MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna 4 (totalt poäng) är korta frågor på det grundläggande materialet och du behöver endast ge kortfattade lösningar och svar. På uppgifterna 6 9 (totalt 9 poäng) skall du ge fullständiga lösningar. Skriv väl, motivera och förklara vad du gör; endast välformulerade lösningar ger full poäng! Betygsgränser: - 9 p. ger betyget 3, 3-39 p. ger betyget 4 och 4 eller mer betyget 5. Lösningar kommer att läggas ut på kurshemsidan första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK.. Låt v =, v = 3, v 3 = och v 4 = (a) Skriv v 4 som en linjärkombination av v, v, v 3. (b) Bestäm en bas för Span{v, v, v 3, v 4 }.. Bestäm standardmatrisen för den linjära avbildning T från R till R som motsvarar medurs rotation kring origo med vinkeln π/3, av punkter i y-planet (t.e. är T(, ) = (, 3) och T(, ) = ( + 3, 3)). 3. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y + 4y = e. (5p) 4. (a) Beräkna 4 + d (b) Ange en Riemannsumma för f() = + på intervallet [, 4] (p) (Riemannsumman behöver ej beräknas men du skall tydligt motivera varför ditt svar kan tolklas som en Riemannsumma) (5p) Till uppgifterna 5 9 skall du lämna in fullständiga lösningar. 5. Låt R vara det område i y-planet som begränsas av kurvan y = e samt linjerna = och y =. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området R roterar kring -aeln. [ ] 6. Låt A = 4 (6p) (a) Bestäm tre elementära matriser E, E, E 3 som är sådana att E E E 3 A = I. (b) Antag att E, E, E 3 är sådana att E E E 3 A = I. Vilken matris ger då produkten E3 E E? (p) (c) Antag att E, E, E 3 är sådana att E E E 3 A = I. Vilken matris ger då produkten E E E 3? (p) Vänd! (4p)
7. Det var jul hemma hos familjen Jansson när värmesystemet i deras hus plötsligen slutade fungera. Temperaturen utomhus var vid händelsen C medan det inne i huset var C varmt. En timme efter händelsen hade temperaturen i huset sjunkit till 6 C. Familjen bedömde att de kunde stanna kvar i huset så länge som temperaturen inte understeg C. När var det dags för familjen att packa väskorna och ge sig iväg till en varmare plats? Tips: Det är rimligt att anta att temperatursänkningen per tidsenhet är proportionell mot skillnaden mellan inner- och yttertemperatur (Newtons avsvalningslag). Om y(t) är temperaturen i huset t timmar efter att värmesystemet gått sönder så är i så fall y = k(y ( )) för någon proportionalitetskonstant k. (5p) 8. (a) Hur definieras e i, då är ett reellt tal och i är den imaginära enheten? (p) (b) Skriv i på polär form (dvs. på formen re iθ ). (p) (c) Visa att e i e iy = e i(+y). 9. Visa att en kvadratisk matris A är inverterbar om och endast om deta. (6p)
Formelblad Trigonometriska formler sin( + y) = sin cos y + cos sin y cos( + y) = cos cos y sin sin y tan( + y) = tan + tan y tan tan y sin = cos = cos + cos Några integraler (integrationskonstanter är utelämnade) + a d = a arctan a, a >. a d = arcsin a, a >. d = ln + a. + a + a d = ( + a + a ln + ) + a f () d = ln f() f() + a d = ln + + a, a. Uttryck i integranden a Substituera = a sin(θ), = a cos(θ) a +, a + = a tan(θ) Förskjutningsregeln Om P (D)y = y + ay + by, dvs P (D) = D + ad + b så är P (D)z()e α = e α P (D + α)z() Det räcker att P (D) är en linjär differentialoperator med konstanta koefficienter
