=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,



Relevanta dokument
===================================================

===================================================

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.

Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med r

2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Tvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.

=============================================== Plan: Låt vara planet genom punkten )

TENTAMEN. Datum: 5 juni 2019 Skrivtid 14:00-18:00. Examinator: Armin Halilovic, tel

Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 4: Geometriska transformationer och plottning av figurer

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:

Lösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Tentamen i El- och vågrörelselära,

sluten, ej enkel Sammanhängande område

Sammanfattning av STATIK

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Tor 25 sep 2014, kl 13:15-17:15

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten i Griths.

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Tentamen 1 i Matematik 1, HF jan 2016, kl. 8:15-12:15

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Datum: xxxxxx. Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Denna. Uppgift Låt u och w. Uppgift 2x. Uppgift.

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

===================================================

Magnetiskt fält kring strömförande ledare Kraften på en av de två ledarna ges av

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2015, kl. 8:15-12:15

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O

För att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd.

i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning?

Betygsgränser: För. Skriv endast på en. Denna. Uppgift. 1. (2p) 2. (2p) Uppgift. Uppgift 1) 4. Var god. vänd.

TENTAMEN. Datum: 11 feb 2019 Skrivtid 8:00-12:00. Examinator: Armin Halilovic Jourhavande lärare: Armin Halilovic tel

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Vektorgeometri för gymnasister

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Datum: 11 feb Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Uppgift. Uppgift 2 2. Uppgift. Beräkna.

Räta linjer: RÄTA. Därför PM. Eftersom. x y z. (ekv1) Sida 1 av 11

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

I ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0

7 Elektricitet. Laddning

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

Storhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

Tentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp

14. Potentialer och fält

Sidor i boken KB 6, 66

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

Lösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

UPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E

14. Minsta kvadratmetoden

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Vektorgeometri och funktionslära

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Vektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson

SF1624 Algebra och geometri

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

Repetition inför tentamen

Vektorgeometri för gymnasister

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

= ( 1) ( 1) = 4 0.

LE2 INVESTERINGSKALKYLERING

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Vektorgeometri för gymnasister

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

Vektorgeometri för gymnasister

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 Datum: 17 dec 2018 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic

REDOVISNINGSUPPGIFT I MEKANIK

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 3 (1-48)

Transkript:

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räta linje och plan RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linje: Låt L vaa den äta linjen genom punkten P = x, y, som ä paallell med vekton v = v, v, v ) 0. 2 3 P v Räta linjens ekvation på paametefom en vektoekvation) x, y, = x, y, z ) + t v, v, ) 2 v3 Räta linjens ekvatione på paametefom: te skaläekvatione) = x + t v y = y + t v2 z = z + t v3 =============================================== Plan: Låt π vaa planet genom punkten P = x, y, som ha nomalvekton N = A, B, C) 0 ; låt vidae M x,y, vaa en godtycklig punkt i planet. Då ä PM vinkelät mot nomalvekton N. Däfö ha vi följande ekvatione: Planets ekvation på vektofom: ) N = 0 dä = OM = x, y,, = OP = x, y, ) och O=0,0,0) z Planets ekvation på koodinat fom allmän fom, vesion ) : A x x ) + B y y ) + C z z ) 0 = Efte föenkling ha vi Planets ekvation på allmän fom vesion 2) : Ax + By + Cz + D = 0 P N M Om planet ä paallell med två icke-paallella vektoe a och b skilda fån 0 då kan planets ekvation skivas på paametefom: = + sa + tb elle x, y, = x, y, + s ax, ay, az ) + t bx, by, bz ). Annat skivsätt med kolonnvektoe) x x ax bx y = y + s ay + t by z z az bz ===============================================

