(4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper. ämna n detta första ark med namn på. Ansvarg lärare: Sh- Zhang, 08-790 44 öljande hjälpmedel är tllåtna: A frst course n mathematcal modelng av Gordano, Wer, o Basc sklls n physcs and engneerng scence av Göran Grmvall Kompender och, lnjal och mnräknare, samt engelskt-svenskt lekon. Tentamen består av 8 uppgfter som är uppdelade på följande sätt: 4 st p-delar uppgft, st 6 p-uppgfter (-), samt st p-uppgfter (4-8), vlket ger totalt 80 p. Ungefär 40 poäng behövs för godkänt. äs genom alla tal nnan n börjar räkna. Talen är nte nödvändgtvs ordnade efter svårghetsgrad. Informaton från mer än ett kaptel kan behövas för att lösa ett tal. Uppgft a) Beräkna de första och andra dervatorna av ln( ), med avseende på. ( p) b) Beräkna de första och andra dervatorna av, med avseende på. ( p) c) Beräkna första dervatan av sn ( ) d) Beräkna första dervatan av ( ) a, med avseende på resp.. ( p), med avseende på resp.. ( p) Uppgft Rörelsen av en raket som skjuts rakt fram följer ett förhållande som bäst beskrvs med en dfferentalekvaton: dv dm m u dt dt
B OMTEN 0008 (4) Bevsa att ekvatonen är enhetsenlg, om m representerar raketens massa, v raketens hastghet, t td, total kraft agerande på raketen, dm ändrngen massan, u hastgheten som beskrver hur snabbt dm sker. Eftersom bränsle är en ganska stor andel av totala vkten som raketen måste bära, leder brännngen av bränsle tll en kontnuerlg mnsknng av raketens vkt som blr vktg beräknngen. ör att kunna öka effektvteten och hastgheten när man skjuter en satellt med raketen, brukar man desgna raketen med skljbara behållare för bränsle. Varje behållare skljs från raketen så snart som bränslen använts, vlket också bdrar tll mnsknng av raketens totala vkt. Redovsa delresultat bevsnngen. Uppgft I år kommer 6% ungdomar som söker för att studera på landets unverstet och högskolor får plats. Man undrar om vad denna procent rktgt nnebär absolut antal. Uppskatta hur mycket blr antalet studenter som kommer att skrva n sg vd unversteten och högskolorna. Svara tusental. Redovsa delresultat för uppskattnngen. Uppgft 4 Uppgften handlar om en hypotetsk pensonsbesparng över en vss tdsperod. a) Man har planerat att sätta n 00 kr per månad tll stt pensonssparande. Detta gäller en 0 års perod. Med en månadsränta på %, hur mycket blr slutvärdet av pensonssparandet efter 0 år? b) Banken har sänkt sn ränta på samtlga besparngsformer nkl. pensonssparande. Antar att månadsräntan har sjunkt från % tll 0.%. Med den nya månadsräntan, hur mycket måste månadsnsättnngen bl för att kunna få ut samma slutvärdet efter samma peroden av 0 år? Uppgft I nedanstående tabell vsas fem mätnngar av en lten flckas vkt och längd. Det vsar sg att vkten W ganska väl kan uttryckas som en lnjär funkton av längden : Ålder (månad) ängd, (m) Vkt, W (kg) 0.0.6 0.600.0 0.660 6.4 7 0.680 7.0 9 0.7 7.7
B OMTEN 0008 (4) W a b a) Bestäm konstanterna a och b funktonen med hjälp av mnsta kvadratmetoden, genom att anpassa den lnjära funktonen mot mätseren tabellen. Redovsa dna uträknngar noga, för n delresultaten tabellen. Svara med korrekta enheter. b) Rta en graf där det teoretska resultatet enlgt den lnjära funktonen redovsas tllsammans med mätdata. ( p) c) Hur stort blr det mamala felet (d ma )? Beräkna ett värde samt markera detta grafen. ( p) Uppgft 6 En vktg deponerngsteknk tllverknngen av halvledarkomponenter kallas CVD (chemcal vapor deposton) där en tunnflm deponeras genom en kemkalsk reakton från lämplga gaser. En gång gjorde v ett stude vårt labb Electrum om deponerngen av ksel (S) tunnflmer från slangasen (SH 4 ). em deponerngar erhölls vd olka temperaturer för att kunna studera knetk av kseldeponerngen. V fck olka deponerngshastgheter, se nedanstående tabell: Temperatur, T (K) 690 7 7 79 8 Hastghet, G.0 40 70.0 0.0 0 Hastgheterna har normalserats och en godtycklg enhet används på G. Epermentella resultaten kan väl beskrvas av ett Arrhenus samband mellan G och T: G 0 G e E RT där G 0 är en konstant, R är allmänna gaskonstant som är 8.4 J/(K mol), och E kallas aktverngsenerg för reaktonen. a) Enlgt det ovanstående sambandet, blr ln(g) en lnjär funkton av /T. Gör en lämplg formeltransformerng för att vsa att detta samband faktskt kan skrvas som en rät lnje. ( p) b) Rta grafen för den räta lnjens ekvaton och markera transformerade mätdata samma graf. (4 p) c) Uppskatta konstanterna G 0 och E enlgt grafen.
