LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga) definitionsmängd samt värdemängd för en funktion i enkla fall. Exempel på uppgift. * Definiera begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd. * Låt funktionen f vara given av { 2, 0 x 1, f(x) = 2x, 1 < x 2. Ange definitionsmängden D f och värdemängden V f. Rita grafen till f. * Bestäm (största möjliga) definitionsmängd D f samt värdemängden V f till funktionen f(x) = x + 1. Beräkna sammansättningen av två funktioner. Exempel på uppgift. 202. Uppgift 1 på Dugga 1. Tillämpa räknereglerna för gränsvärden. Exempel på uppgift. (Ingår som en självklar del i alla gränsvärdesuppgifter.) Avgöra om en rationell funktion (kvot av polynom) har ett gränsvärde i en punkt, och beräkna detta. Exempel på uppgift. K1, K2, K4 i vecko-pm 1. Avgöra om en rationell funktion har ett gränsvärde då x och beräkna detta. Exempel på uppgift. K3 i vecko-pm 1. Känna till sambandet mellan högergränsvärde, vänstergränsvärde och gränsvärde. Förklara (och ge exempel på) vad det innebär att en funktion är kontinuerlig i en punkt, kontinuerlig på ett intervall respektive kontinuerlig.
Exempel på uppgift. * Förklara vad som menas med att en funktion f är kontinuerlig i en punkt x. * Ge exempel på en funktion med definitionsmängd [0, 2], som inte är kontinuerlig i punkten 1. Rita funktionens graf. Förklara (och ge exempel på) vad det innebär att en funktion är deriverbar i en punkt, deriverbar på ett intervall respektive deriverbar. Exempel på uppgift. * Förklara vad som menas med att en funktion f är deriverbar i en punkt x. * Ge exempel på en funktion med definitionsmängd [0, 2], som inte är deriverbar i punkten 1. Rita funktionens graf. Avgöra kontinuerlighet/deriverbarhet för en styckvis linjär funktion eller utifrån en given graf. Exempel på uppgift. K5 i vecko-pm 1. Redogöra för sambandet mellan deriverbarhet och kontinuitet (Sats s. 135). Exempel på uppgift. Förklara sambandet mellan deriverbarhet och kontinuitet. Tillämpa deriveringsreglerna på s. 137. (Obs! Satsen på s. 137 gäller för alla reella tal n.) Exempel på uppgift. Derivera följande funktioner: x/ sin x, (2x + 1) arcsin x. Derivera sammansatta funktioner med hjälp av kedjeregeln. Exempel på uppgift. Derivera ln(cos(3x 2 )). Bestämma ekvationer för tangent- och normallinje till en kurva i en punkt. Exempel på uppgift. K3 i vecko-pm 3. Tillämpningar av derivata. Finna alla lokala extrempunkter samt största och minsta värdet för en funktion på ett intervall genom att använda checklistan på s. 149. Exempel på uppgift. K1 i vecko-pm 2. K1 och K6 i vecko- PM 3. (Se även grafritningsuppgifterna.)
Lösa ett enklare optimeringsproblem givet i textform, genom att införa beteckningar och finna största eller minsta värdet för en lämplig funktion. Exempel på uppgift. K2 K5 i vecko-pm 2. Förklara begreppen konkav, konvex och inflexionspunkt och hur dessa hänger samman med andraderivatan. Exempel på uppgift. * Förklara vad som menas med att en funktion f är konvex resp. konkav på ett intervall. * Förklara vad som menas med att (x 0, f(x 0 )) är en inflexionspunkt till kurvan y = f(x). Förklara vad som menas med en asymptot (vertikal, horisontell eller sned) till en kurva. Exempel på uppgift. Förklara vad som menas med en asymptot till en kurva. Göra en skiss av grafen till en polynomfunktion eller rationell funktion. Följande ska framgå ur grafen: Kurvans skärningspunkter med x- resp. y-axeln Lokala maxima och minima Var funktionen är växande resp. avtagande Inflexionspunkter (om detta efterfrågas) Var funktionen är konvex resp. konkav (om detta efterfrågas) Eventuella horisontella och vertikala asymptoter till kurvan Exempel på uppgift. K8 och K9 i vecko-pm 2. Förklara vad som menas med att en funktion är inverterbar (omvändbar). Exempel på uppgift. Förklara vad som menas med att en funktion är inverterbar (omvändbar). Illustrera med en bild. De elementära funktionerna och deras derivator. Känna till gränsvärdet lim x 0 sin x/x = 1 och kunna använda detta för att bestämma enkla gränsvärden av liknande slag. Exempel på uppgift. Avgör om följande gränsvärden existerar och beräkna dem i så fall: sin x 2 lim x 1 x, lim x x 1 sin x.
