3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area?

Relevanta dokument
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: Derivator

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

3.1 Derivator och deriveringsregler

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

Övningsuppgifter på derivator för sf1627, matematik för ekonomer (rev. 1) Produktregeln: derivera

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Matematik och grafik i mikroekonomiska modeller

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

vinkelräta (1p) då a r = (0,1,0), b r =(0,1,2k) och c r =(1,0,1)? b) Beräkna arean av triangeln ABC då (2p) A= ( 3,2,1), B=(4,3,2) och C=(3,3,3)

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

20 Gamla tentamensuppgifter

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

MA2001 Envariabelanalys

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

Lösningar kapitel 10

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

Tillämpad Matematik I Övning 3

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Repetitionsuppgifter. Geometri

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

a) 4a + a b) 4a 3a c) 4(a + 1)

REPETITION 2 A. a) 4a + a b) 4a 3a c) 4(a + 1)

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

MIKROTEORI N \: ~ 1-ou

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Lösning till kontrollskrivning 1A

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

Gamla tentemensuppgifter

Föreläsning 3-4. Produktionsteori. - Produktionsfunktionen - Kostnadsfunktionen. - Sambandet mellan marginalkostnad, marginalprodukt och lön

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

DEPARTMENT OF ECONOMICS SCHOOL OF ECONOMICS AND MANAGEMENT LUND UNIVERSITY ELASTICITETER

MATEMATISK INTRODUKTION. Innehåll

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

SF1625 Envariabelanalys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lipschitz-kontinuitet

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Matematik D (MA1204)

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.

Planering för kurs C i Matematik

Tentan ger maximalt 100 poäng och betygssätts med Väl godkänd (minst 80 poäng), Godkänd (minst 60 poäng) eller Underkänd (under 60 poäng). Lycka till!

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Lösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

UPPSALA UNIVERSITET Envariabelanalys IP1/Hösten L.Höglund, P.Winkler, S. Zibara Ingenjörsprogrammen Tel: , ,

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Fråga 3: Följande tabell nedan visar kvantiteterna av efterfrågan och utbud på en viss vara vid olika prisnivåer:

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

10 Derivator och tillämpningar 1

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

Transkript:

Dagens 30 aug: a, 2, 3, 5, 6.. Låt Q vara antalet producerade enheter. Bestäm a. Marginalvinsten för vinstfunktionen π(q) = 3Q + Q + 2. Marginalintäkten för intäktsfunktionen R(Q) = ( + 2Q) 3/2. c. Marginalkostnaden för kostnadsfunktionen C(Q) = Q + 900 + Q 30. Tips: Vi söker derivatan för motsvarande funktion. Jämför med Eample 2 på sidan 66 och Problem 7 på sidan 68. 2. Ett företag har kostnadsfunktionen C(Q) = Q 3 20Q 2 + 5000Q. Bestäm företagets marginalkostnad. Bestäm den kvantitet Q som minimerar marginalkostnaden och marginalkostnadens storlek vid denna kvantitet. 3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area? 4. Hur snabbt förändras arean av en cirkel med avseende på radien då radien är 5 m? 5. Radien på en cirkel ökar med den konstanta hastigheten 3 cm/s. Hur snabbt ändras cirkelns area vid den tidpunkten då radien är 0 cm? Tips: Arean vid tiden t s kan beskrivas med funktionen A(t) = πr 2 (t) cm 2. Vi söker A (t) då r(t) = 0 och r (t) = 3. 6. En rak cirkulär kon med toppvinkeln 90 placeras med spetsen vänd nedåt. Konen fylls med vatten med hastigheten 5 dm 3 /min. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är h = 2 dm? Tips: Vattens volym V = πr2 h = πh3, där r och h förändras 3 3 med tiden t, dvs V (t) = πh3 (t). Vi söker dh dv. Vi vet att = 5. 3 dt dt 7. En rak cirkulär kon placeras med spetsen vänd nedåt. Basytans radie är R = 6 m. Höjden är H = 8 m. Konen fylls med vatten med hastigheten 0. m 3 /min. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är h = 4 m? Tips: Vattens volym V = πr2 h, där r = 3h. Både r och h 3 4 förändras med tiden t, dvs V (t) = 3πh3 (t). Vi söker dh då vi 6 dt vet att dv = 0.. dt 2. a. 3 + 2Q c. + ( + Q) 2 900 + 2Q 2. Marginalkostnad är C (Q) = 3Q 2 240Q + 5000. Minsta värde är 200 då Q = 40. 3. Förändras med hastigheten = / πa enheter/enheter 2. A = cirkrelns area. 4. Med hastigheten = 0π m 2 /enhet. 5. Hastigheten = 60π cm 2 /s. 6. Hastigheten = dh dt = 5 dh dm/min. 7. Hastigheten = 4π dt = 90π m/min.