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Övningsuppgifte: 2 Räta linje och plan Uppgift. En ät linje gå genom punktena A=,2,3) och B=3,4,0). Bestäm linjens ekvation. v = AB = 2,2,7) ä en iktningsvekto. Linjens ekvation på paametefåm : x,y,=,2,3)+t2,2,7) Sva: x,y,=,2,3)+t2,2,7) Uppgift 2. Ett plan gå genom punkten A=,3,). Planet ä paallell med vektoena u =,2,3) och v =,,2 ). Bestäm planets ekvation a) på paametefom N b) på fomen Ax + By + Cz + D = 0. v a) x,y,=,3,)+t,2,3)+s,,2) b) N = u v =,, ). u Planets ekvation: A x x) + B y y) + C z = 0 x ) + y 3) z ) = 0 x + y z 3 = 0 Sva: Planets ekvation: x + y z 3 = 0 Uppgift 3. Ett plan gå genom punktena A=,, 2) och B=,5,2) och C=3,0,2). Bestäm planets ekvation. N = AB AC = 20,6, 6) Vi kan använda punkten A och vekton N 2 = 0,8, 3) som ä paallell med N ). A x x ) + B y y ) + C z z ) = 0 0 x ) + 8 y ) 3 z + 2) = 0 0x + 8y 3z 24 = 0 Sva: Planets ekvation: 0 x + 8y 3z 24 = 0 Uppgift 4. Ett plan gå genom punktena A=,,2) och B=,2,3). Planet ä paallell med linjen x, y, = 3,4,5) + t2,,) Bestäm planets ekvation. Vektoena u = AB = 0,, ) och linjens iktningsvekto v = 2,, ) Bestäm planets ekvation. N = u v = 0,2, 2). Planets ekvation: ä paallella med planet

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR A x x ) + B y y ) + C z z ) = 0 0 x ) + 2 y ) 2 z 2) = 0 2 y 2z + 2 = 0 Sva: Planets ekvation: y z + = 0 3 Räta linje och plan Uppgift 5. En ät linje gå genom punkten A=,2,0). Linjen ä otogonal vinkelät) mot planet x + y + 3 z + = 0. Bestäm linjens ekvation. Planets nomal v =,,3 ) ä en ä en iktningsvekto. Linjens ekvation på paametefåm : x,y,=,2,0)+t,,3) Sva: x,y,=,2,0)+t,,3) Uppgift 6. En ät linje gå genom punkten A=,2,0). Linjen ä paallell med skäningslinjen mellan planen x + y + z 3 = 0 och x + 2 y + 3z + = 0 Bestäm linjens ekvation. Vi löse systemet med Gaussmetoden: + y + z 3 = 0 + y + z 3 = 0 x + 2y + 3z + = 0 y + 2z + 4 = 0 En fi vaiabel z=t. y = 4 2t x = 3 y z x = 7 + t dvs x = 7 + t y = 4 2t z=t Alltså ha skänings linje ekvation x,y,=7, 4,0)+t, 2,) Den sökta linjen ha samma iktnings vekto men gå genom punkten A. Däfö: x,y,=,2,0)+t, 2,) Sva: Linjens ekvation ä x,y,=,2,0)+t, 2,) Uppgift 7. Bestäm eventuella skäningspunkte mellan linjen x,y,=,0,0)+t,2,) och följande plan: a) x + y + z + 3 = 0 b) x y + z = 0 c) x y + z = 0 Fån x,y,=,0,0)+t,2,) ha vi

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 4 Räta linje och plan = + t L : y = 2t z = t a) Vi substituea linjens ekvatione x = + t, y = 2t och z = t i planets ekvation x + y + z + 3 = 0 och få + t + 2t + t + 3 = 0 t = Fö t = ha vi x=+t = 0, y=2t = 2 och z = t =. Dämed ha vi fått en skäningspunkt P 0, 2, ) b) Vi substituea linjens ekvatione x = + t, y = 2t och z = t i planets ekvation x y + z = 0 och få + t 2t + t = 0 0 = Ingen lösning c) Vi substituea linjens ekvatione x = + t, y = 2t och z = t i planets ekvation x y + z = 0 och få + t 2t + t + = 0 0 = 0, sant fö vaje t vaje punkt på linje ligge i planet. Sva: a) P 0, 2, ) b) Ingen lösning c) Linjen ligge i planet. Uppgift 8. Bestäm eventuella skäningspunkte mellan följande linje x,y,=,2,3)+t,,) och x,y,=3,5,7)+s,2,3). Linjenas ekvatione kan skiva som x = + t = 3 + s L : y = 2 + t, L2 : y = 5 + 2s z = 3 + t z = 7 + 3s Vi löse systemet: + t = 3 + s t = 2 + t = 5 + 2s s = 3 + t = 7 + 3s Häav x=2, y=3 och z=4 Sva: Skäningspunkten ä P=2,3,4). Uppgift 9. Vi betakta två ymdfakoste i ett lämpligt vald koodinatsystem. En ymdfakost ö sig längs banan x, y, =2+3t, +2t, 3+7t) dvs fakosten befinne sig i punkten x,y, vid tidpunkten t.

