. Gausseliminering Vi skall till att b rja med s ka l sningen èl sningarnaè till ett s kallat linj rt ekvationssystem. Ett s dant system med m ekvationer och n obekanta èm; n 2 Z + è har formen a x + a 2 x 2 + æææ+a n x n =b èè a 2 x + a 22 x 2 + æææ+a 2n x n =b 2,,,,,,, a m x +a m2 x 2 +æææ+a mn x n = b m : Talen a ik och b i èi = ;:::;m; k = ;:::;n r givna reella tal och symbolerna x j èj =;:::;nè rs kallade obekanta èibland ocks kallade variablerè. Att l sa systemet inneb r att çnna alla n-tiplar èx ;x 2 ;:::;x n èsom satisçerar alla ekvationer i systemet. Det çnns olika metoder f r l sning av èè. Den mest praktiska r metoden med Gausseliminering. Det r ocks den som man anv nder d man l ser ett linj rt ekvationssystem p dator. Triangul ra system och system i echelonform L t oss se p ett exempel: Exempel.. F r ekvationssystemet 2x + x 2, x 3 =5 x 2 + x 3 =3 3x 3 =6 r l sningsmetoden sj lvklar: F rst l ses den tredje ekvationen och man f r x 3 =2. Detta utnyttjas sedan i ekvation tv, som ger x 2 =3,x 3 =3,2=. Slutligen ger den f rsta ekvationen, att x = è5, x 2 + x 3 è=2 = 3. Man f r den entydiga l sningen èx ;x 2 ;x 3 è=è3;;2è. Deçnition.. Om alla obekanta i ekvationssystem èè r lika med antalet ekvationer s gs systemet vara kvadratiskt. Ett kvadratiskt system s gs vara upp t triangul rt om a ik =s snart kéioch ned t triangul rt om a ik =s snart kéi. Alla upp t triangul ra system, s dana att a ii 6=f r alla i, kan som i exempel. l sas genom s.k. bak tsubstitution: Man b rjar med den sista ekvationen, som ger v rdet p den sista obekanta, och f r tidigare obekanta i tur och ordning genom ins ttning av redan k nda v rden. Som de f ljande exemplen visar beh ver systemet ingalunda vara triangul rt f r att denna l sningsmetodik skall fungera.
2 Bj rkfeltçbjon Exempel.2. Systemet 2x + x 2, x 3 + x 4 =5 x 2 + x 3, x 4 =3 3x 3 +6x 4 =6 r inte triangul rt èdet r ju inte kvadratisktè. Ger vi d remot x 4 ett godtyckligt v rde s ès 2 Rè, som sedan betraktas som bekant, och skriver om systemet, 2x + x 2, x 3 =5,s x 2 + x 3 =3+s 3x 3 =6,6s; s blir det triangul rt i de obekanta x ;x 2 ;x 3 och kan l sas genom bak tsubstitution. L sningsm ngden blir m ngden av alla l sningar x =3,3s x 2 =+3s x 3 =2,2s: ès2rè Vi s ger att x 4 r en fri variabel, eftersom vi ju valde denna godtyckligt èfrittè. De vriga variablerna x, x 2 och x 3 r basvariabler. Exempel.3. Systemet x +2x 2 +3x 3 +x 4, x 5 =2 x 3 +x 4 +x 5 =, x 4,2x 5 =4 r triangul rt i variablerna x, x 3 och x 4. De tv vriga f r bli fria variabler och tilldelas godtyckliga v rden: x 2 = s, x 5 = t ès; t 2 Rè. L sningen, som f s genom bak tsubstitution, blir x x 2 x 3 = = = 3,5 4,2s +8t,3t ; ès; t 2 Rè +2t Systemen i exemplen.-.3 s gs ha s.k. echelonform: Deçnition.2. Ett system har echelonform om den f rsta icke-noll-termen èdvs. en term med koeçcienten a ij 6=èivarje ekvation ligger l ngre till h ger n i f reg ende ekvation. Den f rsta koeçcienten olik noll i varje rad s gs d vara ett pivotelement. Exempel.4. Varje upp t triangul rt system r uppenbarligen i echelonform. Det r klart att h gst ett pivotelement r associerat med varje obekant och att det çnns h gst lika m nga pivotelement som det çnns rader. De obekanta èeller variablerè som r f rbundna med n got pivotelement r just de som vi i exemplen kallat basvariabler medan de vriga kallats fria variabler. Varje system i echelonform kan skrivas som ett triangul rt system i sina basvariabler genom att man çyttar alla termer som inneh ller fria variabler till ekvationernas h gra led.
