Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR 9 Skläpkt ch ektpjektin SKALÄRPRODUKT PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE Skläpkt: Fö icke-nllekte ch efinies skläpkten ef cs enligt följne Om minst en ch ef ä nllekt å efinies 0 Anmäkning: Vi efinie sept fllet me en nllekt eftesm inkeln melln tå ekte ä efinie enst m å ä skil fån nllektn. Vinkeln efinies sm en inkel melln ch 0 sm stisfie 0 80 nä ekten föflytts till smm sttpnkt. O B A Exempel: Om ch ä tå ekte sån tt 0, ch 5 å ä 0 cs5 0 0 Egenskpe :. Enligt efinitinen skläpkt ä ett tl sklä. Skläpktens tecken Eftesm cs > 0, 0 elle <0 m < 90, 90 elle 90 < 80 fö tå icke-nllekte ch gälle > 0 < 90 0 90 < 0 90 < 80. 0 5. { ntingen 90 elle någn, ä nllektn} h i 6. Fö inkeln gälle: cs m 0 ch 0 8. kmmtti lgen 9. λ λ 0. w w istiti lgen
Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR 9 Skläpkt ch ektpjektin Anmäkning: Ett eis fö istiti lgen kn finns i ksken. All negenskpe kmme iekt fån efinitinen. BERÄKNING AV SKALÄRPRODUKTEN I ETT ORTONORMERAD ON KOORDINATSYSTEM Vi ppep tt ett ON-kintsystem ä ett system me tnme s, s ett system me inkelät xl, ä xlns enhetsstäck h smm läng. Skläpkten eäkns i ett ON kintsystem på äligt enkelt sätt. Låt x, y, z ch x, y, z ekte s kinte ä gin i ett ONkintsystem. Då gälle: x x y y z F z Beis: Om i skie x i y j zk ch x i y j zk få i xi y j zk xi y j zk Vi näne istiti lgen smt följne ppen skllepkte fö tnmee sekte i i cs0, j j, k k i j cs90 0, i k 0 j k 0 ch få xx y y zz sklle eiss Exempel: Låt,0, ch,,. Beäkn estäm inkeln melln ekten ch. 0 Fån cs h i cs. Vi näne ckså fmeln x y z ch få cs 0 9 58 Hä ccs 05 me miniäkne 58 S: ccs 05 58 Vektpjektine: Låt en ekt i mmet ch L en ikt ät linje s iktning estäms en ekt.
9 Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR Skläpkt ch ektpjektin Vi h ft nytt tt ttyck ekt sm smmn w w tå inkelät tgnl kmpsnte w ch w, ä w ä pllell me linjen L ch äme ä w inkelät mt L. Vi kll w en tgnl pjektinen på L elle på linjens iktningsekt ch eteckn w pj Följne fmle näne i i eäkning pjektinen pj ch längen pjektinen: pj Altenti fmel: pj e e ä e. Längen pjektinen på ges pj. Beis: Fmeln fö tgnl pjektinen på : Föst hälee i fmeln fö längen pjektinen. i Fån figen h i tt längen stäckn OB s längen pj ä lik me OB cs längen, till skilln fån cs, kn inte negti, äfö sltelppet cs Vi h eist tt pj ii Fö tt få ektn pj näne i enhetsektn e ch etkt tå fll. 90 ch. 90 < 80 :. Om inkeln 90 pjektinen s ektn w, ch e h smm iktning h i OB OB e cs e { cs 0 }
Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR 9 Skläpkt ch ektpjektin cs e enligt efinitinen skläpkten e e e. Om > 90 pjektinen, s ektn w, ch e h mtstt iktning h i OB OB e cs e { cs <0 ge cs cs } cs e cs e enligt efinitinen skläpkten e e e Alltså i å fll gälle OB e e, sm i kn ckså ski sm OB e e Däme h i eist fmeln pj Det ete W sm en knstnt kft, sm epesentes ektn F, ttätt å en kpp föflytts fån pnkten A till pnkten B kn eäkns me skläpkten. W F L AB F cs AB F AB Alltså W F AB Till slt ppepp i tt ekte i ett ON kint system kn nges på fle lik x sätt: x, y, z, y, x i y j zk, x ex ye y z e elle z z x e y e z. e
Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR 5 9 Skläpkt ch ektpjektin ÖVNINGSUPPGIFTER I nenståene ppgifte ä ektskinte gin i ett ON-system Uppgift. Beäkn skläpkten å,,0 ch,, 0, c i j k, i k e x e, z ex ey ez 0 0 0 c Vi kn äkn iekt elle ski föst ekten på kint fm,,,,0,. I je fll li et 0 7 0 Uppgift. Låt,, ch,0, tå ekte i mmet. Beäkn skläpkten Låt inkeln melln ch. Agö m ä en spetsig, ät elle tig inkel. c Bestäm cs 0 ä en tig inkel eftesm < 0. c cs 0 5 70 Uppgift. Fö ilk äen på k ä ekten ch k c inkelät å,,,,, ch c,0,? k c 0,, k, k, k 0 k k k 0 8k k / S: k / Uppgift. Fö ilk äen på s ch t ä ekten t,, 5 ch, s, pllell? k t,, 5 k, s, t k, ks, 5 k k 5, t 0, s / 5 S: t 0, s / 5
Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR 6 9 Uppgift 5. Låt,, p ch,, tå ekte i mmet. Bestäm, m möjligt, tlet p så tt inkeln melln ch li en spetsig inkel en ät inkel c en tig inkel 0 e 80 7 p ä en spetsig inkel m > 0 p > 7 / ä en ät inkel m 0 p 7 / c ä en tig inkel m < 0 p < 7 / ä 0 m ekten ä pllell ch h smm iktning s m et finns ett tl k>0 så tt k. Alltså, i h illket,, k,, p sm ge systemet me te ektine: k, k ch kp Systemet skn lösning mtsägelse k, k Däfö finns inte någt k så tt li 0 e ä 80 m ekten ä pllell ch h smm iktning s m et finns ett tl k<0 så tt k. Vi h illket,, k,, p sm ge systemet me te ektine: k, k ch kp Systemet skn lösning mtsägelse k, k Däfö finns inte någt k så tt li 80 Skläpkt ch ektpjektin Uppgift 6. En knstnt kft, sm eskis me ektn F,,6, föflytt ett jekt längs en ät linje fån pnkten A,, till pnkten B,,. Beäkn etet. AB,, W F AB 8 Jle elle Nm m ll sthete ä gin i SI-systemet Uppgift 7. Bestäm ektpjektinen ektn F,, på ektn,, et ill säg på en linje sm ä pllell me ektn Bestäm tå inkelät tgnl ekte ch så tt li pllell me ch F se ilen nen. F
Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR 7 9 Skläpkt ch ektpjektin Vektpjektin F på ä F 6 pj F,,,, F, 0, Kntll fö elen:,, F OK 0 s ch ä tgnl OK S: pj F,,,,,, 0, Uppgift 8. Bestäm tgnl pjektinen ektn pj på en linje sm ä pllell me ektn. 0 Lösning : pj 0 0 / 5 / 5 0 Uppgift 9. Fö tå ekte ch gälle följne :,, Vinkeln melln ekten ch ä π /. Beäkn m ch. Lägg mäke till tt i inte h ektens kinte. Vi eäkn me hjälp äknelg fö skläpkten: istiti lgen 6 kmmtti lgen fö skläpkten 5 i näne efinitinen skläpkten ch äen,, π / cs0 5 csπ / cs0 5 8 5 5 5 S: 5 5
8 9 Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR Skläpkt ch ektpjektin Uppgift 0. Vekten ch ä lik lång,, ch il inkeln / π me n. Låt ch. Bestäm inkeln melln ch. Lägg mäke till tt i inte h ektens kinte! Fån cs h i cs. Föst eäkn i 6 Vi tnyttj tt skläpkten ä kmmtti s ch ntgne tt ch få / cs 5 5 π 5. Fö tt eäkn näne i fmeln: På smm sätt: 6 9 6 9 Sltligen 9 / cs ch äfö 0.89788 ccs 9 / ccs Uppgift. Beis me ekte pllellgmstsen ä, ä ignle ch, pllellgmmens si. Beis. Låt ABCD ett pllellgm AC ä en ignl. Vi eteckn AD AB,, AC ch DB se figen nen.
Amin Hlilic: EXTRA ÖVNINGAR 9 9 Skläpkt ch ektpjektin D C A B Fån ch h i istiti lgen enligt kmmtti lgen Alltså * På smm sätt... Om i e * ch ** få i elle, sklle eiss. ** Uppgift. i Fö en ekt gälle 0 fö je ekt i mmet. Beis tt 0. ii Fö tå ekte ch gälle Beis tt. fö je ekt i mmet. i Om 0 fö je ekt i mmet å gälle ett äen fö. Alltså 0 elle 0. Däme 0, s ä nllektn sklle eiss. ii Om fö je ekt i mmet å h i 0 0 fö je ekt Alltså 0 fö je sm enligt i gö 0 elle, till slt,, sklle eiss.