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 5 Räta linje och plan En annan ymdfakost ö sig länga banan x,y,= +3t,6 t, +4t). a) Kocka fakostena? Motiveing kävs!) b) Skä fakostenas bano vaanda? Motiveing kävs!) a) Sva: Fakostena kollidea ej eftesom systemet 2 + 3t = + 3t + 2t = 6 t 3 + 7t = + 4t sakna lösninga b) Både fakostena ö sig längs äta linje. Deas bano ha följande ekvatione: L: 2+3t, +2t, 3+7t) L2: +3s,6 s, +4s) Vi söke skäningen mellan linjena och få ekvationssystemet 2 + 3t = + 3s + 2t = 6 s 3 + 7t = + 4s som ha lösningen s=3, t=2. Sva: Banona skä vaanda. Fakost ä i skäningspunkte vid tidpunkten t=2 tidsenhete; fakost 2 ä i samma punkt vid tidpunkten t=3 tidsenhete. Uppgift 0. Ett plan α ha en nomalvekto n =,0,3). Punktena A =,0,) och B =,2,) ligge i planet α. Låt L beteckna den linje som gå genom punktena A och B. a) Bestäm en vekto i planet α som ä vinkelät mot linjen L. 2p) b) Bestäm en vekto i planet α som bilda 45 gades vinkel mot linjen L. 2p) a) Vekton u =,2,),0,)=0,2,0) ä linjens iktningsvekto. Vi söke en vekto som ligge i planet och som ä vinkelät mot linjens iktningsvekto. Alla vektoe som ligge i planet ä vinkeläta mot n =,0,3). Däfö ä v vinkelät mot både n =,0,3) och u = 0,2,0). En sådan vekto ä i j k 0 3 3 0 v = n u = 0 3 = i j + k = 6i + 2k = 6,0,2) 2 0 0 0 0 2 0 2 0 b) Vi nomea vektoena u och v : u v 3 Beteckna u ˆ = = 0,2,0) = 0,,0 ) och v ˆ = = 6,0,2) =, 0, ). u 4 v 40 0 0

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 6 Räta linje och plan Vinkeläta enhetsvektoena û och vˆ spänne upp en kvadat. Däfö bli vinkeln mellan o diagonalen u ˆ + vˆ ) och linjen som bestäms av û lika med 45. Alltså ä vekton 3 3 d = uˆ + vˆ = 0,,0) +, 0, ) =,, ) 0 0 0 0 en vekto som bilda 45 gades vinkel mot linjen. 3 Anmäkning: Den anda diagonalen uˆ vˆ =,, ) bilda också en 45 gades 0 0 vinkel mot linjen. Sva a) 6,0,2) elle en annan vekto paallell med 6,0,2), till ex. 3,0, ) ) b) En lösning ä 3,, ) 0 0 3 Vaje vekto som ä paallell med 3,, ) elle med,, ) ä också en 0 0 0 0 lösning) Uppgift. Låt θ vaa vinkeln mellan tedimensionella elle tvådimensionella vektoe a och b θ θ vaa. Bestäm en vekto som bilda vinkeln med a och samma vinkel med b. 2 2 a Som en lösning kan vi ta diagonalen i den omb vas sido ä enhetsvektoe a b och. Alltså a b d = + b a b Sva: En lösning ä a b d = +. Vaje vekto av typ kd, k > 0 ä också en lösning. a b