Integral. 401ac. Redogöra för definitionen av funktionerna arcsin x, arccos x och arctan x (inklusive deras definitionsmängd och värdemängd) och skissa deras grafer. Exempel på uppgift. Ange definitionsmängd och värdemängd för funktionen arccos x. Skissa dess graf. Förenkla enklare uttryck i arcusfunktionerna genom att rita upp en lämplig triangel och använda trigonometriska samband. Exempel på uppgift. 404, 405. Redogöra för definitionen av talet e. Exempel på uppgift. Redogör för definitionen av talet e. Skissa kurvan y = e x. Redogöra för definitionen av funktionen ln x. Exempel på uppgift. Redogör för definitionen av funktionen ln x. Skissa kurvan y = ln x. Känna till storleksordningen av exponential- och logaritmfunktioner (Sats s. 207) och använda detta för att beräkna gränsvärden i enkla fall. Exempel på uppgift. Avgör om följande gränsvärden existerar och beräkna dem i så fall: e x lim x x, lim ln x x e, lim (ln x) 4. x x x 519. Bestäm eventuella horisontella och vertikala asymptoter till kurvan y = ln x. x Definiera begreppet primitiv funktion (obestämd integral). Exempel på uppgift. Förklara vad som menas med en primitiv funktion till en funktion f på ett intervall I. Beräkna en obestämd integral genom att använda standardintegralerna (1) (6) i avsnitt 6.5, i kombination med räknereglerna för integraler på sid. 218 1. 1 Standardintegral (7) behöver inte läras utantill.
Exempel på uppgift. 612aceg. Beräkna en obestämd integral med hjälp av partiell integration. Exempel på uppgift. 623. Beräkna en obestämd integral, av den typ som återfinns i exempel och rek. uppgifter på avsnitt 6.6, genom att hitta och genomföra en lämplig variabelsubstitution. Exempel på uppgift. 619 abcf, 620, 621 abc Bestämma en primitiv funktion till en rationell funktion (dvs., där P och Q är polynom) genom partialbråksuppdelning. P (x) Q(x) Exempel på uppgift. 628 abc, 629 abd Skriva ut alla termer i en summa skriven med Σ-notation (t. ex. Σ 5 i=1i). Exempel på uppgift. K3 i vecko-pm 4 Definiera begreppet Riemannsumma, och beräkna en enkel Riemannsumma. Exempel på uppgift. Förklara, gärna med en bild, vad som menas med en Riemannsumma av en funktion f på ett intervall [a, b]. Beräkna Riemannsumman R 3 = 3 k=1 f(ξ k) x med följande data: f(x) = x 2, 0 x 3, x = 1, ξ 1 = 0.5, ξ 2 = 1.5 och ξ 3 = 2.5. Illustrera med en bild. Förklara vad som menas med att en funktion är integrerbar och definiera begreppet bestämd integral. Exempel på uppgift. Låt f vara en funktion definierad på intervallet [a, b]. Förklara, med hjälp av begreppet Riemannsumma, vad som menas med att f är integrerbar på [a, b] och hur b f(x) dx definieras. a Formulera integralkalkylens fundamentalsats (den version som gåtts igenom på föreläsingen). Exempel på uppgift. Formulera integralkalkylens fundamentalsats. Beräkna en bestämd integral genom att använda integralkalkylens fundamentalsats (del II) i kombination med de metoder vi lärt oss för att hitta primitiva funktioner
Exempel på uppgift. 616, 617, 624abc, 631a. Bestämma arean mellan två funktionskurvor genom att beräkna en lämplig bestämd integral. Exempel på uppgift. 605, K3 i vecko-pm 5. Beräkna en (bestämd eller obestämd) integral genom att genomföra en angiven variabelsubstitution. Exempel på uppgift. K4 och K5 i vecko-pm 5. Använda variabelsubstitution och trigonometriska formler för att beräkna en integral av typen sin m x cos n x dx. Exempel på uppgift. 641 Känna igen att en integral är generaliserad och i enkla fall beräkna en generaliserad integral som är konvergent. Exempel på uppgift. K6 i vecko-pm 5. Differentialekvationer. Lösa en linjär differentialekvation av första ordningen, eventuellt med begynnelsevillkor. Exempel på uppgift. 820 822. Lösa en separabel differentialekvation, eventuellt med begynnelsevillkor. Exempel på uppgift. 830 832. Skriva om en differentialekvation på operatorform. Exempel på uppgift. Skriv differentialekvationen y + 3y 5y = xe x på operatorform. (Lösning: (D 2 +3 D 5)y = xe x.) Lösa en homogen linjär differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter, eventuellt med begynnelsevillkor. Exempel på uppgift. K1 i vecko-pm 6. Förklara hur man får fram den allmänna lösningen till en inhomogen linjär differentialekvation med konstanta koefficienter (Sats s. 312).
