polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

Relevanta dokument
3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Gamla tentemensuppgifter

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

4 Fler deriveringsregler

8 + h. lim 8 + h = 8

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1

20 Gamla tentamensuppgifter

6 Derivata och grafer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Sidor i boken KB 6, 66

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Moment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

Funktioner. Räta linjen

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Matematik CD för TB = 5 +

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Upphämtningskurs i matematik

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =

Kontrollskrivning KS1T

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

MA2001 Envariabelanalys

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

a = a a a a a a ± ± ± ±500

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

10 Derivator och tillämpningar 1

PRÖVNINGSANVISNINGAR

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

5B1134 Matematik och modeller

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

Matematik D (MA1204)

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

FÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

f (a) sin

Allt du behöver veta om exponentialfunktioner

Mer om generaliserad integral

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

Transkript:

Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler, för att derivera de flesta funktioner. Dessa regler finns dessutom i formelsamlingen. Vi kommer nu under tre föreläsningar att lära oss regler för att derivera polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Det är dessa funktionstyper du måste kunna derivera i denna kurs. I nästa kurs kommer du att lära dig derivera trigonometriska funktioner (sin x, cos x, tan x). Vi bestämde i förra föreläsningen Från detta slöt vi oss till att f(x) = x f (x) = 1 f(x) = x 2 f (x) = 2x f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 Regel I: f(x) = x n f (x) = n x n 1 Åtminstone när eltalet n 1. Vi ser nu detta som en deriveringsregel. Vilken derivata ar då f(x) = 3x 2? Vi tillfogar alltså en koefficient. Vi visar derivatan med dess definition: f (x) = f(x + ) f(x) = 3(x + )2 3x 3x 2 + 6x + 3 2 3x 2 = Vi låter gå mot 0 = 3(x2 + 2x + 2 ) 3x 2 (6x + 3) lim(6x + ) = 6x 0 = 6x + Vi visste från tidigare att f(x) = x 2 ar derivatan f (x) = 2x. Nu kan vi se att f(x) = 3x 2 ar derivatan f (x) = 3 2x = 6x. Vi ar en ny regel: Regel II: f(x) = k x n f (x) = k nx n 1 = Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Att funktionen f(x) = 7 ar derivatan f (x) = 0 ser vi genom derivatans definition f (x) = f(x + ) f(x) = 7 7 = 0 Vi beöver inte ens ta till gränsvärde för att inse detta. Regel III: f(x) = k f (x) = 0 Den fjärde regeln vi beöver är Regel IV: Ett polynom får deriveras termvis. Du vet ju att två termer skills åt av ett + eller. Nu är vi redo att derivera att polynom, vilket som elst med jälp av de fyra reglerna vi slagit fast ovan. Ett exempel Vi ar funktionen f(x) = 3x 7 4x 3 + x 2 100 oc kan snabbt fastställa dess derivata till f (x) = 3 7x 6 4 3x 2 + 2x = 21x 6 + 12x 2 + 2x Vi ar deriverat var oc en av de fyra termerna i polynomet var oc en för sig efter de regler vi känner till 1 Bestäm f (x) till f(x) = 4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 1 2 Bestäm f (3) då Först bestämmer vi derivatan Sedan bestämmer vi f (x) = 16x 3 + 9x 2 + 4x + 1 f(x) = 3x 4 + 2x f (x) = 12x 3 + 2 f (3) = 12 3 3 + 2 = 12 27 + 2 = 326 3 Finns det flera funktioner var derivata är f (x) = 3x 2 + 2x Håkan Strömberg 2 KTH Syd

Om vi deriverar baklänges (integrerar) får vi f(x) = x 3 + x 2 Är detta det enda svaret? När man inser att både oc g(x) = x 3 + x 2 + 1 (x) = x 3 + x 2 + 1000 förstår man att det finns oändligt många polynom som ar denna derivata. 4 Om vi startar med funktionen f(x) = 3x 3 + x 2 + x så kan man derivera den oc få f (x). Om man sedan i sin tur deriverar f (x) får man en funktion man kallar f (x). Hur länge kan man derivera f(x) innan resultatet blir 0? Alla ögre derivator är förstås 0. 5 Bestäm f (x) = 0 då f (x) = 9x 2 + 2x + 1 f (x) = 18x + 2 f (x) = 18 f IV (x) = 0 f(x) = x3 3 x2 2 6x Vi bestämmer först derivatan f (x) = 0 då Vi ar att lösa en andragradsekvation f (x) = x 2 x 6 x 2 x 6 = 0 x 2 x 6 = 0 1 x = 1 ± + 24 2 4 4 x = 1 ± 5 2 2 x 1 = 3 x 2 = 2 Derivatan ar två nollställen x = 3 oc x = 2. Vad innebär det att f (x) = 0? Vi tar en titt på graferna till f(x) oc f (x). Håkan Strömberg 3 KTH Syd

