MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik 2 Slumpvriler Väntevärde Vrins Kvntiler Viktig diskret fördelningr Viktig kontinuerlig fördelningr Centrl gränsvärdesstsen 3 Tvådimensionell slumpvriler och fördelningr Kovrins och korreltion Normlfördelning G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 1 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 2 / 34 Vd är snnolikhet? Reltiv frekvens vid upprepningr: Om en frik tillverkt 1000 000 exemplr v en produkt v vilk 5015 hr något fel så är snnolikheten för en felktighet 0.005 Andelen fll då ett något förekommer: Om i en urn finns 6 svrt och 4 vit kulor och mn slumpmässigt väljer en kul så är snnolikheten tt den är svrt 6 6+4 = 0.6. Ett mått på hur troligt mn nser något vr: Snnolikheten för hård vind imorgon är 70%. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 3 / 34 Snnolikhet, händelser, utfllsrum Mängden v ll tänkr resultt v ett experiment eller ett slumpmässigt försök är utfllsrummet, oft etecknt med Ω. Elementen i utfllsrummet, dvs. enskild resultt v experimentet är elementrhändelser. Händelser är delmängder v utfllsrummet och när mn säger tt händelsen A inträffr, menr mn lltid tt någon elementrhändelse som hör till A inträffr. För vrje händelse A Ω finns det en snnolikhet Pr(A. Snnolikhetsfunktionen skll uppfyll följnde villkor: 0 Pr(A 1 för vrje händelse A. Pr(Ω = 1. Pr( i=1 A i = i=1 Pr(A i om A j A k = då j k. Då gäller också följnde: Pr( = 0. Pr(A B = Pr(A + Pr(B Pr(A B. Pr(Ω \ A = 1 Pr(A. A B Pr(A Pr(B. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 4 / 34
Oeroende Händelsern A och B är oeroende ifll Pr(A B = Pr(A Pr(B, och händelsern A j, j J är oeroende om Pr(A j1 A j2... A jm = Pr(A j1 Pr(A j2... Pr(A jm lltid då j k J, k = 1,..., m, j p j q då p q. Os! Om händelsern A j, j J är oeroende så är A jp och A jq oeroende då j p j k men om A jp och A jq är oeroende för ll j p j k så ehöver inte händelsern A j, j J vr oeroende. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 5 / 34 Betingd snnolikhet Den etingde snnolikheten för händelsen A givet händelsen B är Pr(A B = Pr(A B, Pr(B då mn ntr tt Pr(B > 0. Då händelsen B är given kn mn egräns utfllsrummet från Ω till B och räkn om snnolikhetern för händelsern A B som är delmängder v det ny utfllsrummet. Produktregeln för etingd snnolikhet Av definitionen för etingd snnolikhet följer den sk. produktregeln och mer llmänt Pr(A B = Pr(A Pr(B A, Pr(A 1... A k = Pr(A 1 Pr(A 2 A 1 Pr(A 3 A 1 A 2... Pr(A k A 1... A k 1. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 6 / 34 Totl snnolikhet Om n j=1 A j = Ω, A j A k = då j k och Pr(A j > 0 då j = 1,..., n så gäller n Pr(B = Pr(A j Pr(B A j. j=1 Vrför? Eftersom B = B Ω = n j=1 B A j och (B A j (B A k = då j k så är Pr(B = n j=1 Pr(B A j och enligt definitionen är Pr(A j Pr(B A j = Pr(B A j. Byes formel Om n j=1 A j = Ω, A j A k = då j k, Pr(B > 0 och P(A j > 0, j = 1,..., n så gäller Vrför? Pr(A k B = Pr(A k Pr(B A k n j=1 Pr(A j Pr(B A j. Pr(A k B = Pr(A k B, Pr(B Pr(A k Pr(B A k = Pr(A k B och n Pr(A j Pr(B A j = Pr(B. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 7 / 34 j=1 Klssisk snnolikhet och komintorik Pr(A = Antl fll då A inträffr Totl ntlet möjlig fll Mn ntr lltså tt vrje elementrhändelse är lik snnolik och prolemet lir tt estämm hur mång element det det finns i utfllsrummet Ω och hur mång v dess hör som till mängden A. Produktprincipen Om i en urvlsprocess finns k steg och i steg j finns n j lterntiv, oeroende v vilk vl som gjorts i tidigre steg (men vilk lterntiven är kn ero på vlen så är det totl ntlet lterntiv n 1 n 2... n k. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 8 / 34
