Atag Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys LAPLACETRANSFORMEN R a S z T a f xt f 0 0 xt dt a f l q xt Låt ~x t xt e t, dä, såda att z ~x a f x t dt ågot z 0 0 Fölaktlge exstea x t (el. guddef.) Copyght Lasse Alfedsso, LTH
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 2 (Ekelsdg) laplacetasfom, fots. t t x t x t e x t e dt X Låt s st X s x t x t e dt I I 0- I : Ekelsdg laplacetasfom kp Kovegesomåde: Re s 0 xt 0 0 x t 0 0 X Xs X s X s OBS! s Copyght Lasse Alfedsso, LTH 2
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 3 Dubbelsdg laplacetasfom Låt x(t) t och låt F xt e t fö ågot eellt tevallet 0 : s st XII s II x t x t e dt Kovegesom. fö X II (s): kp Re s 0 ( OBS! Om -axel lgge kovegesomådet fö X(s )! ) Dubbelsdg laplacetasfom x t Copyght Lasse Alfedsso, LTH 3
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 4 Ives laplacetasfom De vesa laplacetasfome ä desamma fö de dubbelsdga som fö de ekelsdga tasfome: 2 st x t X s X s e ds Itegatosväg t kov.omådet + I dea kus ehålle v ofta (oftast) tasfome och deas vese få fomelsamlge! Repetea gäa laplacetasfome se Kaptel 2.4! - Copyght Lasse Alfedsso, LTH 4
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 5 Ketsbeäkga, läa RLMC-ät (passva ketselemet, laplacetasfomebaa källo) METODIK, beäka godtycklg ätspäg / -stöm: ) e(t) () 0 0( (t) E(s) I 0 0( (s) Om ätföädga ske vd t = t 0 ( hä atas t 0 = 0 ) Betakta alla 0 x t t0 u t t0 Xse st källo som kopplade vd t = t 0 (t) I(s) Äda 2) v(t) V(s) beteckga Copyght Lasse Alfedsso, LTH 5
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 6 Ketsbeäkga, metodk (fots) 3) Esätt passva ätelemet med opeatoschema: (t) R v(t) vt Rt Vs R Is I(s) R V(s) (t) L v(t) vt L d t dt a f Vs slis L 0 I(s) sl V(s) L (0-) L (0-) motsvaa e mpulsfomad späg med styka L (0-) tdsplaet ( K K t ): L (0-) t Copyght Lasse Alfedsso, LTH 6
3) fots. (t) v(t) Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 7 Ketsbeäkga, metodk (fots) C t C dv t dt a f Vs sc Is v 0 s I(s) sc V(s) v(0-) s v(0-)/s motsvaa e stegfomad späg med höde v(0-) tdsplaet ( K K ut): s v(0-) t 4) Lkstömsteo 5) Ivestasfomea Sökt stohets laplacetasfom ( Y(s) ) Sökt stohets tdsuttyck ( y(t) = { Y(s) } ) Copyght Lasse Alfedsso, LTH 7
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 8 SYSTEMANALYS Kausalt LTI-system av odg x(t) h(t) y(t) Måga LTI-system ka beskvas med e dffeetalekvato: dyt () dxt () ayt () a bxt () b dt 0 0 dt Atag x(t<0) = 0 (Kausalt system ge då y(t<0) = 0 I ka avädas) m dy() t I sy( s) y(0 ) dt dyt () 2 I sy( s) s y(0 ) s y (0 ) dt Copyght Lasse Alfedsso, LTH 8
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 9 Systemaalys, Systemfukto m bs 0 Ys Xs Y s z as y t y t y t zs De tvuga svägge z 0 De fa svägge ( gå edast om systemet ha begyelseeeg ) Systemfuktoe: s s YI HIs Ih t X I alla taltllståd = 0 Copyght Lasse Alfedsso, LTH 9
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 0 Systemfukto, fots Dvs. fö eegfa kausala LTI-system gälle I I Y s y t xh t X s H s Fö cke-kausala LTI-system gälle a f a f a f Y s X sh s II II II (Evetuell begyelseeeg ka då te hateas) Copyght Lasse Alfedsso, LTH 0