Dagens 3 aug: b, 2c, 3, 4, 6.. Förenkla följande uttryck så längt det går: 2 2 a. + 2 2 2 3 4.5 c. 4 2 45 + 20 2 + 3 d. e. 5 27 8 6 3 + 2 e 2 e +. 2. Beräkna derivatan f () och förenkla svaret så långt som möjligt då f() ges av a. e d. e 2 + e / c. ( )e 2 e. e 2 + e. 3. a. Bestäm det intervall där funktionen y = ( + 2) 2 e är konkav. Bestäm funktionens största värde i detta intervall. 4. För vilka värden på konstanten a är f() = (2 2 + a + )e 2 en väande funktion? 5. Visa att (2 3)e 2 e 2. 6. Produktionskostnaderna per vecka för Q ton av en vara uppgår till C(Q) kr. Ge en ekonomisk tolkning av derivatan C (50) = 6000. Antag att veckans produktion är för närvarande 50 ton som kan såljas för 600 kr/ton. Lönar det sig att öka produktionen?. a. 0 c. 2 d. 5 e. e e 2. a. 2 e / c. (2 )e 2 2 ( + 2)e 2 e d. (2 + )e +2 e. ( + ) 2 ( ) 2 3. a. Konkav i intervallet 2 < < 2. Största värdet är 4 som antas för = 0. 4. 2 < a < 2. 6. Marginalkostnad C (50) C(5) C(50) 6000 etra kostnad för produktion av ton nummer 5. Eftersom den kan säljas för 600 kr, så det lönar sig att öka produktionen.

Dagens 3 sep: a, 2b, 3c, 4, 5a. Förenkla följande uttryck så längt det går: a. e ln 2 ln e 3 e 3 ln c. ln e 2 + ln 2 e ln e 5 d. ln(e 3 + e 2 ) e. 4 ln 6 ln 3 2 ln( 2 ) ln( + ) 2 2. Beräkna derivatan f () och förenkla svaret så långt som möjligt då f() ges av 2 a. ln ln c. ln ( + + + 2 2 ) d. 2 e. ln 2 + ln(ln ) 3. Beräkna derivatan f () (det kan vara aktuellt med logaritmisk derivering) och förenkla svaret så långt som möjligt då f() ges av a. e (e ) c. ( ) d. / ln e. ( 2 + + 2 ) 5/3 ( 2 ) +. 4. Det kostar B() kronor att kopiera stycken bilder. Hur mycket kostar det (approimativt) att kopiera 5 bilder om B(50) = 75 och B (50) = 0.0? 5. Bestäm alla intervall där funktionen f är väande. a. f() = ln( 2 + ) f() = ln(3e 2 + 2e 3 ) + 2 2 c. f() = +. 2. a. 6 3 c. 5 d. 2 + ln( + e) e. 0 2 ln 2 + ln 2. a. 2 4 c. 2 4 2 + d. 2 ln 2 e. + 2 ln 3. a. e ( + ln ) 2e 2 c. 2 ( ) (ln + ) 5(2 + ) 2/3 5 2 + 2 d. 0 e. ( + 2) 8/3 2 + 4. B (50) B(5) B(50) 0.0 kostnad för kopiering av den femtioförsta bilden. B(5) B(50) + 0.0 = 75.0. 5. a. < och > 5 > 0 c. > 0