Permuttioner, inomilkoefficienter etc. Om det i en mängd finns n element kn dess ordns på olik sätt. (Kom ihåg: 0! = 1 n! = 1 2 3... (n 1 n, Om mn ur en mängd med n element väljer k element och ektr i vilken ordning elementen väljs, kn dett görs på n! n (n 1... (n k + 1 = (n k! olik sätt. Om mn ur en en mängd med n element väljer en delmängd med k element, dvs. inte ektr i vilken ordning elementen väljs, kn dett görs på ( n = k n! k!(n k!, olik sätt. Av dethär följer tt om ett experiment uppreps n gånger så tt händelser vid olik gånger är oeroende så är snnolikheten för tt händelsen A inträffr exkt k gånger ( n k Pr(A k ( 1 Pr(A n k. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 9 / 34 Plock kulor med eller utn återläggning Antg tt i en urn finns s svrt och v vit kulor och tt vi plockr n kulor ur urnn. ( Om vi för vrje kul noterr vilken färg den hr och sedn lägger den tillk i urnn så nvänder vi återläggning. Snnolikheten tt vi s plockr en svrt kul är s+v och för en vit är den v s+v så tt snnolikheten tt vi plockr k svrt och n k vit i en viss given ( k ( n k ordning är s v s+v s+v och då är snnolikheten tt vi plockr k svrt och n k vit i vilken ordning som helst ( ( n s k ( v n k. k s + v s + v ( Om vi däremot inte nvänder återläggning så kommer snnolikheten tt vi plockr en svrt kul tt ero på vilk kulor vi redn plockt och ( snnolikheten tt vi plockr k svrt och n k vit är s ( k v n k eftersom vi kn plock k svrt lnd s svrt på ( s ( s+v n olik sätt och n k vit lnd v vit på ( v n k olik sätt. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 10 / 34 k Slumpvriler och fördelningsfunktioner En (reell slumpvriel (eller stokstisk vriel är en funktion X : Ω R (lltså inte egentligen en vriel där Ω är ett utfllsrum för ett experiment i vilken en snnolikhet är definierd och { ω Ω : X (ω t } är en händelse för ll t R. Om X är en (reell slumpvriel så är dess (kumultiv fördelningsfunktion funktionen F X (t = Pr(X t = Pr ( { ω Ω : X (ω t }. En funktion F : R [0, 1] är en fördelningsfunktion om och endst om 0 F (s F (t 1 då s < t, lim t F (t = 0 och lim t F (t = 1, lim s t+ F (s = F (t då t R. När F är en fördelningsfunktion för X så gäller dessutom tt F (t F (s = Pr(s < X t då s < t, lim s t F (s = Pr(X < t, lim s t+ F (s lim s t F (s = F (t lim s t F (s = Pr(X = t. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 11 / 34 Os! Uttryck som X t och X < t är formellt sett inte händelser (dvs. delmängder i Ω men mn skriver oftst Pr(X t istället för det längre uttrycket Pr ( { ω Ω : X (ω t }. Oeroende slumpvriler De (reell slumpvrilern X j, j J definierde i smm utfllsrum är oeroende om händelsern { X j j }, j J är oeroende för ll j R, j J och då är också händelsern { X j A j }, j J oeroende för ll Borel mängder A j. En slumpvriels snnolikhetsfördelning Slumpvrielns X : Ω R snnolikhetsfördelning (eller r fördelning är snnolikhetsfunktionen Pr X (A = Pr(X A där A R är sådn tt { ω Ω : X (ω A } är en händelse dvs. mängden reell tl är utfllsrummet och snnolikhetern för dess händelser definiers med funktionen Pr X. Om slumpvrielns X fördelning är tex. den sk. normlfördelningen med prmetern µ och σ 2 så skriver mn dess fördelningsfunktion som F N(µ,σ 2 istället för F X. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 12 / 34