Gausseliminering 3 Omformning till echelonform Deçnition.3. Tv ekvationssystem s gs vara ekvivalenta om de har samma l sningsm ngd. Anm rkning. Denna deçnition p ekvivalens r den mest praktiska f r v ra behov. Man kan visa att tv system ès è och ès 2 è r ekvivalentaiovanst ende mening om och endast om de r ekvivalenta i logisk mening: ès è èè ès 2 è. Beviset f r detta kr ver emellertid en v sentlig del av den teori som vi st r i ber d att utveckla. V r str van r nu att skriva ett linj rt ekvationssystem i form av ett echelonsystem, som r ekvivalent med det givna systemet. L sningarna kan ju sedan f s genom bak tsubstitution. Metodiken framg r genom n gra exempel. Exempel.5. Betrakta systemet x +2x 2 +3x 3 =6 èè 2x +5x 2 + x 3 =9 è2è x +4x 2,6x 3 = è3è ; d r vi har numrerat ekvationerna f r att l ttare kunna f rklara vad vi g r. F rst bildar vi ett nytt system genom att eliminera x ur è2è och è3è med hj lp av èè. Detta tillg r s, att vi multiplicerar b gge leden i èè med talet 2 och subtraherar resultatet fr n è2è. D f rsvinner den term som inneh ller x ur è2è. P samma s tt subtraherar vi g nger èè fr n è3è, varvid termen inneh llande x f rsvinner ur è3è. Dessa operationer kan i symbolspr k uttryckas genom è2è! è2è, 2èè è3è! è3è, èè ; d r t.ex. den f rsta raden kan utl sas çers tt rad è2è med rad è2è minus 2 g nger rad èèç. Det nya systemet blir nu x +2x 2 +3x 3 = 6 è è x 2, 5x 3 =,3 è2 è 2x 2, 9x 3 =,5 è3 è : Det system som bildas av è2 è och è3 è behandlas sedan enligt samma m nster, dvs. x 2 elimineras ur è3 è genom att man utf r operationen è3 è! è3 è, 2è2 è ; och man f r ett system i echelonform èdet r t.o.m. triangul rtè: x +2x 2 +3x 3 =6 x 2,5x 3 =,3 x 3 =: L sningen f s nu genom bak tsubstitution och visar sig bli èx ;x 2 ;x 3 è=è,;2;è.
