Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.08.06 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt poäng. 0 poäng: U. 4 poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 07 76 7 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.. Vi studerar funktionen f, som definieras enligt sinπx x< f (x)= +ax x (a) Bestäm konstanten a så att funktionen f blir kontinuerlig för alla x. Motivera noga varför du kan vara säker på att kontinuitet råder. (p) De två halvorna är båda kontinuerliga; den ena är en sinuskurva (känt kontinuerlig) och den andra en rät linje (också känt kontinuerlig). Nu ska vi få kontinuitet i skarvpunkten x= : x / f (x)= sinπ = f ( )=+ a För kontinuitet måste dessa två värden vara lika: + a = a= Nu är f (x)= f ( x / ), så kontinuitet råder även här. Rättningsnorm: Påpekat att delarna var för sig är kontinuerliga: p. Visat att man vet att kontinuitet kräver att gränsvärde och funktionsvärde är lika: p. Korrekt beräknat a: p (b) Skissa grafen för f. (p) Vänsterdelen är en sinuskurva med perioden krymt med en faktorπfrån π till, och med amplituden ökad från till. Det kan man rita utan värdetabell. Högerdelen är en bit av den linje som passerar y-axeln på höjden y= och lutar neråt, två steg ner för varje steg fram. Kan ritas direkt med linjal, utan värdetabell. 4 4
MAA4 Lösning Sida (av 5) Rättningsnorm: Helt rätt krävs för poäng. Om man räknat a fel och ritad det man räknat så får man dock poäng om man skrivit ett påpekande om att något måste vara fel. Vi har funktionerna g och h, där g(x)= x och h(x)=arccos x. (c) Bestäm (g h)( ) (g h)( )= arccos( ) = π =π (d) Bestäm (h g)( ) (p) (h g)( )=arccos =arccos =0 Rättningsnorm: Gäller både (c) och (d): Rätt räknad inre funktion: p. Rätt räknad yttre funktion: p. Om man räknar (c) på (d) och tvärtom dras p från sammanlagda poängen på själva uträkningarna. (p). (a) Här är fyra grafer: A B C D Här är formlerna för åtta funktioner: (i) f (x)=sin x (ii) f (x)=arcsin x (iii) f (x)=cos x (iv) f 4 (x)=arccos x (v) f 5 (x)= x (vi) f 6 (x)=/ x (vii) f 7 (x)= x (viii) f 8 (x)= x 4 Vilken formel hör till vilken graf? (4p) A f 7 (x)= x, B f (x)=cos x, C f 6 (x)=/ x, D f (x)=arcsin x. Rättningsnorm: p för varje korrekt matchning. (b) Vad innebär det att en funktion f är udda? (Vi vill ha definitionen av begreppet.) (p) Att f ( x) = f (x) för alla x i definitionsmängden. Rättningsnorm: Accepteras även utan för alla -biten. Vänsterhalvan av grafen är en upp-och-ner-vänd version av högerhalvan accepteras också. (c) f (x)= x x x. Är f en udda funktion? Motivera. + (p) Variant : Täljaren är differens mellan två udda funktioner och därför udda. Nämnaren är summa av två jämna funktioner och därför jämn. Kvoten av en udda funktion och en jämn funktion är udda. Så ja, den är udda. Variant : Undersök: f ( x)= ( x) ( x) ( x) + = x + x x + = x x = f (x) x + f är en udda funktion.