Diskret slumpvriler En (reell slumpvriel X är diskret om det finns en mängd A R och positiv tl f X (, A så tt Kontinuerlig slumpvriler En slumpvriel X är kontinuerlig om fördelningsfunktionen är kontinuerlig, dvs. om Pr(X = = 0 för ll R. Oftst ntr mn ändå tt slumpvrieln X hr en täthetsfunktion f X så tt F X (t = f X (. t A Dett inneär tt Pr(X = = f X ( då A och A f X ( = 1 så tt Pr(X / A = 0 och mängden A innehåller högst numrerrt mång element och vi kn nt tt f X (t = 0 då t / A. Funktionen f X är frekvensfunktionen eller snnolikhetsfunktionen för X. F X f X F X (t = t f X (s ds. Dett inneär tt f X (s 0 och f X (s ds = 1. F X F X ( F X ( f X Pr( X = Pr( < X < = F X ( F X ( = f X (s ds. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 13 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 14 / 34 Väntevärde Om X är en diskret slumpvriel med frekvensfunktion f X så är dess väntevärde E(X = Pr(X = = f X (, och om X är en kontinuerlig slumvriel med täthetsfunktion f X så är dess väntevärde E(X = sf X (s ds, i åd fllen förutstt tt summn eller integrlen existerr (dvs. >0 f X ( < eller <0 f X ( < och 0 tf X (t dt < eller 0 t f (t dt <, i nnt fll skriver mn E(X = NN och säger tt slumpvrieln inte hr något väntevärde. Väntevärdet v en funktion v en slumpvriel Om X är en diskret slumpvriel och g är en mätr funktion så är E(g(X = g( Pr(X = = g(f X ( och om X är en kontinuerlig slumpvriel med täthetsfunktion f X så är E(g(X = g(sf X (s ds. Om g(t = 1 då t A och g(t = 0 nnrs (och då skriver mn oft g = 1 A så är E(g(X = Pr(X A, dvs. också snnolikheter kn skrivs som väntevärden. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 15 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 16 / 34
Vrins och stndrdvvikelse Om slumpvrieln X hr ett väntevärde så är dess vrins och dess stndrdvvikelse är on Vr(X = σ 2 X = E ( (X E(X 2, D(X = σ X = Vr(X. (Oserver tt vrinsen ldrig är negtiv! Fördelen med stndrdvvikelsen är tt den hr smm enhet som X och tt D(αX = α D(X då α är något reellt tl medn Vr(αX = α 2 Vr(X och Vr(X hr enheten m 2 om X tex. hr enheten m (men vrinsen hr ndr stor fördelr. Väntevärdet är linjärt och monotont Ifll X 1 och X 2 är två slumpvriler (definierde i smm utfllsrum, som hr ändlig väntevärden och c 1 och c 2 är reell tl så är E(c 1 X 1 + c 2 X 2 = c 1 E(X 1 + c 2 E(X 2, och om dessutom Pr(X 1 X 2 = 1 så är E(X 1 E(X 2. En följd v dethär är tt (där 1 är en slumpvriel som får värdet 1 med snnolikheten 1 Vr(X = E ( (X E(X 2 = E ( X 2 2X E(X + E(X 2 = E(X 2 2E(X E(X + E(X 2 E(1 = E(X 2 E(X 2. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 17 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 18 / 34 Vrinsen v summn v två slumpvriler Ifll X 1 och X 2 är oeroende slumpvriler (definierde i smm utfllsrum så är Vr(c 1 X 1 + c 2 X 2 = c 2 1 Vr(X 1 + c 2 2 Vr(X 2, om c 1 och c 2 är reell tl och i llmänhet (förutstt tt vrinsern är ändlig gäller Vr(c 1 X 1 + c 2 X 2 = c 2 1 Vr(X 1 + 2c 1 c 2 E ( (X 1 E(X 1 (X 2 E(X 2 + c 2 2 Vr(X 2. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 19 / 34 Kvntiler Antg tt X är en slumpvriel med fördelningsfunktion F X och 0 < p < 1. Om F X hr en invers funktion så är x p = F 1 X (p slumpvrielns X och dess fördelnings p-kvntil. I llmänhet är x p en p-kvntil ifll Medinen är en 0.5-kvntil. Pr(X < x p p Pr(X x p, Pr(X > x p 1 p Pr(X x p. Kvntilern är inte nödvändigtvis entydig men de existerr lltid. Oft väljer mn som p-kvntil mittpunkten på intervllet med ll p-kvntiler. 0.9 0.5 1 1 2 x 0.4 [ 1, 1] x q = 2, q [0.5, 0.9] G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 20 / 34
Kvntiler, forts. I mång eräkningr i sttistik ildr vi först en testvriel U, vrs fördelningsfunktion F U och täthetsfunktion f U vi känner till (åtminstone pproximtivt. Sedn estämmer vi tl och så tt Pr(U < = p och Pr(U > = p där vnligtvis p = p men ilnd är det en tlet 0. Om fördelningsfunktionen F U hr en invers funktion så får vi = F 1 U (p och = F 1 U (1 p 1 p f U F U p p p Med hjälp v dess tl och och definitionen v testvrieln kn vi sedn räkn ut det vi verkligen är intresserde v. Ifll U som här är kontinuerlig så är Pr(U < = Pr(U och Pr( U = Pr( < U < = 1 p p. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 21 / 34 Någr viktig diskret slumpvriler och ders fördelningr Jämn diskret fördelning: Pr(X = x i = 1 n, i = 1, 2,..., n och mn ntr tt x i x j då i j. Bernoullifördelning X Bernoulli(p, 0 p 1: Pr(X = 1 = p, Pr(X = 0 = (1 p dvs. X (ω = 1 då ω A Ω och X (ω = 0 då ω Ω \ A där Pr(A = p. E(X = p och Vr(X = p(1 p. Binomilfördelning X Bin(n, p, n 0, 0 p 1: ( n Pr(X = k = p k (1 p n k, k = 0, 1,..., n. k X är summn v n oeroende Bernoulli(p-fördelde slumvriler, dvs. experimentet uppreps n gånger med oeroende resultt och händelsen A, med snnolikheten p inträffr X gånger. E(X = np och Vr(X = np(1 p. Poisson-fördelning X Poisson(λ, λ 0: λ λk Pr(X = k = e, k = 0, 1, 2,.... k! Fås som gränsvärde v inomilfördelningen då n och np λ. E(X = Vr(X = λ. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 22 / 34 Någr viktig diskret slumpvriler och ders fördelningr, forts. Hypergeometrisk fördelning X HyperGeom(N, r, n 0 n, r N: ( r N r k( Pr(X = k = n k ( N n. Om mn plockr n kulor ur en urn som innehåller r vit och N r svrt kulor så är X ntlet vit kulor mn plockt. E(X = nr N, Vr(X = nr N N r N N n. N 1 Geometrisk fördelning X Geom(p: Pr(X = k = (1 p k 1 p, k 1. Ett experiment uppreps tills händelsen A med snnolikheten p hr inträfft och X är ntlet upprepningr. E(X = 1 1 p och Vr(X = p. p 2 Negtiv inomilfördelning X NegBin(p, r, 0 < p 1, r 1: Ett experiment uppreps tills händelsen A med snnolikheten p hr inträfft r gånger och X är ntlet upprepningr, dvs. X är summn v r oeroende Geom(p-fördelde ( slumpvriler. n 1 Pr(X = n = p r (1 p n r. r 1 E(X = r r(1 p p, och Vr(X =. p 2 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 23 / 34 Någr viktig kontinuerlig slumpvriler och ders fördelningr Likformig kontinuerlig fördelning (där < < < : { 1 f X (t =, t, 0, t < eller t >. E(X = 1 1 2 ( + och Vr(X = 12 ( 2. Normlfördelning X N(µ, σ 2 : f x (t = 1 σ (t µ 2 2π e 2σ 2. E(X = µ, Vr(X = σ 2 (, och F N(µ,σ 2 (t = F t µ N(0,1 σ Exponentilfördelning X Exp(λ, λ > 0: { λe λt, t 0, f X (t = F X (t = 1 e λt, t 0. 0, t < 0, E(X = 1 λ och Vr(X = 1 λ 2. Oserver tt som prmeter oft nvänds väntevärdet µ = 1 λ. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 24 / 34.