Exempel på uppgift. Förklara, med hjälp av begreppen homogenlösning och partikulärlösning, hur man erhåller den allmänna lösningen till differentialekvationen P (D)y = g(x), där P (D) är en linjär differentialoperator med konstanta koefficienter. Lösa en inhomogen linjär differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter, eventuellt med begynnelsevillkor, där högerledet är av den typ som förekommer i rek. övningar på avsnitt 8.6. Exempel på uppgift. 860, K2 i vecko-pm 6. Taylorutveckling. Bestämma ett Taylorpolynom av angiven grad, genom att använda Taylors formel eller utnyttja en känd Maclaurinutveckling. Exempel på uppgift. K1 och K2 i vecko-pm 7, 706. Lärmål för överbetyg (4 eller 5) (B) står för bevis. Utöver dessa lärmål krävs för betyget 4 eller 5 att man kan kombinera olika delar av teorin för att lösa problem. Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. För överbetyg ska du också kunna... Avgöra om en funktion har ett gränsvärde i en punkt eller i oändligheten och beräkna detta, i mer komplicerade fall. Redogöra för den formella definitionen av gränsvärde (med ɛ och δ) och använda den för att beräkna gränsvärden i enkla fall. Beräkna derivatan av en funktion med hjälp av definitionen, i enkla fall. (B) Bevisa att deriverbarhet medför kontinuitet. Bestämma dy/dx ur ett implicit samband mellan y och x. Tillämpningar av derivata. Lösa något mer invecklade optimeringsproblem. (B) Bevisa satsen om derivatans värde i lokala extrempunkter. Formulera medelvärdessatsen. (B) Bevisa följdsatsen till medelvärdessatsen (s. 154) som ger sambandet mellan derivatans tecken och funktionens monotonicitet.
Avgöra om en funktion har en sned asymptot och bestämma denna. Avgöra huruvida en funktion är inverterbar och bestämma den inversa funktionen. Bestämma värdet av den inversa funktionen φ = f 1 och dess derivator i en given punkt, även i de fall det inte finns något explicit uttryck för φ, genom implicit derivering. De elementära funktionerna och deras derivator. (B) Bevisa att lim x 0 sin x/x = 1. (B) Härleda derivatan av sin x, cos x och tan x utifrån derivatans definition. (B) Härleda derivatan av arcsin x, arccos x och arctan x. (B) Härleda derivatan av e x. (B) Härleda derivatan av ln x. Integral. Bestämma en primitiv funktion till en styckvis definierad funktion. (B) Bevisa att om F och G är två primitiva funktioner till f, så är G(x) = F (x) + C. Formulera integralkalkylens medelvärdessats (den version som gåtts igenom på föreläsningen). (B) Bevisa integralkalkylens fundamentalsats (den version som gåtts igenom på föreläsningen). Avgöra om en generaliserad integral är konvergent eller divergent, och beräkna dess värde om den är konvergent. Differentialekvationer. (B) Bevisa satsen om allmän lösning till inhomogen linjär differentialekvation (s. 312). Lösa en inhomogen linjär differentialekvation av högre ordning med konstanta koefficienter, eventuellt med begynnelsevillkor, där högerledet är av den typ som förekommer i rek. övningar på avsnitt 8.6. Taylorutveckling. Använda Taylorutveckling för att bestämma ett gränsvärde.