Vinstmaximum (voitonmaksimointi) (1):

Lektion 3 Hur kan den vinstmaximerande insatsmängden bestämmas vid två eller fler rörliga insatser? Kuinka voidaan määrittää voitto maksimoiva panosmäärä kahden tai useamman panoksen tapauksessa? Foto: John Sumelius Optimeringsproblemet att maximera vinsten för två rörliga insatser x 1 och x 2 kan formuleras enligt följande: (voiton maksimointiongelma kahden muuttuvan panoksen tapauksessa): Max π = p*f(x) w 1 *x 1 w 2 *x 2 + d x>0 var π = Vinst (voitto) f(x) = Produktionsfunktion (tuotantofunktio) p = Produktpris (tuotteen hinta) x 1 = Insatsmängd, insats 1 (panosmäärä) x 2 = Insatsmängd, insats 2 w 2 = Insatspris insats 2 (panoksen hinta) d = direktstöd (suora tuki) Vinstmaximum (voitonmaksimointi) (1): Vinstmaximum erhålls genom att derivera vinstfunktionen π med hänsyn till båda insatserna x 1 och x 2. Därefter löses de partiella derivata p'(x 1 ) = 0 och p'(x 2 ) = 0 för att erhålla de vinstmaximerande insatsmängderna x 1 och x 2. (Voitonmaksimi löytyy derivoimalla voittofunktio suhteessa x 1 :än ja x 2 :än ja sen jälkeen osittaisderivaatat ratkaistaan p'(x 1 )= 0 ja p'(x 2 )= 0 jolloin saadaan voittoa maksimoivat panosmäärät) π/ x 1 = p f(x 1 )/ x 1 w 1 = 0 π/ x 2 = p f(x 2 )/ x 2 w 2 = 0 p och w flyttas till höger sida: Ett exempel av Dabbert och Braun 2006, produktion av matpotatis (ruokaperuna) med två rörliga insatser, kvävegödsling (typpilannoitus) och fosforgödsling (fosforilannoitus): (adobefil Dabbert&Braunfolien3) Data låter sig beskrivas genom följande produktionsfunktion: 2 2 Y = 157,93+ 262, 4* N- 95,9* N + 74,9* P- 42,9* P + 10, 2* N* P var Y = produktion av potatis (dt/ha) var 1 dt= 100 kg N = kvävegödsling N dt/ha P = fosforgödsling P dt/ha f(x 1 )/ x 1 = w 1 /p, f(x 2 )/ x 2 = w 2 /p, och ekvationerna löses 1

... Dabbert och Braun 2006, produktion av matpotatis Följande priser gäller enligt Lantbrukskalendern 2014 (pris 2103) Priset för matpotatis, nettovikt är 20 euro/dt Kvävepris 1,429 euro/kg = 142,9 euro/dt Fosforpris på basen av regressionsanalys är 1,2 euro/kg = 120 euro/dt Av potatisen är 80 % försäljbar (myyntikelpoinen) som handelsvara (kauppatavarana) till marknadspris (20 euro/dt) Av potatisen är 20 % försäljbar som foder (rehuna) till 4 euro/dt Sorteringskostnader (lajittelukustannus) är 1,8 euro/dt Kostnad för spridning av gödsel (lannan levityskustannus) 0,06 /kg Övriga rörliga kostnader 1100 /ha Frågor: a) Hur hög är marginalintäkten (merintäkten)? (Kuinka iso on rajatuotto?) b) Hur höga är marginalkostnaderna för N och P?(" rajakustannus N:n ja P:n osa.) c) Vilken mängd potatis maximerar vinsten under nämnda betingelser (villkor)? (Mikä perunamäärä maksimoi voiton em. ehdoin?) Lösning a) Marginalintäkten (rajatuotto) (merintäkten) för potatis per dt. Handelsvara 20 /dt *0,80 = 16,0 Foderpotatis 4 /dt* 0,20 = 0,8 - Sorteringskostnaden = -1,8 /dt 15,0 /dt Þ Det lönar sig att öka produktionsmängden så länge kostnaden för ytterligare en enhet är lägre än marginalintäkten (priset). Þ (Kannattaa lisätä tuotosmäärä niin kauan kuin rajakustannus alittaa rajatuoton) Lösning b) Marginalkostnaden (rajakustannus) (merkostnaden) för N och P N, Kvävepris 1,429 euro/kg = 142,9 /dt Kostnad för spridning av gödsel = 6 /dt Marginalkostnad 148,9 /dt P, fosforpris 1,20 euro/kg = 120 /dt Kostnad för spridning av gödsel = 6 /dt Marginalkostnad 126 /dt c) Bestämning av den optimala intensitetsnivån (vinstmaximum) (1) Marginalintäkt = marginalkostnad (rajatuotos) Þ f(x 1 )/ x 1 = w 1 /p, f(x 2 )/ x 2 = w 2 /p, y y wn => ( 1 ) * p y =w N eller = N N py var p y = priset på potatis och w N =priset på kväve => ( 2 ) y y wp * py = wp eller = P P p var p y = priset på potatis och w P =priset på fosfor y 2

