ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas tentan. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad.. Rita en skiss över hur grafen till funktionen f(x, y) x y + x + xy x ser ut i kvadraten [, ]. Beräkna eventuella kritiska punkter i detta område och klassificera dem.. Låt f(x, y, z) x y + xz + xyz. Beräkna (a) Tangentplanet till nivåytan för f som går genom punkten p (,, ) (b) Riktningsderivatan i riktningen u (,, ) för funktionen i p. (c) en riktning i vilken funktionen ökar mest? Hur stor är denna ökning?. Antag att f : R R är en deriverbar funktion och sätt u f(x, y, z). Vidare så låter vi Beräkna du dt x sin t, y cos t, z e t. f då t givet att och f, där p (,, ) p p 4. Beräkna kortaste avståndet från origo till ytan xyz.. Beräkna integralen I x cos y da, x z där är det område i första kvadranten som begränsas av koordinataxlarna och grafen till funktionen y x. Gör också en skiss över integrationsområdet. 6. Beräkna integralen I 6 B e (x +y +z ) / dv, där B {(x, y, z) : x + y + z } är enhetsklotet i R. 7. Visa att fältet F (y + z, xy, xz) är konservativt och beräkna en potentialfunktion för fältet. 8. Beräkna I 8 S }{{ F } NdS, curl F där S är den del av sfären x +y +(z ) 8 som ligger ovanför xy-planet och N är den utåtriktade enhetsnormalen och F (y cos xz, x e yz, e xyz )
Svar till tentamen i Flervariabelanalys, 8.. (, ) lokalt max, (, ), lokalt min.. (a) Tangentplanets ekvation blir x z (b) Riktningsderivatan är / (c) Funktionen ökar mest i gradienten f p (,, ). Ökningen är f p. du dt 4. Kortaste avståndet är. cos 6. 4π(e )/ 7. Potentialfunktionen blir φ(x, y, z) x(y + z ) 8. π
Lo sningar till tentamen i Flervariabelanalys, 8.. Grafen kan skissas:, t.ex. genom att ha lla ena variabeln konstant och rita den kurva som ytan da ger. Man upprepar fo r flera olika va rden av variablerna. I figur sa har ytan plottats mha Mathematica.... -. -. - - - - Figure : Grafen till funktionen i uppgift. et schackrutiga omra det a r den del av grafen som ligger ovanfo r kvadraten [, ]. eb gro na och den bla pluppen markerar la get fo r de kritiska punkterna som ligger i va rt omra de medan de ro da representerar de tva sadelpunkterna som ligger utanfo r omra det. Slutligen sa har vi de ljusbla punkterna som a r de kritiska punkterna p,6 (, ±) som ocksa a r sadelpunkter. Vi bera knar kritiska punkter: En kritisk punkt definieras av att gradienten till funktionen blir noll. f ( f f, ) (x y + x + y, x + xy) x y) Gradienten noll ger oss fo ljande ekvationssystem x y + x + y x + xy () () Ekvation ger oss medfo r att p,6 (, ±) a r tva kritiska punkter. Na r man underso ker dessa sa fa r man att de a r sadelpunkter. Men ger oss alternativet att x y ()
som insatt i ekvation ger oss y 6y y { essa y-värden kan vi nu sätta in i och få fram motsvarande värden på x: { ± x för, y ± för y. etta innebär att vi har fyra punkter där gradienten försvinner : p (, ), p (, ), p (, ), p 4 (, ) Men bara de två första av punkterna ligger in kvadraten [, ] Vi klassificerar de kritiska punkterna Vi använder oss av Hessianen, dvs matrisen med funktionens andraderivator: [ 6x(y + ) x H(x, y) ] + y x + y x som i punkterna p och p blir H(p ) 4 4 4 H(p ) ( 4 ) 4 4 Vi har att determinanten för de båda matriserna är positiva ( 6/). Eftersom F/ x är positiv i p och negativ i p så ger andraderivatatestet att vi har ett lokalt minimum i p och ett lokalt maximum i p. Extra information:: de övriga kritiska punkterna Här är lite mer information för den nyfikne: I p och p 4 (som ligger utanför vårt område) får vi hessianmatriserna ] ] H(p ) [ 4 4 H(p 4 ) [ 4 4 som båda har negativ determinant (-6) vilket betyder att de är sadelpunkter enligt andraderivatatestet. På samma sätt har vi för p (, ) och p 6 (, ): [ ] [ ] H(p ) H(p 6 ) essa båda matriser har determinant 4 och p och p 6 är alltså sadelpunkter.. (a) Tangentplanet till nivåytan i vår punkt ges av en ekvation av typen ax + by + cz d, där normalvektorn n (a, b, c) i princip är gradientvektorn till vår funktion i p och d bestäms av att planet ska gå genom punkten p. Vi får Vi har nu tangentplanets ekvation n f p ( xy + yz + z, x + xz, xy + xz ) p (,, ) x z d. etta plan ska alltså gå genom punkten p och sätter vi in p i vänster led så får vi att d vilket gör att tangentplanets ekvation blir x z
(b) Riktningsderivatan i en punkt p för en funktion f i en riktning v, där v är en enhetsvektor ges av v f v f p I vårt fall så är u inte en enhetsvektor så vi måste börja med att normera den v u u (,, ) Vi får därför att riktningsderivatan i vår riktning u blir v f u u f p (,, ) (,, ) (c) Funktionen ökar mest i gradientens riktning och graden av ökning blir gradientvektorns längd eller om vi beräknar riktningsdervatan map gradientvektorns riktning så får vi, där vi ska komma ihåg att vi måste normera gradientvektorn f/ f f p. Vi noterar att sammansättningen f p f p f p f p ( f p f p ) f p f p u(t) f (x(t), y(t), z(t)) f(x(t), y(t), z(t)) är en funktion av en variabel m.a.p. den enda variabeln t. Noterar vi att (x(), y(), z()) (,, ) p så ger kedjeregeln oss du dt f dx x p dt + f dy y p dt + f dz z p dt + cos + f y ( sin ) + ( ) e p + Alternativt: Man kan sätta g(t) (x(t), y(t), z(t)) och notera att u(t) f(g(t)), och att p g(). å är f : R R och g : R R och för denna sammansättning så ger kedjeregeln oss matrisuttrycket [ du f dt f g() g x, f y, f ] dx dt dy z dt g() dz dt [, f ] cos [ y, sin, f ] p e y, p 4. Vi använder oss av Lagrange multiplikatormetod: Vad ska minimeras? Avståndet till origo: x + y + z som är ekvivalent med att ska minimeras x + y + z Vad är bivillkoret : Vi söker den punkt på ytan xyz som ligger närmast origo. etta betyder att vår punkt ska uppfylla ytans ekvation, som blir vårt bivillkor.