MATEMATIK LÖSNINGSFÖRSLAG till tenta 7 dec 9 Chalmers tekniska högskola TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B. Låt v =, v = 3, v 3 = och v 4 = (a) Skriv v 4 som en linjärkombination av v, v, v 3. Lösning: v 4 = v + v + 3 v 3 Systemets totalmatris är; T = 3 3 3 3 = = T Så det finns oändligt med lösningar, vilka kan beskrivas på parameterform enl; 3 = + s, s R 3 Speciellt ger s = lösningen = 3, =, 3 = så v 4 = 3v + v Svar: t.e. v 4 = 3v + v (b) Bestäm en bas för Span{v, v, v 3, v 4 }. Lösning: Span{v, v, v 3, v 4 } = ColT där T är totalmatrisen från deluppgift (a). Enligt Sats i kursen så bildar pivotkolonnerna i T en bas för ColT. Vi ser att den reducerade matrisen T i deluppgift (a) har en pivotplats i första och andra kolonnen så motsvarande kolonner i T bildar en bas för ColT så; Svar: t.e. så bildar v, v en bas för Span{v, v, v 3, v 4 }. Bestäm standardmatrisen för den linjära avbildning T från R till R som motsvarar medurs rotation kring origo med vinkeln π/3, av punkter i y-planet (t.e. är T(, ) = (, 3) och T(, ) = ( + 3, 3)). Lösning: Kolonnerna i avbildningens standardmatris A är bilden av standardbasvektorerna e, e. Eftersom T(, ) = (cos ( π/3), sin ( π/3)) = (/, 3/) och T(, ) = ( sin ( π/3), cos ( π/3)) = ( 3/, /) så får vi; [ ] / 3/ A = [T(e ) T(e )] = 3/ / Alternativt kan vi använda informationen i uppgiften som säger att T(, ) = (, 3) och T(, ) = ( + 3, 3). Linjäriteten ger då att; T(, ) = T(, ) = (, 3) = (/, 3/) T(, ) = (T(, ) T(, )) = ( 3, ) = ( 3/, /) [ ] / 3/ Svar: Standardmatrisen för T är 3/ /
3. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y + 4y = e. (5p) Lösning: Karakteristiska ekvationen r +4 = har lösningarna r = ±i så motsvarande homogena ekvation har lösningarna y h = C cos + C sin. Som partikulärlösning ansätter vi; y p = Ae. Insättning i differentialekvationens vänsterled ger då; 4Ae +4(Ae ) = 8Ae, vilket blir samma som högerledet e om A = 8, så y p = 8 e är en partikulärlösning. Den allmänna lösningen till differentialekvationen får vi nu genom att addera homogenlösningarna till partikulärlösningen; Svar: Lösningarna till differentialekvationen har formen y = C cos + C sin + 8 e 4. (a) Beräkna 4 + d Lösning: 4 + d = = 4 [ 3 ln ( ) + ln ( + ) 3 ( )( + ) d = ] 4 4 ( /3 + /3 ) d = + = 3 ln 3 + 3 ln 6 3 ln 4 = ln 3 3 ln (5p) Svar: ln 3 3 ln (b) Ange en Riemannsumma för f() = på intervallet [, 4] + (p) (Riemannsumman behöver ej beräknas men du skall tydligt motivera varför ditt svar kan tolklas som en Riemannsumma) Lösning: En Riemannsumma för funktionen f() på intervallet [, 4] har formen n f(ξ i )( i i ) i= där = < < <... < n = 4 och ξ i [ i, i ], för i =,..., n. Med n = och =, = 3, = 4, samt ξ = 3, ξ = 4, så får vi speciellt; i= f(ξ i )( i i ) = f(3)(3 ) + f(4)(4 3) = 3 + 4 47 (= 8 9.5) Svar: t.e. 3 + 4 8 Till uppgifterna 5 9 skall du lämna in fullständiga lösningar. 5. Låt R vara det område i y-planet som begränsas av kurvan y = e samt linjerna = och y =. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området R roterar kring -aeln. Lösning: V olymen = Alternativt; ln V olymen = ( π π(e ) ) d = ln π ( e e ) d = π [e ] ln e = π πy ln ( + y) dy = π [ y ln ( + y) ] π y + y d = (6p)