Bestämning av den optimala intensitetsnivån (vinstmaximum) (2) 2 2 Y = 157,93+ 262, 4* N- 95,9* N + 74,9* P- 42,9* P + 10, 2* N* P Bestämning av den optimala intensitetsnivån (vinstmaximum) (3) Från ekvation (1) och (2) y 3 = 262,4 -(2*95,9* N ) + 10, 2 P N ( ) 4 y = 74,9 - (2* 42,9 P) + 10, 2N P ( ) ( 5) ( 6) 148,9 262,4 -(2* 95,9N) + 10,2P = 15 126 74,9 -(2* 42,9P) + 10,2N = 15 Bestämning av den optimala intensitetsnivån (vinstmaximum) (4) Ekvation (5) och (6) bildar ett ekvationssystem (yhtälöryhmä) med två ekvationer och två obekanta (kaksi tuntematonta). Då detta löses erhålles de vinstmaximerande insatsmängderna N= 1,37 dt/ha P=0,94 dt/ha (Detta resultat måste i finska förhållanden tolkas försiktigt eftersom data gäller tyska förhållanden och skördenivåer). (Tämä tulos pätee saksalaisiin olosuhteisiin ja on tulkittava varovaisesti) Vinsten maximeras då marginalintäkt = marginalkostnad eller då MR = MC Produktion inte lönar sig inte om priset av t. ex. spannmålsodlingen inte täcker de rörliga kostnaderna. Arealbundet stöd som kräver odling gör odlingen av åker lönar sig på kort sikt (även om inte alla fasta kostnader täcks. På lång sikt bör alla kostnader fås täckta Pinta-ala tuen johdosta viljely on kannattava lyhyellä tähtäimellä vaikka kaikkia kiinteitä kustannuksia ei kateta Pitkällä aikavälillä kiinteitä kustannuksia pitää saada korvattua Se exempel: (fil vårvete A, modellkalkyler ) 3

Arealbundna stöd (gårdsstöd, kompensationsbidrag, miljöstöd) Dessa stöd erhålls oberoende av volymen på produktionen (nämä tuet eivät riipu tuotannon tasosta) Gårdsstöd - erhålls även om man inte producerar (tilatuki ei edellytä tuotantoa) De inverkar inte på optimum för insatsproduktrelationen (eivät vaikuta panos-tuotos suhteen optimiin) Produktionskostnader (tuotantokustannus, Costs of production) p. 25-28 Rasumssen, p.42-58 Doll och Orazem Fasta och rörliga kostnader (fi. kiinteät ja muuttuvat kustannukset): Fast kostnad = en kostnad som inte varierar med produktionsvolymen (Kiinteä kustannus= kustannus, jonka kokonaismäärä ei muutu tuotantomäärän muuttuessa) Exempel: kostnaden för byggnader Rörlig kostnad = en kostnad som varierar med produktionsvolymen (kustannus, jonka kokonaismäärä muuttuu tuotantomäärän muuttuessa) Exempel = kraftfoderkostnaden (väkirehukustannus) Utvecklingen av fasta och rörliga kostnader med produktions volymen: Fasta och rörliga kostnader (kiinteät ja muuttuvat kustannukset): euro Kraftfoderkostnaden = en rörlig kostnad Indelningen i rörliga och fasta kostnader syftar på en kort planeringshorisont (jako muuttuviin ja kiinteisiin kustannuksiin riippuu suunnittelujakson pituudesta). Liter mjölk Byggnadskostnaden = en fast kostnad På lång sikt är alla fasta kostnader rörliga (pitkällä tähtäimellä kaikki kiinteät kustannukset ovat muuttuvia) 4