Lagrangefunktion: L(x, y, z, λ) x + y + z + λ(xyz ) Lagrangefunktionens gradient ska vara noll :: 4, and 6 ger oss att och sätter vi in detta i 7 så får vi L x x + λyz, λ x/yz (4) L y y + λxz λ y/xz () L z z + λxyz λ /xyz (6) L λ xyz x y 4z 4 4 (7) x y z (8) x 8 x Eftersom det minsta avståndet bara involverar kvadraterna x, y och z så behöver vi inte lägga ned tid på att få fram värden på x, y och z, som visserligen behövs för att bestämma de punkter där minima inträffar. Men uppgiften frågade inte efter detta vilket betyder att kvadraterna räcker för oss. Nu ger ekvation 8 att y och z vilket ger oss det minsta avståndet x + y + z + +. Vi ritar upp området Vi ser att y begränsas av y nerifrån och av x ovanifrån. x ligger då..8.6.4...4.6.8.. Figure : Integrationsområdet i uppgift. mellan noll och ett vilket ger att integralen kan skrivas I x x cos ydydx Vi integrerar alltså först med avseende på y och får då: I x [sin y] x dx [ ] x x cos ydy dx x sin( x )dx
För att lösa denna integral så gör vi substitutionen u x, du xdx, xdx du, [x ger u ], [x ger u ], som gör att integralen kan skrivas sin udu ( cos ) 6. et känns väl som en no-brainer att använda sfäriska koordinater? Sfäriska koordinater :: x r cos θ sin φ y r sin θ sin φ z r cos φ etta ger att vår integral blir x + y + z r dv r sin φdrdφdθ B { r, φ π, θ π} I 6 π π π π (e ) π 4π(e ) e r r sin φdrdφdθ (e u ) sin φdφdθ [ cos φ] π dφ (e ) (e ) π π π π π dφ π Notera att i andra likheten i denna räkning gjordes substitutionen e u sin φdudφdθ sin φdφdθ u r, du r dr r dr du, [r ger u ] och [r ger u ] 7. Vi börjar med att visa att fältet är konservativt genom att visa att F : i j k F det x y z y + z xy xz ( y [xz] z [xy], ( x [xz] z [y + z ]), z+z x [xy] y [y + z ] } {{ } y y På ett enkelt sammanhängande område så är detta ekvivalent med att fältet är konservativ. I uppgiften så är inte området specificerat så vi går vidare och beräknar potentialfunktionen. Om vi lyckas med detta så är det ett slutgiltigt bevis för att fältet är konservativt. Vi söker alltså en potentialfunktion till fältet F, dvs en funktion φ(x, y, z) sådan att φ F Vi har, till att börja med, att integrering m.a.p x ger φ x y + z φ(x, y, z) x(y + z ) + H(y, z)
Vi deriverar nu detta uttryck m.a.p. y och utnyttjar att denna derivata ska vara lika med andra komponenten för vårt fält. som direkt leder till att H y avseende på y så får vi Slutligen har vi att φ y xy xy + H y xy, vilket betyder att H är konstant m.a.p y och integrerar vi detta med H(y, z) K(z) φ(x, y, z) x(y + z ) + K(z) φ z xz xz + K (z) xz K(z) konstant Konstanten är godtycklig så vi väljer K och vår potentialfunktion blir således φ(x, y, z) x(y + z ) En enkel verifikation visar att vi verkligen har φ F vilket gör att vi är klara med uppgiften. 8. Idén i denna uppgift är att cirkeln x + y 4 är randkurva till sfärytan. å kan vi använda Stokes sats för att reducera till en integral över denna kurva. Men sedan är cirkeln också rand till cirkelskivan {x + y 4} vilket gör att vi kan använda Stokes sats igen och få en integral över denna cirkelskiva. M.a.o vi har I 8 F NdS [ Stokes! ] F dr F k ds, S där k (,, ) är den uppåtriktade normalen för cirkelskivan. För att beräkna den sista integralen så behöver vi beräkna F k där vi ska notera att cirkelskivan ligger i xy-planet och där har vi z Vi låter F (y cos xz, } x {{ e yz }, e }{{ xyz } F F F ) vilket ger i j k F k det x y z k F F F F x F y x e yz y cos xz [ kom ihåg att z ] x y Vår integral blir nu I 8 π x ydxdy x dxdy y dxdy x dxdy [ polära koordinater ] int π cos }{{ θ} cos θ r dr [ ] r 4 4 4 r cos θrdrdθ π 6 cos θdθ 6 π π