. Fysik - MB 011
Exempel lösning Bestäm tröghetsmomentet för en klasslinjal (L = 1 m, m = 30 g) då den svänger runt en axel i ena ändan. i mitten. Rotationsaxeln i ena ändan: I 1 3 ml 0,30 kg1 3 m 0,11 kgm Fysik - MB 011
Exempel lösning Bestäm tröghetsmomentet för en klasslinjal (L = 1 m, m = 30 g) då den svänger runt en axel i ena ändan. i mitten. Rotationsaxeln i mitten: I 1 1 ml 0,30 kg1 1 m 0,07 kgm Fysik - MB 011
Slutsatser Av två föremål är det lättare att få det föremål att rotera vars tröghetsmoment är mindre. Det krävs mindre arbete att bromsa upp en rotation om tröghetsmomentet är litet. Fysik - MB 011
Rotationsrörelsens kinetiska energi kallas också rotationsenergi E r E r 1 Iω där I = tröghetsmomentet ω = vinkelhastigheten Fysik - MB 011
Exempel Ett svänghjul i form av en cirkelrund skiva med massan 150 kg och radien 0,35 m roterar 7 varv per minut. Bestäm hjulets tröghetsmoment och kinetiska energi då rotationsaxeln, som står vinkelrätt mot svänghjulet, går genom dess medelpunkt. Fysik - MB 011
Exempel lösning Ett svänghjul i form av en cirkelrund skiva med massan 150 kg och radien 0,35 m roterar 7 varv per minut. Bestäm hjulets tröghetsmoment och kinetiska energi då rotationsaxeln, som står vinkelrätt mot svänghjulet, går genom dess medelpunkt. Svänghjulets tröghetsmoment: I 1 m r 150 kg0,35 m 9, kgm Fysik - MB 011
Exempel lösning forts. Ett svänghjul i form av en cirkelrund skiva med massan 150 kg och radien 0,35 m roterar 7 varv per minut. Bestäm hjulets tröghetsmoment och kinetiska energi då rotationsaxeln, som står vinkelrätt mot svänghjulet, går genom dess medelpunkt. Svänghjulets kinetiska energi (rotationsenergi): 1 Er Iω (ω π n) I π n 9, kgm π s 1, Fysik - MB 011 6 J
Exempel 5 4 (ur Fysik 4 Mekanik s. 97) En kompakt cylinder med radien 3 cm och massan 150 kg roterar kring sin axel med vinkelhastigheten 1 rad/s. Bestäm cylinderns tröghetsmoment och kinetiska energi. Fysik - MB 011
Exempel 5 4 lösning En kompakt cylinder med radien 3 cm och massan 150 kg roterar kring sin axel med vinkelhastigheten 1 rad/s. Bestäm cylinderns tröghetsmoment och kinetiska energi. 7,7 kgm (7,68 kgm ) 550 J (553 J) Fysik - MB 011
Exempel 5 10 (ur Fysik 4 Mekanik s. 97) Hur mycket skall en 75,0 cm lång homogen stav förlängas för att dess tröghetsmoment skall bli dubbelt så stort? Rotationsaxeln till såväl den nya som den ursprungliga staven är vinkelrät mot staven och går genom dess medelpunkt. Fysik - MB 011
Exempel 5 10 lösning Hur mycket skall en 75,0 cm lång homogen stav förlängas för att dess tröghetsmoment skall bli dubbelt så stort? Rotationsaxeln till såväl den nya som den ursprungliga staven är vinkelrät mot staven och går genom dess medelpunkt. 19,5 cm Fysik - MB 011
Exempel 5 7 (ur Fysik 4 Mekanik s. 97) I en tråd, som fästs i ändan av en stav, fäster man kulor med massan 5 g. Bestäm kulsystemets tröghetsmoment då r = 0,35 m. (se figuren) Fysik - MB 011
Exempel 5 7 lösning I en tråd, som fästs i ändan av en stav, fäster man kulor med massan 5 g. Bestäm kulsystemets tröghetsmoment då r = 0,35 m. (se figuren) Fysik - MB 011
Fysik - MB 011
Ett ämne eller föremål är uppbyggt av masspunkter m 1, m,...m i och avståndet till rotationsaxeln blir då r 1,r,...r i. Masspunkternas banhastigheter blir då v 1 = r 1 v = r o.s.v. Fysik - MB 011
och rotationsrörelsens energi Den kinetiska energin E kin hos en stel kropp, som roterar med konstant vinkelhastighet kring en fast axel blir E kin = ½ (m i r i ) (jmfr med E kin =½ mv ) Fysik - MB 011
Stela kroppars dynamik behandlar rotationsrörelsens grunder Då vi tittade på kinetiken för en stel kropp märkte vi att väg (s) motsvaras av vinkel () hastighet (v) vinkelhastighet () acceleration (a) vinkelacceleration () (translationsrörelse) (rotationsrörelse) Fysik - MB 011