Insats-produkt relationen: Vinsten maximeras då marginalintäkt = marginalkostnad eller då MR = MC (1) Om totalkostnaderna är högre än priset lönar det sig för producenten att upprätthålla produktionen på kort sikt så länge åtminstone de variabla kostnaderna MC täcks genom priset (=MR). Mikäli kokonaiskustannukset ovat korkeampia kuin hinta tuotantoa kannattaa lyhyellä tähtäimellä ylläpitää niin kauan kun vähintään muuttuvat kustannukset MC katetaan hinnalla (=MR). Om MC stiger så måste MR stiga för att produktionen på lång sikt skall löna sig att upprätthållas. På lång sikt måste även de fasta kostnaderna täckas. Pitkällä tähtäimellä myös kiinteät kustannukset on katettava, jotta tuotanto olisi kannattava MC-kurvan är med andra ord densamma som företagets utbudskurva då den uttrycks som en funktion av produktionen Y. (MC-käyrä ilmaistuna tuotannon funktiona Y on sama kuin yrityksen tarjontakäyrä) Marginalkostnadskurvan och marginalintäktskurvan uttryckt som en funktion av produktionen Y kg (fiktiv kurva) (Rajakustannuskäyrä ja rajatuottokäyrä tuotannon Y funktiona, kuvitteellinen käyrä) (Rasmussen s. 26): 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Fiktiv Marginalkostnadskurva/Kuvitteeellinen rajakustannuskäyrä /kg Y MC MR (Tidigare på denhär föreläsningsserien har marginalkostnadskurvan uttryckts som en funktion av insatsen X kg och då såg den ut såhär:) (Aikaisemmin tällä luentosarjalla rajakustannuskäyrä esitettiin panoksen X funktiona) fil: fiktiv merkostnadskurva MC AC 80 70 MR=P* VINST VOITTO AVC euro/10kg N/ha 60 50 40 30 MR MC 20 10 0 10 kg N/ha Vinsten är området mellan totalintäkter och totalkostnader. Voitto on alue kokonaistuoton ja kokonaiskustannusten välillä 5

Insats-insats relationen panos-panossuhde Doll & Orazem 1984. ss. 88-109 Svend Rasmussen 2011 kapitel 4 Kombination av produktionsmedel (tuotantopanosten yhdistäminen) Produktionsmedel är ofta utbytbara mot varandra, t.ex. korn och havre inom fläskproduktionen (tuotantopanokset korvaavat toisiaan) Utbytesförhållandet kan grafiskt presenteras genom en sk isokvant (eng. isoquant, samatuotoskäyrä) Utbytesförhållandet kan vara konstant (korn och havre) eller avtagande (hö och fodersäd) (korvaussuhde voi olla vakio tai vähenevä) Exempel på utbytesförhållanden: (1) (esimerkkejä korvaavuussuhteista) 1. Produktion i konstanta proportioner, genom en fast koefficient (kiinteäkertoiminen tuotanto, fixed proportion) Produktionsinsatserna ersätter i detta fall inte varandra (tuotantopanokset tässä tapauksessa eivät korvaa toisiaan) Produktionsinsatserna kompletterar däremot varandra (tuotantopanokset täydentävät toisiaan, eng. complementary inputs) Produktionsfunktionen skrivs: ( x,x ) min{ x, } f = 1 2 1 x2 Produktionsinsatser som kompletterar (2) varandra: traktorer och traktorförare (toisiaan täydentävät tuotantopanokset, traktorit ja traktorin kuljettajat) Isokvant (samatuotoskäyrä) för två produktionsinsatser som kompletterar varandra (produktion genom en fast koefficient) (3) Traktorer X2 5 Isokvant 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