5-3 -2-1 1 2 3 4-5 -10 Figur 1: Vilken graf är vilken? 6 Bestäm a i f(x) så att f (3) = 14 f(x) = 3x 2 + ax + 3 Vi deriverar oc åller i minnet att a är en konstant. f (x) = 14 då som ger a = 4. 7 Beräkna f (0) då f (x) = 6x + a 6 3 + a = 14 f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d där a, b, c, d är konstanter Dels gäller det att skilja på f (x) = 0 oc f (0). Vi deriverar: f(0) ger då 8 Derivera f (x) = 3ax 2 + 2bx + c f(0) = 3 a 0 2 + 2 b 0 + c = c f(x) = (x + 1) 3 Vi kan inte klara denna uppgift utan att utveckla (x + 1) 3 f(x) = (x + 1) 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 (Du kommer väl iåg Pascals triangel?). Nu kan vi derivera Som kan ju skrivas som f (x) = 3x 2 + 6x + 3 f (x) = 3(x 2 + 2x + 1) = 3(x + 1) 2 Jus den är gången ade vi kunnat använda samma regler som att derivera g(x) = x 3, men det funkar långt ifrån alltid. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

1 Derivera f(x) = x 3 4x 2 + 13x + 108 2 Bestäm f (x) = 0 då f(x) = x 2 8x + 10 3 Bestäm f (1) då f(x) = 3x 2 + 2x + 3 4 Beräkna värdet på x för vilket f (x) = 2 då f(x) = 8x x 2 5 En cirkels area är en funktion A(r) där r cirkelns radie. Bestäm A (r) 1 Derivatan blir 2 Första deriverar vi f (x) = 3x 2 8x + 13 f (x) = 2x 8 Sedan sätter vi f (x) = 0 oc får ekvationen som ar roten x = 4 Svar: f (x) = 0 då x = 4 3 Först deriverar vi Sedan bestämmer vi Svar: f (1) = 8 4 Vi deriverar f (x) = 2 leder till ekvationen Med roten x = 3 Svar: x = 3 2x 8 = 0 f (x) = 6x + 2 f (1) = 6 1 + 2 = 8 f (x) = 8 2x 8 2x = 2 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

5 Funktionen är A(r) = πr 2 Då måste A (r) = 2πr som också är formeln för cirkelns omkrets! Räkna bokens uppgifter: 2303d, 2307b, 2311, 2313 2303 d) TB: Jaa, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid iåg ur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f (x) = 8x + 15x 2 2307 b) TB: Lite lite svårare. När jag deriverat ska jag ta reda på f (3) Funktionen är f(x) = 2 + 3x + 4x 2 5x 3 som ar derivatan f (x) = 3 + 8x 15x 2. f (3) = 3 + 8 3 15 3 2 = 108 KTH: Det går som tåget 2311 b) TB: Den är gången ska jag ta reda på derivatans nollställen. Jag ska lösa ekvationen f (x) = 0. Det blir väl en andragradsekvation eftersom f(x) = 2x 3 + 30x 2 + 96x + 34 är av tredje graden. 2313 f(x) = 2x 3 + 30x 2 + 96x + 34 f (x) = 6x 2 + 60x + 96 f (x) = 0 då 6x 2 + 60x + 96 = 0 x 2 + 10x + 16 = 0 x 1 = 8 x 2 = 2 Vi kan väl visa graferna eller ur? Stämmer bra TB: Nu ska jag försöka gå bakvägen på något sätt. Jag ar alltså redan f (x) = 3x 2 + 2x oc vill a tag i f(x). Det måste väl bli någonting liknande f(x) = x 3 + x 2. Det stämmer. KTH: Du ska itta två funktioner som ar den är derivatan? TB: Va! Det kan det väl inte finnas? Aa, du menar att till exempel f 2 (x) = x 3 + x 2 + 123 också ar derivatan f 2 (x) = 3x2 + 2x? Den konstanta termen kan vara vad som elst. Det finns alltså ur många som elst. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

600 500 400 300 200 100-10 -8-6 -4-2 2 Figur 2: KTH: Det är kommer du att få lära dig mer om framöver. Det kallas att integrera till skillnad från att derivera Under denna rubrik kommer då oc då att presenteras ett problem som bygger på logiskt tänkande oc mer problemlösning än många av de matematiska problem vi kommer att lösa i denna kurs. Dela bröd oc pengar Två luffare, A med 3 bröd oc B med 5 bröd, ade just satt sig vid vägkanten för att äta, då en tredje luffare, C, kom förbi. C ade ingen egen mat, utan betalade sin andel med 8 kr. Hur skulle detta belopp fördelas rättvist mellan A oc B, om maten delats lika mellan de tre luffarna? Håkan Strömberg 7 KTH Syd