4 Bj rkfeltçbjon Den operation som vi anv nt i f reg ende exempel kallar vi Basoperation èboè: Subtrahera en multipel av en ekvation fr n en annan ekvation: èiè! èiè, çèkè èi 6= kè : Denna basoperation har vi anledning att dela upp i tv litet str ngare delar: èbo + è Subtrahera en multipel av en ekvation fr n en senare ekvation. èbo, è Subtrahera en multipel av en ekvation fr n en tidigare ekvation. Andra operationer, som uppenbarligen kan anv ndas p ett system utan att systemets l sningm ngd ndras, r Basoperation 2 èbo2è: Tv ekvationer, s g èiè och èkè, byter plats: èiè $ èkè : Basoperation 3 èbo3è: En ekvation, s g ekvation èiè, multipliceras med ett tal ç som inte r : èiè! çèiè : Anm rkning. Basoperationerna èboè,èbo3è r beroende av varandra. Man çnner t.ex. l tt att èbo2è kan h rledas ur èboè och èbo3è, vilket ju g r èbo2è verç dig ur teoretisk synvinkel. Vid praktiska kalkyler r det emellertid b st att ha tillg ng till dessa tre enkla regler. En viktig sak terst r att veriçera, n mligen Sats.. De tre basoperationerna èboè, èbo3è, till mpade p ett ekvationssystem, ger upphov till ett system som r ekvivalent med det ursprungliga. Bevis. Om man l ter tv ekvationer byta plats i ett system, s g r det ju att byta tillbaka, och om man multiplicerar en ekvation med ç è6= è, s kan man sedan multiplicera samma ekvation med =ç och p det s tter terst lla det ursprungliga systemet. Det r d rf r trivialt att anv ndning av èbo2è och èbo3è ger upphov till nya system, som r ekvivalenta med det ursprungliga. N stan lika enkelt r det att bevisa satsens p st ende f r èboè: Om vi till mpar operationen èkè! èkè, çèiè p systemet ès è 8 : é V i = b i èiè : V k = b k èkè é: : ;
Gausseliminering 5 d r de v nstra leden kort betecknats med V j, s f r vi 8 : ès 2 è é V i = b i : èi è V k, çv i = b k, çb i èk è é: : : Och omv nt, om vi anv nder operationen èk è! èk è+çèi è p ès 2 è, s terf r vi ès è. S ledes r systemen ès è och ès 2 è ekvivalenta. í Vi kan sammanfatta proceduren f r hur man verf r ett system p echelonform i en algoritm: Algoritm f r echelonform: : Permutera ekvationerna èdvs. anv nd èbo2èè, s att koeçcienten f r den :a variabeln i den :a ekvationen r olik, om detta r m jligt. I annat fall, betrakta n sta variabel som den f rsta och g r samma sak om det r m jligt, osv. 2: Eliminera den f rsta variabeln ur de vriga ekvationerna èanv nd èbo + èè. 3a. Upprepa genom att till mpa. och 2. p det mindre system som uppst r d man bortser fr n den f rsta ekvationen. 3b. Sluta d det mindre systemet inneh ller bara en ekvation eller ingen variabel alls. R kneschemat D man Gausseliminerar r det faktiskt bara koeçcienterna framf r variablerna och talen i h gerleden som spelar n gon roll. Man kan i sj lva verket utf ra elimineringen helt och h llet i ett r kneschema è= matrisè, som inneh ller enbart dessa tal: Exempel.6. Om systemet x +3x 2 +3x 3 +2x 4 =2 2x +6x 2 +9x 3 +5x 4 =4,x,3x 2 +3x 3 = skall omformas till echelonform, skriver man det f rst som ett r kneschema 3 3 2 j 2 è2è S = @ 2 6 9 5 j 4 A :,,3 3 j Utg ende fr n è2è ger nu elimineringen f ljande r knescheman, d r en pil antyder att basoperationer har anv nts f r att f fram n sta r kneschema: BO + 3 3 2 j 2 BO + 3 3 2 j 2 S! @ 3 j A! @ 3 j A : 6 2 j 3 j 3