B OMTEN 0008 4(4) Uppgft 7 När v tllverkar transstorer ksel (S) väer v ofta kseldod (SO ) genom att odera en kselskva en ugn med vattenångsatmosfär vd 000 C. V mäter tjockleken d av SO -skktet ( nm) vd olka oderngs tder t ( mnuter) och resultaten vsas nedanstående tabell: d(nm) 0 7 66 86 9 4 t(mn) 4 8 6 64 a) Bevsa att ett andragradspolynom (andra ordnngen): t ad bd ger en tllräcklg bra modell tll mätseren. b) Uppskatta a och b (ednng: Göra en formeltransformerng tll t d a bd och rta t/d som en lnjär funkton av d). Uppgft 8 V har fått följande modell gven som kan modellera vndkraften på en vagn som rör sg med hastgheten v. kv Aρ Här är A tvärsntts arean för vagnen, ρ är luftens denstet och k är proportonaltetsfaktorn. Beräkna samt osäkerheten med k v A ρ ( 0.0 ± 0.09) m s ( 4.00 ± 0.0) m (.00 ± 0.008) kg m ( p)
(4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 ösnngsförslag Uppgft ln ln a) ( ) d d ln( ) ln d d & ln( ) b) d d d d 4 & 4 c) sn sn sn sn ( ) sn( ) sn( ) sn( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) sn( ) sn( ) sn( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) a a a d) ( ) d a a a a a a ( ) a a a a a a a a & ( ) d a a Uppgft Svar: Ekvatonen är enhetsenlg. Storhet m, dm u, dv dt SI-enhet kg m/s s Nkgm/s dv Vänster led m : (kg) [(m/s)/s]kgm/s dt Höger led termen : kgm/s dm Höger led termen u : (m/s) (kg/s)kgm/s dt
B OMTEN 0008 (4) Uppgft Svar: ca. 6,000 studenter. Räkna med Sverges befolknng 9,000,000 och genomsnttlg lvslängden ~80 år. 9000000/80 år. 0 /år 00000 /år. 6% av denna sffra blr 6,000. Enlgt grats tdnngen Metro :e jul 00, kan 68,900 nya studenter skrva n sg vd landets unverstet och högskolor tll hösten. Uppgft 4 Sparandet beskrvs av dynamska systemet a n r a n b a) a 60? a 0 0, b00, r%.0 Sats s. 0 GW ger sparandet a k som funkton av månaden k a k r k ca, med ab/(-r)00/(-.0)-0000 ör k0, a 0 0r 0 caca ger c-a0000 V beräknar slutvärdet efter 0 år60 månader, d.v.s k60. a 60 r 60 ca.0 60 0000-0000(.0 60 -) 000049496.4 (kr) Svar: Slutvärdet av pensonssparandet blr a 60 49,496.4 kr efter 0 års kontnuerlga besparng. b) b? Samma typ av system som a) men med a 0 0, a 60 49496.4, r0.%.00 ab/(-r) ger ba(-r)-0.00a eller a-00b Enlgt a k r k ca: ör k0, a 0 0r 0 caca ger c-a ör k60, a 60 49496.4.00 60 ca(-.00 60 ) a-.07 (-00b), vlket leder tll b49496.4/(.07 00)47.9 (kr) Svar: Månadsnsättnngen måste ökas tll 48 kr för att kunna få ut samma slutsparandet på 49496.4 kr efter 0 års besparng. Uppgft Svar: a) a-8. (kg), b. (kg/m) b) Se fguren c) Mamalt fel d ma 0.08 (kg) a) f()ab
B OMTEN 0008 (4) (m) W (kg) W f( ) f( )-W 0.0.6 0.809.99.646 0.06 0.600.0 0.6.00. 0 0.660 6.4 0.46 4.70 6. 0.08 0.680 7.0 0.464 4.776 6.976 0.044 0.7 7.7 0..69 7.7 0.0 Σ.8 0.0.00 9.60 Sambanden: W W a W W b leder tll (med värdesffror eftersom och W bara har värdesffror): a(0.0.00 9.60.8)/(.00.8 )-0.864/0.064-8. och b( 9.60.8 0.0)/(.00.8 ).94/0.064. b) Se fguren om grafen. Anpassnngsresultatet, enlgt nbyggt programmet, vsar W-8... Med tanken på avrundnngarna gjorde ovanstående beräknngarna, stämmer de två anpassnngsförsöken varandra mycket väl. c) Mamalt fel d ma 0.08 (kg), vlket också har pekats ut grafen ovan. 4 6 7 8 0. 0. 0.6 0.6 0.7 0.7 Vkt-längd y -8..96 R 0.9996 Vkt (kg) ängd (m) Uppgft 6 a) ln(g)ln(g 0 ) (E/R) (/T), d.v.s. ln(g) är en lnjär funkton av /T, med ln(g 0 ) som skärnngspunkten på ln(g)- aeln och -E/R som lutnngen.
