LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren till datorn och starta programmet LoggerPro. Montera kraftgivaren i ett stabilt stativ, häng fjädern i kraftgivaren och häng vikten i fjädern. Placera avståndsmätaren rakt under vikten. OBS! avståndet mellan avståndsmätaren och vikten måste hela tiden vara minst vara 45 cm! (nyare avståndsmätare skall fungera ner till 15 cm) Avståndsmätare Anslut kraftgivare och avståndsmätare till mätinterfacet. LoggerPro hittar givarna och visar aktuell kraft. (Avståndsmätaren är bara aktiv vid mätning) Nu vill vi studera viktens elongation (avvikelse från jämviktsläget). För den skull vill vi att lägesgivaren visar noll då vikten är i vila. Då vikten är i vila måste ju även den resulterande kraften på vikten vara noll. Alltså nollställer vi de båda givarna. Då vikten hänger stilla tryck, Nollställ. Saknas nollställningsikonen så tryck Arkiv Inställningar för och bocka i Visa nollknapp på verktygslist. (Nollställning kan även hittas under Experiment Noll. Man kan även trycka Ctrl+ 0 på tangentbordet.) Bocka för kraftgivare och lägesgivare. Nu visar kraftgivaren noll.
Så är det viktigt att se till att båda givarna har samma positiva riktning. Då vikten flyttas uppåt kommer lägesgivaren att mäta ett större avstånd, alltså är positiv riktning för lägesgivaren uppåt. Om vi drar i vikten neråt ser vi på skärmen att kraften ökar. Drar vi kraften neråt känner vikten en ökande kraft uppåt. Alltså är den positiva riktningen för kraftresultanten på vikten även den riktat uppåt. Båda givarna har alltså samma positiva riktning. Grundinställning för datainsamling då man använder avståndsgivaren är 50 mätningar/sekund och 10 sekunders insamlingstid. Man kan eventuellt ändra minska insamlingstiden till 5 sekunder (om man känner sig stressad) Sätt vikten i gungning och starta insamlingen genom att klicka Mät. Radera samtliga graffönster utom det som visar läget som funktion av tiden. Maximera fönstret. (Klicka Sida i verktygsfältet och Ordna automatiskt) Om grafen ej utnyttjar hela fönstret klicka höger musknapp i graffönstret och välj Grafalternativ. Välj fliken Val för axlar och välj Autoskala både för x-axeln och y-axeln. Så här kan grafen se nu ut. 0,746 0,746 5 T 2 A Studera lägesgrafen och bestäm amplitud, periodtid, frekvens, vinkelhastighet och fasvinkel. Amplituden: 2 A = 0,167 m A = 0,167/2 m = 0,0835 m Periodtiden: 5 T = 4,372 s T = 4,372/5 s = 0,874 s Frekvensen: f = 1 = 1 Hz = 1,14 Hz T 0,874 Vinkelhastighet: ω = 2πf = 2π 1,14 rad/s = 7,19 rad/s Sinuskurvan är förskjuten 0,746 s åt höger. För att kompensera detta får vi ersätta t med t 0,746 i funktionen y(t) = A sin ωω. Lägesfunktionen blir y(t) = 0,0835 sin(7,19 (t 0,746)) = = 0,0835 sin(7,19 t-5,36)
För att se om hur våra beräkningar stämmer så ritar vi denna funktion tillsammans med den uppmätta grafen. Klicka Data Ny beräknad kolumn och mata in namn, förkortning och uttrycket 0,085*sin(7,19* Tid -5,36) Vänsterklicka på rubriken Läge(m) och välj Mer Bocka i Beräknat läge(m) så visas båda graferna i samma diagram. Man ser eventuellt skillnaderna mellan graferna bättre om man bockar av Förbind mätpunkter i fönstret Grafalternativ som fås genom att klicka höger musknapp i graffönstret eller klicka Alternativ i menyraden. Vill man enkelt ha ekvationen för grafen kan man göra en automatisk anpassning. Klicka Kurvanpassning Välj A sin(b*t+c)+d OBS! Datorn räknar fram en annan fasvinkel (+ 0,915) vi hade räknat fram fasvinkeln till -5,36. Fasvinkeln +0,915 innebär att sinuskurvan är förskjuten 0,915 radianer åt vänster. Då 2π 5,36 = 0,92 ser vi att flytta grafen 5,36 rad åt höger ger samma resultat som att flytta den 0,915 rad åt vänster.