Andra exempel på komplement inom (4) lantbruket (muita esimerkkejä täydentävistä tuotantopanoksista maataloudessa): Traktor och plog (traktori ja aura) Bränsle och smörjmedel (poltto- ja voiteluaineet) Taggtrådsstängsel och stolpar (piikkilanka ja pylväät) Syre och väte bildar vatten (happi ja vety muodostavat vettä): O + 2H = H 2 0 Ett annat slag av utbytesförhållande mellan produktionsinsatser: (1) (Toisen tyyppinen esimerkki korvaavuussuhteista) 2. Produktionsinsatserna substituerar m.a.o. ersätter varandra (tuotantopanokset korvaavat toisiaan, eng. substitutes) t. ex. olika slags foder kan vara varandras substitut (korvike) Isokvant (samatuotoskäyrä) Allmänt Produktionsfunktionen för två insatser kan skrivas: (Tuotantofunktio voidaan kirjoittaa kahden panoksen funktiona) Y= f(x 1,X 2 X 3,X 4,......,X n ), var 3, 4,......n är fasta insatser (kiinteät panokset). Om vi lämnar bort insatserna 3, 4,......n kan produktionsfunktionen skrivas som (, ) y = f x x 1 2 I fallet av två produktionsfaktorer kan vi härleda en isokvant (eng. isoquant, (Kahden tuotantopanoksen tapauksessa voimme johtaa samatuotoskäyrän). En typisk isokvant för arbete och kapital, t.ex. manuellt arbete eller maskiner. (Tyypillinen samatuotoskäyrä pääomalle ja työlle, esim. manuaalinen työ tai koneita) K 50 40 30 Isokvant (samatuotoskäyrä) Isokvanten visar alla kombinationer av produktionsinsatserna X 1 och X 2 som ger en given produktionsmängd. Samatuotoskäyrä osoittaa kaikkia tuotantopanosten X 1 ja X 2 yhdistelmiä, jotka tuottavat tietyn tuotannon määrän. 20 10 50 y 1 2 3 4 5 L 7

Substituten är av två olika slag: (2) (korvikkeet ovat kahden eri tyyppisiä) 2a. Fullständiga substitut (täydelliset korvikkeet, eng. perfect substitutes) 2b. Ofullständiga substitut (epätäydelliset korvikkeet) Exempel på fullständiga substitut: Ensilage gjort av vall eller ensilage gjort av majs (säilörehu tehty nurmesta tai säilörehu tehty maissista) Vissa gödselämnen (urea och salpeter) (jotkut lannoitusaineet esim. urea ja salpietari) Exempel på intervallvis (jaksottain) fullständiga substitut: 1. Korn (ohra) och havre (kaura) i svinköttproduktionen upp till maximalt ca 30 % havre (korkeintaan 30% kauraa) 2. Proteinfodermedlen 1) sojamjöl och 2) raps- eller rypskross (rypsirouhe), ärter (herne) och syntetiska aminosyror kan ersätta enligt följande: a) Inom svinköttproduktionen aminosyrorna lycin och metionin b) Inom produktionen av slaktkyckling (broileri) kan hälften av sojan ersättas Även aminosyrorna treonin och tryptofan bör tillsättas (källa: projektet "Kotimaista valkuaista herneestä 2002-2004", MTT loppuraportti samt "Juntti et al. 2005 Kotimaista valkuaista herneestä MTT selv. 93, även Valaja, Alaviuhkola och Suomi, 1993 Reducing crude protein content with supplementation of synthetic lysine and threonine in barley rapeseed meal pea diets for growing pigs) Salmonellasmittad sojaimport kunde kanske i viss mån undvikas med en sådan blandning. Exempel på teknologier... (3) 2a.Fullkomliga substitut (täydelliset korvikkeet), eng. perfect substitutes: Produktionsfunktionen skrivs ( x x ) = ax 2 f 1, + bx 2 1 Exempel: Enligt svenska försök kan 1 kg svinkött produceras genom utfodring med 2,5 kg korn eller genom utfodring med 2,65 kg havre eller genom en kombination av havre och korn. Köttets kvalitet försämras dock om mer än 2/3 av kornet ersätts med havre (sianlihan tuotannossa 1 kg sianlihaa voidaan tuottaa 2,5 kg rehuohralla tai 2,65 kg kauralla tai niiden yhdistelmällä. Tanskalaisten kokeiden perusteella ohrasta voidaan korvata korkeintaan 2/3 kauralla ref Jokela 1996) 8