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys Pol-Nollställedagam Hs m m bs 0 as 0 K c a s s p h f K : : p : Nvåkostate = b m a Nollställe tll H(s) = tälapolyomets ollställe Pole tll H(s) = ämapolyomets ollställe Copyght Lasse Alfedsso, LTH
Exempel: H s Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 2 Pol-Nollställedagam, fots K=2 3 2 2s 4s 4s 4 3 2 s 4s 8s 6s 6 2 (2) -2 - - -2 0 0 2 Nollställe: Pole: s s s 2 2 s a fas 2 fas 2 f p p2 2 p3 2 p4 2 Kovegesomåde fö H(s) om kausalt system: Re s 0 Copyght Lasse Alfedsso, LTH 2
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 3 Pole, ollställe och tdssgal Polea age, tllsammas med deas espektve postoe, vlka type av teme (sgalkompoete) som gå sgale. Ekelpol (eell): ( s = Re{s}> e u t s t Ekla komplexko. polpa: 0 2 2 ( s =, Re{s} > ) s 0 t e s 0t u t Nollställea veka fämst på de elatva styka av de olka temea. Copyght Lasse Alfedsso, LTH 3
Exempel: X I s K=2-2 Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 4 Övelagade pol-ollställedagam s s 2 2 s s s 2-2 - 2 2t x t e u t H s 3s s I 2 2 K=3-2 - s 2 2-2 h(t) YIs X Is HIs a a f f 2 s ss2 K = 2 3 = 6-2 - a 2 y(t) 3s f 2 2 s 2-2 OBS! Copyght Lasse Alfedsso, LTH 4
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 5 KAUSALITET & kovegesomåde fö H(s) De te typea av sammahägade kovegesomåde motsvaa fö systemfuktoe H(s) olka kausaltetsfall: Atkausalt system Allmät cke-kausalt system Kausalt system h(t0)=0 h(t<0, t0) 0 h(t<0)=0 Re{s}< < Re{s} < Re{s}> Copyght Lasse Alfedsso, LTH 5
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 6 STABILITET Eegftt LTI-system x(t) h(t) y(t) = (x h)(t) V vet: Systemet ä stablt omm x(t) M y(t) N t z z hatf dt F khat fp H Dvs. -axel lgge kovegesomådet fö H(s) Dvs. fö ett stablt LTI-system gälle s H H s Magellt stablt LTI-system -axel utgö e ad tll kovegesomådet fö H(s) och alla dess pole på -axel ä ekla. OBS: Fö systemfuktoe tll ett stablt elle magellt stablt LTI-system gälle att atal pole atal ollställe Copyght Lasse Alfedsso, LTH 6
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 7 Stabltet & Kausaltet Fö ett stablt LTI-system med mpulssva h(t) och systemfukto H(s) gälle ett av fölade te fall: ) h(t0) = 0 2) Allmä h(t) 3) h(t<0) = 0 Stablt & Atkausalt Alla pole HHP Stablt & Icke-kausalt Pole VHP & HHP Stablt & Kausalt Alla pole VHP Copyght Lasse Alfedsso, LTH 7
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 8 Stabltetselatoe, H s T s N s Om stablt: H a f H F Hs s H(s) a f khtp Stablt system z ht dt x t gad Ns ENERGIFRITT LTI-SYSTEM a f y t gad Ts a f -axel gå kovegesom. Copyght Lasse Alfedsso, LTH 8
9 Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 9 Ampltud- & faskaaktästk (-spektum) s m H H s K s s p H e s H s I II ag m Stablt LTI-system H K p m Ampltudkaaktästke: Copyght Lasse Alfedsso, LTH ag ag ag ag H K p a f a f Faskaaktästke:
Fö 6, 7 & 8 - Laplacetasfomaalys 20 Ampltud- & faskaaktästk, fots Exempel, beäkg av fekveskaaktästk (elle -spektum) få pol-ollställedagam: Im{s} Nollställevektoe: N Polvektoe: P p agn agpp,, ag K 0, l q K P 2 2 P N 2 P N 2 Låt : 0 Re{s} H K N N 2 N 3 P P2 P3 3 3 agh agk P 3 N 3 3 3 Copyght Lasse Alfedsso, LTH 20