Smndet melln Poisson- och exponentilfördelningen Kunder nländer till en servicepunkt med oeroende och Exp(λ-fördelde intervll om och endst om ntlet kunder som kommer inom ett intervll med längden T är en slumpvriel som hr en Poisson(λT -fördelning och ntlet kunder som nländer inom disjunkt tidsintervll är oeroende. I dett fll är väntevärdet längden v tidsintervllet melln två nkomsttider 1 och väntevärdet v ntlet kunder som nländer λ inom ett tidsintervll med längden T är λt. Om... < T 1 < T 0 < T 1 < T 2 <... så gäller U (,] = { j : T j (, ] } är Poisson(λ( -fördeld då < och U (1, 1] och U (2, 2] är oeroende om ( 1, 1 ] ( 2, 2 ] = om och endst om T j+1 T j oeroende och Exp(λ-fördelde för ll j. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 25 / 34 Summn v två oeroende slumpvriler mm. Antg tt X och Y är två oeroende slumpvriler så tt X hr täthetsfunktionen f X och Y hr fördelningsfunktionen F Y. (Motsvrnde resultt gäller också då X är diskret. Om och A(s B(s för ll s R så är Pr(X (, ], Y (A(X, B(X ]= = Slumpvrielns X + Y fördelningsfunktion är f X (s Pr(Y (A(s, B(s] ds f X (s ( F Y (B(s F Y (A(s ds. F X +Y (t = Pr(X + Y t = Pr(X (,, Y t X = f X (s Pr(Y t s ds = f X (sf Y (t s ds. Om Y hr täthetsfunktionen f Y så hr X + Y täthetsfunktionen f X +Y (t = f X (sf Y (t s du. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 26 / 34 Centrl gränsvärdesstsen Ifll slumpvrilern X 1, X 2,... är oeroende och hr smm fördelning så tt E(X j = µ och Vr(X j = σ 2, j = 1, 2,..., så gäller dvs. 1 n n j=1 X j µ n j=1 = j nµ σ 2 nσ 2 N(0, 1 då n, n ( n lim Pr j=1 X j nµ n nσ 2 Normlpproximtion t t = F N(0,1 (t def 1 = e 1 2 s2 ds. 2π Om X är summn v tillräckligt mång oeroende slumpvriler med ändlig vrins så är X E(X ungefär N(0, 1-fördeld. Vr(X Tvådimensionell slumpvriler och fördelningr Ifll Ω är ett utfllsrum på vilket en snnolikhetsfunktion är definierd så är (X, Y : Ω R 2 en tvådimensionell slumpvriel med fördelningsfunktion F XY (s, t = Pr(X s, Y t förutstt tt { ω Ω : X (ω s, Y (ω t } är en mängd för vilken snnolikheten är definierd. En tvådimensionell slumpvriel (X, Y är diskret och den hr frekvensfunktionen f XY (, ifll f XY (, 0 för ll och, f XY (, = 1 och Pr(X =, Y = = f XY (, för ll och. En tvådimensionell slumpvriel (X, Y är kontinuerlig och hr täthetsfunktion f XY (s, t ifll f XY (s, t 0 för ll s och t, f XY (s, t ds dt = 1 och F XY (s, t = s t f XY (u, v du dv för ll s och t. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 27 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 28 / 34