MAA4 Lösning Sida (av 5) Rättningsnorm: Har man på (b) sagt att udda betyder något helt annat än vad det gör så ska man här kontrollera om funktionen uppfyller det man sa. Täljaren är udda och nämnaren jämn så den är udda räcker som variant ; i variant får man p för korrekt påbörjad analys. (d) Ge ett (och endast ett) exempel på någon annan funktion som är udda. (p) Exempel: x udda tal ; sin x, arcsin x, tan x, arctan x. Rättningsnorm: Ska också här uppfylla det man sa i (b). Har man gett flera svar så poängsätts det första av dem.. (a) Skissa hur grafen för f ser ut i närheten av x=om f ()=4, f (x)= x och f (x)=5. (p) x + Vid x= händer föjande: grafen anländer på höjden från vänster, fortsätter på höjden 5 åt höger och det faktiska värdet (markeras med en fylld blupp) är 4. Något i den här vägen: 5 4 0 0 4 5 Rättningsnorm: p för att kurvstyckena närmar sig på rätt sätt, p för korrekta bluppar. Bestäm följande gränsvärden: (b) sin arctan s s Kontinuerliga funktioner, så sin arctan s=sin arctan s=sinπ s s = (p) Man kan också inleda med att skriva om funktionen. arctan s är vinkeln i en rätvinklig triangel med närliggande katet och motstående katet s. Hypotenusan i denna triangel är (enligt Pythagoras) + s, och sinusvärdet för vinkeln s/ + s. Så sin arctan s= s s s + s som löses med samma metod som sista deluppgiften. t 5 (c) t 5 t 5 Noll-genom-noll-problem; faktorisera: t 5 t 5 t 5 t 5 = t 5 ( t 5)( t+5) = t 5 (d) t+5 = 5+5 = 0 (p) Man kan inleda med att substituera t=u, u 5, om man tycker att rotuttrycket är jobbigt. Rättningsnorm: p om man använder en fungerande taktik, full poäng om man kommit till rätt svar. u 7u+0 u u 6 (p)
MAA4 Lösning Sida 4 (av 5) Stor-tal-genom-stort-tal-problem; försök skriva om så att nämnaren går mot ett tal istället för mot oändligheten: u u 7u+0 u 6 /u u 7u+0 /u = = u 7u+0 u /u(u 6) u /u(u 6) /u = (u 7u+0) = 7 /u+ 0 /u = 0+0 = u /u(u 6) u 6 /u 0 Observera att eftersom u går mot negativa oändligheten måste vi förutsätta att värdet är negativt. Det är därför som /u= /u. Rättningsnorm: p om man insett att man ska förlänga med /u, full poäng om man kommit till korrekt svar. 4. Vi har funktionen f, där f (x)= x. (a) Skissa kurvan y= f (x) för x. (Rita en stor figur, så att det går att se ordentligt!) (p) Börja med att ställa upp en värdetabell: x x x / x / /9 /8 /8,95 / /6 /6,8 0 / / =,5 / / = 0,5 9 9/ 9/ =,5 (Anm. Det första värdet kan man få enligt /8 /0=0,05.) Man kan också unyttja att kurvan är y= x nerkrympt med en faktor på höjden och nedflyttad steg. Kurvan är ritad med rött. Bilden innehåller också svaret på (c), eftersom grafen för inversen är samma graf men speglad i linjen y= x. Rättningsnorm: Svårt att säga hur en p-lösning ser ut, men de finns säkert. (b) Förklara varför du kan vara säker på att f är inverterbar. (p)
MAA4 Lösning Sida 5 (av 5) Funktionen är strängt växande, därmed ett-till-ett (passerar horisontallinjetestet), därför inverterbar. Rättningsnorm: Något av uttrycken räcker som svar. (c) Bestäm en formel för inversen till f. Lös ut x: y= x y+= x (y+)= x x=log ( (y+) ) ln ( (y+) ) = ln x ln ( (y+) ) = x ln x= ln( (y+) ) ln (4p) Båda varianterna är lika rätt, men den högra mer praktisk om man vill kunna beräkna värdena med en normal miniräknare (som sällan har någon knapp för -logaritmer). Byt namn: f (x)=log ( (x+) ) Rättningsnorm: p om man helt klart försöker lösa ut x; 4p om man kom till ett korrekt svar; delpoäng i övrigt efter hur stor andel rätt man gjort. Namnbyte behövs ej. (d) Skissa kurvan y= f (x). (p) Enklast är att spegla kurvan i (a), det är mycket lättare än att ta fram en värdetabell baserad på inversformeln utan miniräknare! Denna kurva är ritad i blått. Rättningsnorm: Spegling av kurvan från (a) eller korrekt uppritning av formeln från (c) godtas (oavsett om dessa var rätt eller fel).