Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk mekanik. T ex L = M fås ur ovanstående genom att dela upp en kropp i masselement och utnyttja stelkroppsvillkoret. Vi har också stött på ekvationen i diverse förklädnader. Uttryckt i diverse olika koordinatsystem. Arbete energy-principen. Impuls rörelsemängd. Impulsmoment rörelsemängdsmoment. Vi skall introducera en alternativ formulering av den klassiska mekaniken: analytisk mekanik. Vi kommer att formulera Lagranges ekvationer och visa att dessa följer från en fundamental princip som kallas verkansprincipen. Idag Illustrerande exempel utan motivering. Introducera nya begrepp. Generaliserade koordinater. Generaliserade hastigheter. Generaliserade krafter. Generaliserade rörelsemängder. 1
En massa fäst i en fjäder med en frihetsgrad. Rörelseekvationen kan fås från Newtons andra lag: F = ma mẍ = kx Istället formar vi den till synes underliga kombinationen L = T V som vi kallar för systemets Lagrangian. I vårt fall är T = 1 2 mx2 och V = 1 2 kx2. Sedan introducerar vi (omotiverat) Lagranges ekvation: ( ) d L L dt ẋ x = 0 I vårt fall: dvs samma som förut. L ẋ = mẋ L x = kx mẍ + kx = 0 Generaliserade koordinater Antalet frihetsgrader bestämmer hur många rörelsevariabler som behövs för att beskriva det. Om antalet frihetsgrader är N kallar vi varje uppsättning rörelsevariabler q 1, q 2,, q N för en uppsättning generaliserade koordinater. En stel kropp i planet har tre frihetsgrader. Vi kan använda (x c, y c, θ) som generaliserade koordinater där (x c, y c ) beskriver masscentrums läge och θ kroppens rotation relativt godtycklig axel. Generaliserade hastigheter Defineras intuitivt från de generaliserade koordinaterna. v i = q i Notera att enheten på v i beror på enheten hos q i. 2
Med polära koordinater (r, ϕ) som generaliserade koordinater för en partikel i planet fås generaliserade hastigheter (ṙ, ϕ) medan den verkliga hastighetsvektorn är (ṙ, r ϕ). Generaliserade krafter Studera ett system med N frihetsgrader. Detta kan beskrivas med N stycken kartesiska koordinater x 1, x 2,, x N. Alternativt kan samma system beskrivas med en uppsättning generaliserade koordinater q 1, q 2,, q N. Då de beskriver samma system måste det finnas en transformation mellan dessa. x i = x i (q 1, q 2,, q N ) = x i (q) (för enkelhetens skull bortses från tidsberoende) En förändring dq i rörelsevektorn q ger motsvarande förflyttning i alla x i enligt dx i = q j dqj Det infinitisemala arbetet dw som uträttas av en kraft F under en sådan förflyttning är en summa av termer N dw = F i dx i = F i q j dqj ( N ) = F i xi dq j q j = F j dq j F j är den generaliserade kraften associerad med den generaliserade koordinaten q j. Betrakta en matematisk pendel med längd l. Välj vinkeln ϕ från vertikalaxeln som generaliserad koordinat. Antag att massan förflyttas vinkeln dϕ under inverkan av en kraft F. Den förflyttade sträckan blir dr = l dϕ ê ϕ och det uträttade arbetet dw = F dr = F ϕ l dϕ 3
F ϕ = F ϕ l Dvs F ϕ = F ϕ l är den generaliserade kraften associerad med den generaliserade koordinaten ϕ. Allmänn slutsats Den generaliserade kraft som associeras med en vinkelkoordinat är ett vridmoment. Om kraften är konservativ kan den skrivas i termer av en potential. Vad gäller för en generaliserad kraft? F i = V F j = F i xi q j = V q j = V q j Kinetisk energi och generaliserad rörelsemängd Betrakta en partikel i rummet (dvs N = 3). Den kinetiska energin T = 1 2 m (ẋ i ) 2 med transformation x i (q) (utan tidsberoende, fast det spelar ingen roll). så med ẋ i = d dt (xi ) = [ T = 1 2 m q j qj q j qj k=1 = 1 2 m A jk (q) q j q k A jk = j,k=1 q j q k ] q k qk Alltså kan T skrivas i matrisform T = 1 2 m qt A q där A är en symmetrisk matris. 4
Plan rörelse med polära koordinater (r, ϕ) eller med kartesiska koordinater (x, y). Transformationen är x = r cos ϕ, y = r sin ϕ Matriselementen för A kan räknas ut A rr = x x r r + y y r r = cos2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 A ϕϕ = x x ϕ ϕ + y y ϕ ϕ = r2 sin 2 ϕ + r 2 cos 2 ϕ = r 2 A rϕ = A ϕr = x x r ϕ + y y = cos ϕ( r sin ϕ) + sin ϕr cos ϕ = 0 r ϕ ( ) 1 0 A = 0 r 2 Den kinetiska energin blir T = 1 2 m ( ( ) (ṙ ) 1 0 ṙ ϕ) 0 r 2 ϕ = 1 2 m ( ( ) ṙ ṙ ϕ) r 2 = 1 ϕ 2 m(ṙ2 + r 2 ϕ2 ) När man differentierar den kinetiska energin m a p en (vanlig) hastighet får man T ẋ i = mẋi Vi definerar den generaliserade rörelsemängden ρ i = T q i Polära koordinater igen: T = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ϕ2 ) dvs generaliserade rörelsemängden är ρ r = T ṙ = mṙ ρ ϕ = T ϕ = mr2 ϕ Dvs generaliserad rörelsemängd associerad med en vinkelkoordinat är ett rörelsemängdsmoment. 5