Mrginlfördelningr Ifll f XY (, är frekvensfunktionen för den diskret tvådimensionell slumpvrieln (X, Y så är mrginlfrekvensfunktionern för slumpvrilern X och Y f X ( = Pr(X = = f XY (, och f Y ( = Pr(Y = = Ifll f XY (s, t är täthetsfunktionen för den kontinuerlig tvådimensionell slumpvrieln (X, Y så är mrginltäthetsfunktionern för slumpvrilern X och Y f X (s = f XY (s, t dt och f Y (t = f XY (,. f XY (s, t ds. Väntevärden Om (X, Y är en tvådimensionell slumpvriel och h(x, y är en mätr funktion så är E ( h(x, Y = h(, f XY (,, då (X, Y är en diskret slumpvriel och summn existerr och E ( h(x, Y = h(s, tf XY (s, t ds dt, då (X, Y är en kontinuerlig slumpvriel med tähetsfunktion och integrl existerr. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 29 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 30 / 34 Oeroende slumpvriler Om (X, Y är en tvådimensionell slumpvriel (diskret eller kontinuerlig med täthetsfunktion så gäller X och Y är oeroende f XY (x, y = f X (xf Y (y. Om X och Y är oeroende och f och g är mätr funktioner så gäller E(f (X g(y = E(f (X E(g(Y. Kovrins och korreltion Kovrins då Vr(X < och Vr(Y < : Cov(X, Y = E ( (X E(X (Y E(Y = E(XY E(X E(Y. Korreltion eller korreltionskoefficient: Cov(X, Y Cor(X, Y =, 1 Cor(X, Y 1 Vr(X Vr(Y då 0 < Vr(X < och 0 < Vr(Y <. Om X och Y är oeroende är Cor(X, Y = 0 men om korreltionen är 0 så är X och Y inte nödvändigtvis oeroende, om inte (X, Y är normlfördeld. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 31 / 34 Betingde fördelningr Ifll (X, Y är en diskret tvådimensionell slumpvriel med frekvensfunktion f XY (, eller en kontinuerlig tvådimensionell slumpvriel med täthetsfunktion f XY (s, t så är f Y X ( = f XY (,, då f X ( > 0, f X ( den etingde frekvensfunktionen respektive täthetsfunktionen för Y givet X =. { E(Y X = = f Y X ( eller tf Y X (t dt E(Y X är en slumpvriel så tt E(Y X (ω = E(Y X = X (ω då ω Ω. E(E(Y X = E(Y. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 32 / 34
Den tvådimensionell normlfördelningen Slumpvrieln (X, Y är normlfördeld om vrje linjärkomintion αx + βy är normlfördeld. Om (X, Y är normlfördeld så är också X och Y normlfördelde, dvs. X N(µ X, σ 2 X och Y N(µ Y, σ 2 Y. Om (X, Y är normlfördeld och Cov(X, Y = 0 (så tt också ρ XY = Cor(X, Y = 0 så är X och Y oeroende. Om (X, Y är normlfördeld, σ 2 X > 0, σ2 Y > 0 och ρ XY ±1 så är 1 2 1 f Y X (t s = e 2πσY 1 ρ 2 XY ( σ t µ Y ρ Y 2 XY σx (s µ X σ Y 1 ρ 2 XY dvs. ( σ (Y X = s N µ Y + ρ Y XY σ X (s µ X, (1 ρ 2 XY σ2 Y, och motsvrnde resultt gäller för (X Y = t. Ifll (X, Y är normlfördeld, σx 2 > 0, σ2 Y > 0 och ρ XY ±1 så hr (X, Y täthetsfunktionen ( 1 (t µ X 2 f XY (t, u = 1 2(1 ρ 2πσ X σ Y 1 ρ 2 e 2 XY σ X 2 + (u µ Y 2 σ Y 2 2ρ XY (t µ X (u µ Y σ X σ Y XY Os! Om (X, Y är en slumpvriel så tt X är normlfördeld och Y är normlfördeld så är inte slumpvrieln (X, Y nödvändigtvis normlfördeld. Om X och Y är oeroende normlfördelde slumpvriler så är (X, Y normlfördeld. Om X j N(µ j, σj 2, j = 1,..., n är oeroende så är ( j=1 c n jx j N j=1 c jµ j, n j=1 c2 j σ2 j. Tillk till väntevärdet Om (X, Y är normlfördeld så tt X och Y hr smm fördelning N(µ, σ 2 och korreltionskoefficienten ρ XY = Cor(X, Y ±1 så gäller E(Y X = s µ = ρxy s µ < s µ. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 33 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 34 / 34