= π ln π ( ) ] y + + y dy = π ln π [ln ( + y) + y y = π Svar: Volymen är π (v.e.) 6. Låt A = [ 4 ] (a) Bestäm tre elementära matriser E, E, E 3 som är sådana att E E E 3 A = I. Lösning: Varje elementär matris motsvarar en elementär radoperation. Vi behöver därför identifiera tre radoperationer som överför A till identitetsmatrisen I. (4p) A = [ 4 ] rad rad [ 4 ] rad rad [ ] rad [ [ ] Byte av rad och rad motsvarar multiplikation med matrisen [ ] Addition av rad till rad motsvarar multiplikation med matrisen [ ] Multiplikation av rad med motsvarar multiplikation med matrisen så [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = 4 }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} E E E 3 A I Svar: t.e. E = [ ] [, E = ] [, E 3 = ] ] (b) Antag att E, E, E 3 är sådana att E E E 3 A = I. Vilken matris ger då produkten E3 E E? (p) Lösning: E E E 3 A = I A = E3 E E Svar: A (c) Antag att E, E, E 3 är sådana att E E E 3 A = I. Vilken matris ger då produkten E E E 3? [ ] Lösning: E E E 3 A = I E E E 3 = A = [ ] Svar: A = (p) Vänd!
7. Det var jul hemma hos familjen Jansson när värmesystemet i deras hus plötsligen slutade fungera. Temperaturen utomhus var vid händelsen C medan det inne i huset var C varmt. En timme efter händelsen hade temperaturen i huset sjunkit till 6 C. Familjen bedömde att de kunde stanna kvar i huset så länge som temperaturen inte understeg C. När var det dags för familjen att packa väskorna och ge sig iväg till en varmare plats? Tips: Det är rimligt att anta att temperatursänkningen per tidsenhet är proportionell mot skillnaden mellan inner- och yttertemperatur (Newtons avsvalningslag). Om y(t) är temperaturen i huset t timmar efter att värmesystemet gått sönder så är i så fall y = k(y ( )) för någon proportionalitetskonstant k. Lösning: (5p) y = k(y ( )) y ky = k d dt (e kt y) = ke kt e kt y = e kt + C y = + Ce kt Vidare får vi att; { y() = y() = 6 { { = + C C = 3 6 = + Ce k k = ln 6 3 3 = ln 5 ( ) 3 t ln 3 t så y = + 3e 5 = + 3. 5 Vi vill nu ta reda på vid vilken tidpunkt som y(t) =. y(t) = = + 3 ( ) 3 t 5 3 = ( ) 3 t t = ln 3 5 ln 3 5 (.83) Svar: Familjen Jansson bör lämna huset efter ln 3 ln 3 5 timmar. 8. (a) Hur definieras e i, då är ett reellt tal och i är den imaginära enheten? (p) (b) Skriv i på polär form (dvs. på formen re iθ ). (p) Svar: t.e. e π 4 i (c) Visa att e i e iy = e i(+y). 9. Visa att en kvadratisk matris A är inverterbar om och endast om deta. (6p)
Formelblad Trigonometriska formler sin( + y) = sin cos y + cos sin y cos( + y) = cos cos y sin sin y tan( + y) = tan + tan y tan tan y sin = cos = cos + cos Några integraler (integrationskonstanter är utelämnade) + a d = a arctan a, a >. a d = arcsin a, a >. d = ln + a. + a + a d = ( + a + a ln + ) + a f () d = ln f() f() + a d = ln + + a, a. Uttryck i integranden a Substituera = a sin(θ), = a cos(θ) a +, a + = a tan(θ) Förskjutningsregeln Om P (D)y = y + ay + by, dvs P (D) = D + ad + b så är P (D)z()e α = e α P (D + α)z() Det räcker att P (D) är en linjär differentialoperator med konstanta koefficienter