Gillar du korn (ohra) eller havre (kaura) mer? Isokvant (samatuotoskäyrä) för två intervallvis fullständiga substitut: Foto: John Sumelius Utbytesförhållandet (korvaussuhde): 1,05 kg havre motsvarar kg foderkorn. 1 kg svinkött kan produceras genom följande kombinationer (1 kg sianlihaa voidaan tuottaa seuraavilla yhdistelmillä) Isokvant för 1) korn och 2) blandning av rapskross (rapsirouhe), ärter (herne) och syntetiska aminosyror för gödsvin (lihasika) i intervallet 25 kg - 105 kg (Valaja, Alaviuhkola och Suomi, 1993) (fil: svindiet(valajaetal) Korn Havre 2,5 0 2 0,525 1,5 1,05 1 1,575 0,5 2,1 0 2,625 Raps, ärter, min. o. vit. g/kg t.ä. 500 400 300 200 100 0 isokvant för 105 kg gödsvin 0 200 400 600 800 1000 korn, g/kg torrämne 9

2b. Ofullständiga substitut (epätäydelliset korvikkeet) (1) Ofullständiga substitut är inte fullkomligt substituerbara utan deras utbytesförhållande är ofullständigt (korvaavuussuhde ei ole täydellinen) Man kan t.ex. ersätta vall (nurmi) med fodersäd (rehuvilja) inom mjölkproduktionen men bara till en viss nivå, eftersom korna behöver en viss minimimängd av grovfoder (karkea rehu). 2b. Ofullständiga substitut (epätäydelliset korvikkeet) (1) Kan t. ex. skrivas genom en Cobb-Douglas funktion: (voidaan kirjoittaa Cobb-Douglas funktiona) a b ( x, fx ) Ax f = 1 2 1 x2 XX kg mjölk kan produceras t. ex. med 2000 kg fodersäd och 3000 kg hö eller med 1000 kg fodersäd och 5000 kg hö. (XX kg maitoa voidaan tuottaa esim. 2000 kilogrammalla rehuviljaa ja 3000 kilogrammalla kuivaa heinää tai 1000 kilogrammalla rehuviljaa ja 5000 kilogrammalla kuivaa heinää) A = en skalär för produktionen som visar hur stor avkastning man får då man använder en enhet av vardera insatsen. (A= tuotannon skalaari, joka osoittaa kuinka suuren tuotoksen saadaan kun käytetään yhden yksikön kumpaakin panosta. 2b. Ofullständiga substitut... (2) Ofta är a + b = 1 men produktionens omfattning inverkar, (om a + b >1 => tilltagande skalavkastning (mikäli a + b> 1=> kasvavat skaalatuotot, economics of scale), om a + b < 1 => avtagande skalavkastning (mikäli a + b< 1=> vähenevät skaalatuotot, diseconomies of scale). Cobb-Douglas funktionen är en funktionsform som uppför sig väl Mjölkproduktion, ofullständiga substitut Korn X2 50 40 30 Isokvant Y 20 10 VallfoderX1 100 200 300 400 500 Grafisk framställning av isokvant för två ofullständiga substitut X1 och X2 10

Uppgift/Tehtävä: Fundera på vilka slag av ofullständiga substitut det existerar inom lantbruket (tid 2 minuter) Diskutera med grannen (tid 3 minuter) Mieti minkälaisia epätäydellisiä korvikkeita esiintyy maataloudessa (aikaa 2 minuuttia) Keskustele vieressä istuvan naapurin kanssa (aikaa 3 minuuttia) 11