Dagens 4 sep:, 2, 3, 4, 5.. Beräkna derivatan y (0) till den funktion y() som definieras genom sambandet 3 + 2 y + y 3 + y = 2, y(0) =. 2. Funktionen y = y() är en lösning till ekvationen 3 + e +y + 2 + y + = 0 så att y( ) =. Bestäm derivatorna y ( ) och y ( ). 3. Bestäm en ekvation för tangenten i punkten (, 0) till kurvan 2 + y 2 = y y. 4. Bestäm en linjär approimation till funktionen f() = (7 + ) 2/3 i närheten av punkten =. Använd resultatet för att beräkna ett närmevärde till talet (8.) 2/3. 5. Betrakta funktionen f() = ln( + 4) + + 2. a. Beräkna derivatan f (0). Bestäm en linjär approimation till f() i närheten av = 0. c. Använd denna approimation för att beräkna ett närmevärde till f(0.). 6. Funktionen y = y() definieras genom sambandet a. Bestäm derivatan y (). e 3+4y + 4 + 3y =, y(0) = 0. Visa att y är en strängt avtagande funktion. 7. Visa att 2 + e 3 + 4 för nära 0. 8. Beräkna differansen y = f( + d) f() och differentialen dy = f ()d då f() = 2 + 3 + samt = 2 och d = /0.. y (0) = 0. 2. y ( ) = 3, y ( ) =. 3. + y =. 4. Linjär approimation f() 4 + 3 ( ). Närmevärde (8.)2/3 4.033333333. 5. a. f (0) = f() + 5 c. f(0.).5 6. a. y () = 3e3+4y + 4 4e 3+4y + 3 Observera att y () < 0 för alla. 7. Vi har f() = 2 + e 3 f(0) + f (0) = + 4. 8. y = 7/00, dy = 7/0.

Dagens 5 sep:, 2a, 3, 4, 5.. När priset sjunker från 50:- till 30:- förändras efterfrågan på en produkt från 000 till 500. Bestäm priselasticitet i detta prisintervall. 2. Bestäm elasticitet för funktionen y = y() (a och b är konstanter), då a. y = a + b y = (a + b) ln c. y = + 4 + 2 3. En varas efterfrågefunktion är Q(p) = ae bp, där Q(p) är såld kvantitet och p är priset. Bestäm efterfrågans priselasticitet uttryckt i a, b och p. 4. Betrakta funktionen f() = 6 +. a. Beräkna derivatan f (0). Bestäm en linjär approimation till f() i närheten av = 0. c. Använd denna approimation för att beräkna ett närmevärde till f(0.8). 5. Funktionen y = y() definieras genom sambandet e 4+5y 5 4y =, y(0) = 0. a. Beräkna derivatan y (0). Bestäm en ekvation för tangenten i punkten (0, 0) till kurvan e 4+5y 5 4y =. c. Beräkna derivatan y (0). 6. En vara har efterfrågefunktionen D(p) = ae 0.005p, där p är priset per enhet. Bestäm efterfågans priselasticitet vid priset p = 50. Beräkna med den approimativa formeln för elasticitet den procentuella ökningen i efterfrågan då priset minskar från 50 till 45 kronor per enhet, och jämför med det eakta värdet. Tips: Eample 2 på sidan 229. 7. Låt f och g vara differentierbara funktioner av variabel. Visa följande regeln för elasticiteter: El (f()g()) = El f() + El g(). 8. En varmkorvsförsäljare möter en efterfrågan av Q(p) = 80 5p, där p är priset i kronor per korv. Vad är efterfrågans elasticitet El vid priset p = 0 kronor? Vid vilket pris är El = (när är varan enhetselastisk)?. Prisändring = 50 30 % = 40%. Efterfrågeändring = 500 000 % = 50% 50 000 Priselasticitet i detta prisintervall = Efterfrågeändring/Prisändring = 50/40 =.25. 2. a. a a+b a a+b + ln c. (+2)(+4) 3. bp. 4. a. 4 + c. 4. 8 8 5. a. y = c. 8. 6. El p D(p) = 0.25, enligt den approimativa formeln skulle ökningen i efterfrågan vara 2.5%. Eakta värdet är 2.53%. 8. Elasticitet vid priset 0 kr är 5. Elasticitet är vid priset 6 kronor.