Denna övning har inte så mycket att göra med harmonisk svängning men det är en nyttig matematisk övning. Då elongationen, avvikelsen från jämviktsläget, är sinusformad kallas svängningen harmonisk och nu är det dags att studera den. Om vi visar elongationen Läge och Kraft samtidigt ser vi att då massan är så högt som möjligt är kraften på den maximal och riktad neråt. Sambandet mellan kraft och elongation syns bäst om man har läge på x-axeln. Klicka vänster musknapp på rubriken Tid (s) och välj Läge. Klicka på rubriken på y-axeln och välj Kraft. Bocka av Förbind mätpunkter. Då det ser ut att vara ett linjärt samband klickar vi Linjär anpassning Vi får sambandet F = -k y där y är elongationen. k = 26,1 N/m är fjäderns fjäderkonstant. Att linjära anpassningen ej går genom origo beror det på att nollställning av givarna ej varit helt korrekt.
Vi har funnit att F = -k y Newtons andra lag ger F = m a Accelerationen är ju andraderivatan av lägesfunktionen a = d2 y = y dt 2 Detta ger m y = - k y eller y + k y = 0 m Detta är en andra ordningens differentialekvation med den karaktäristiska ekvationen r 2 + k = 0 som löses m r2 = k m r = ±i k m Differentialekvationens lösning är y(t) = C 1 sin( k t)+ m C2 cos( k t) = A sin( k t + ϕ) där m m A = C 2 2 1 + C 2 och φ = ttt C 2 enligt formelsamlingen. C 1 Alltså, om den återförande kraften är proportionell mot elongationen kommer elongationen bli sinusformad med vinkelhastigheten ω = k m Nu byter vi och visar accelerationen på x-axeln. Även här får vi en proportionalitet. F = konst a Konstanten i detta fall är viktens massan. I detta fall vägde massan 0,504 kg medan grafen ger m = 0,546 kg, ganska stort fel. Vad kan det bero på? Accelerationen erhålles genom numerisk derivering 2 gånger av avståndsdata. Normalt används 7 punkter för att beräkna derivatan i varje punkt. (det ser man om man studerar de tre första punkterna på grafen. De passar inte riktigt in i grafen) De små felen i lägesgrafen förstoras vid varje derivering vilket ger en risig graf. Utjämningen genom att avvända flera punkter för att beräkna derivatan i en punkt gör att kurvan blir snyggare. Nackdelen med att grafen utjämnas är att snabba förlopp undertrycks och maxvärdena blir något mindre.
Man kan ändra antalet punkter vid deriveringen genom att klicka Arkiv Inställningar för. Ändra man Antal punkter för derivataberäkning till 3 får man följande graf. Den ger massan 0,52 kg. Något bättre! Vad händer om vi deriverar den anpassade elongationsfunktionen två gånger? y(t) = 0,0835 sin(7,19 t-5,36) y (t) = 0,0835 7,19 cos(7,19t 5,36) y (t) = - 0,0835 7,19 2 sin(7,19 t 5,36) = = - 4,32 sin(7,19 t 5,36) Matar man in denna funktion som Ny beräknad kolumn och kallar den Beräknad Acc får man denna graf och massan 0,50 kg Nu kan vi verifiera formeln ω = k m Vi har fått k = 26,1 N/m och m = 0,5 kg. Detta ger ω = 26,1 rrr/s 7,22 rrr/s Vår uppmätta vinkelhastighet var 7,19 rad/s (skillnad ca 0,4%) 0,5 Energin hos den harmoniska oscillatorn. Rörelseenergin E kkk = m(v(t))2 2 Potentiella energin E ppp = k(y(t))2 där k är 2 fjäderkonstanten och y(t) är elongationen. Totala energin = E kkk + E ppp Skapa nya beräknade kolumner för dessa tre storheter Kinetiska energin får uttrycket enligt bild. För potentiella energin blir uttrycket 0,5*26,1* Läge ^2 Totala energin E kin + E pot
Här ser vi E kin E pot samt Totala energin i samma diagram. Totala energin är någorlunda konstant. Ett annat sätt att presentera energin är att visa hur energin pendlar mellan olika former som funktion av läget. Vi ser att den totala energin enklast beräknas som kinetiska energin då vikten passerar jämviktsläget eller potentiella energin hos vikten i vändlägena. Och med graferna i samma diagram ser det ut så här. Här har vi använt 3 punkters utjämning. Om man matar in de erhållna ekvationerna för läges- och hastighetsfunktionen så blir kurvorna så här fina, men det är ju lite fusk.