B OMTEN 0008 4(4) b) ör att kunna göra en graf för den räta lnjens ekvaton, behövs ln(g) och /T som beräknas tabellen: /T (/K) 0.00449 0.006 0.00 0.008 0.0098 ln(g).6094.6889 4.48.708 6.9078 eller /T (000/K).449.6..8.98 ln(g).6094.6889 4.48.708 6.9078 7 6 "Eye-balled" lnjen ln(g) 4 0.00 0.00 0.00 0.004 0.00 /T (/K) En negatv lutnng syns, vlket stämmer med lnjära ekvatonen med ett negatvt tecken före E/(RT)-termen. c) ör att uppskatta G 0 och E, kan man göra en eye-fttng eller eye-ball en bäst anpassnngslnje som också vsas grafen. Eftersom anpassnngslnjen jämförs väldgt väl med nästan alla mätdata (transformerade), kan man göra uppskattnngen två olka sätt: ) Ta de två yttersta punkterna tabellen. Sätt n den ena efter den andra lnjära ekvatonen:.6094ln(g 0 ) 0.00449(E/R), vlket ger: ln(g 0 ).60940.00449(E/R) 6.9078ln(G 0 ) 0.0098(E/R) Sätt sambandet ln(g 0 ).60940.00449(E/R) n 6.9078ln(G 0 ) 0.0098(E/R), får man: (6.9078.6094)[0.00449 0.0098](E/R) E/R(6.9078.6094)/(0.00449 0.0098)09 (K), som slutlgen ger: E09 (K) 8.4 [J/(K mol)]70 (J/mol).8 0 (J/mol). Den ssta avrundnngen gör man eftersom mätdata (G) bara har sgnfkanta sffror. Då får v också: ln(g 0 ).60940.00449(E/R).60940.00449 09. och slutlgen: G 0 ep(.)9.6 0. ) äs av värdena på två punkter grafen: vd /T0.00 blr ln(g) 7 samt vd /T0.0047 blr ln(g). Enlgt ln(g)ln(g 0 ) E/(RT), blr lutnngen: -E/R( 7)/(0.0047 0.00)-88 (K), eller E/R88 (K). Detta ger: E88R896 (J/mol).8 0 (J/mol). Använd en av punkterna för att beräkna ln(g 0 ) enlgt lnjära ekvatonen:
B OMTEN 0008 (4) 7ln(G 0 ) 88 0.00, så att ln(g 0 )788 0.00. och G 0.6 0 4. (Mnsta kvadratmetoden ger: E.74 0 (J/mol) och ln(g 0 ).0.) Uppgft 7 a) Konstruera en tabell av :a, :a samt :e ordnngens dfferenskvoter för den gvna mätseren: d(nm) t(s) t d t d t d 0 7 66 4 8 86 6 9 4 64 0.088 0.0690 0.08 0.096 0.468 0.0.7E-4.8E-4.04E-4.044E-4.086E-4 -.064E-07-0.7E-07 0.0E-07 0.4E-07 t Därför att absoluta värdena av är betydlgt mndre än absoluta värdena av d t (> faktor 0 ) samt mnustecken börjar vsa upp, kan man dra slutsatsen att d tadbd är en bra modell. (b) Rta t/d vs. d som vsar en rät lnje. Avskärnngspunkten på y-aeln ger drekt a 0.048 (mn/nm). utnngen får man b (0.-0.0)/000.000 (mn/nm ). Enlgt mnstakvadrat metoden, a0.046 (mn/nm) och b0.000 (mn/nm ). 0.6 y 0.0469 0.000099 R 0.9999 0.4 t/d (mn/nm) 0. 0. 0.08 0.06 0.04 0 00 00 00 400 00 d (nm) d(nm) 0 7 66 86 9 4 t/d(mn/nm) 0.0 0.04 0.06 0.07 0.086 0.08 0.4 Uppgft 8 Svar: 4680 N4.68 0 N 46. N0.0 0 N > (4.68±0.0) 0 N ( m ) ( m ) kg 0.0 4.00.00 4.68 0 N kv Aρ. s m
B OMTEN 0008 6(4) 0.00994 0.0000989.0 0.008 4.00 0.0 0.0 0.09 ρ ρ ρ ρ A A v v A A v v 0.00994 4.68 0 (N)0.046 0 N 0.0 0 N