6 Bj rkfeltçbjon Fullst ndigt utskriven blir echelonformen allts x +3x 2 +3x 3 +2x 4 =2 3x 3 + x 4 = =3: Den tredje ekvationen r inkonsistent, dvs. falsk èse deçnitionen nedanè. Systemet saknar allts l sning. Deçnition.4. En ekvation eller ett ekvationssystem r konsistent om èminstè en l sning existerar och inkonsistent om l sningar saknas. Exempel.7. Vi skall l sa systemet och verf r det f rst i echelonform, j B 2, j 2 C @ A j, j 2 è3è BO + j B,3, j C! @ A 2=3 j 2=3 j x + x 2 + x 3 = 2x,x 2 +x 3 =2 x 2 +x 3 = x,x 2 +x 3 =2 BO +! BO +! Det sista r kneschemet S svarar mot echelonformen x + x 2 + x 3 =,3x 2,x 3 = j B,3, j C @ A j,2 j j B,3, j C @ A = S: 2=3 j j 2 3 x 3= =: L sningen f s sedan genom bak tsubstitution, dvs. vi s tter in v rdet x 3 =3=2i den andra ekvationen, vilket ger x 2 osv. Men precis samma bak tsubstitutionen kan ocks g ras i ett r kneschema med hj lp av èbo, è. Man utg r d fr n det sista r kneschemat S i è3è och b rjar med att eliminera koeçcienterna f r x 3 ur de tv f rsta ekvationerna med hj lp av den tredje: j BO3 B,3, j C S! @ A j 3=2 j BO,! j,=2 B,3 j 3=2 C @ A j 3=2 j BO,! j B j,=2 C @ A : j 3=2 j
Gausseliminering 7 L sningen kan avl sas l ngst till h ger i det sista schemat: x =,x 2 =,=2och x 3 =3=2. Det sista r kneschemat r av en alldeles speciell form, reducerad echelonform: Deçnition.4. Ett r kneschema è= matrisè som svarar mot ett system i echelonform kallas en echelonmatris. En echelonmatris, i vilken alla pivotelement r ettor och dessa ettor r de enda som inte r noll i sin kolonn è= kolumnè s gs vara i reducerad echelonform. Exempel.8. T.ex. det sista r kneschemat i exempel.7 och t.ex. varje r kneschema av formen æ æ j æ @ æ j æ A ; æ j æ d r varje stj rna st r f r ett godtyckligt tal, r i reducerad echelonform. De variabler som svarar mot pivotkolonner, dvs. x 2, x 4 och x 5, r basvariabler medan de vriga, x, x 3 och x 6 r fria variabler. L sning av ekvationssystem V l motiverade av de tre senaste exemplen kan vi skriva ut en algoritm: Algoritm f r l sning av ett ekvationssystem: : Omforma systemet till echelonform èenligt den algoritm som vi har beskrivit tidigareè. 2: Sluta om n gon ekvation r inkonsistent èsystemet saknar l sningarè. I annat fall, forts tt med bak tsubstitution dvs. med omformning av r kneschemat till reducerad echelonform med hj lp av èbo, è och èbo3è. a. Om det inte çnns fria variabler f s en entydig l sning. b. Om det çnns fria variabler, s kan basvariablerna skrivas som funktioner av de fria varablerna ède senare ges godtyckliga v rden s; t;::: och çyttas ver till det h gra ledetè. Det çnns allts o ndligt m nga l sningar. I forts ttningen anv nder vi beteckningarna èèekvationerè, èèfria variablerè, etc. f r antalet ekvationer, antalet fria variabler, etc. Vi sammanfattar: Sats.2. F ljande g ller f r ett linj rt ekvationssystem: ç ç Systemet konsistent èaè =èl sningen r entydig ; èèfria variablerè = ç ç Systemet konsistent èbè =è èèl sningarè = ; èèfria variablerè é ècè èèfria variablerè + èèbasvariablerè = èèvariablerè ; èdè èèbasvariablerè = èèpivotelementè ; èeè èèbasvariablerè ç èèekvationerè :
8 Bj rkfeltçbjon Deçnition.5. Ett linj rt ekvationssysten r homogent om varje h gerled r en nolla. Sats.3. Ett homogent system a x + a 2 x 2 + æææ+a n x n = a 2 x + a 22 x 2 + æææ+a 2n x n =,,,,,,, a m x +a m2 x 2 +æææ+a mn x n = r alltid konsistent, ty det har tminstone l sningen x = x 2 = æææ = x n =èden s.k. triviala l sningenè. Om ménhar systemet o ndligt m nga l sningar. Bevis. Det r uppenbart att den triviala l sningen alltid r en l sning till ett homogent system. Antag att m é n. D r èèbasvariablerè ç m é n och enligt Sats 2.3 ècè èèfria variablerè é. Eftersom det çnns fria variabler, r antalet l sningar o ndligt. í D man l ser ett homogent ekvationssystem r det on digt att skriva ut nollorna i h gerledet i r kneschemat. Dessa nollor f rblir ju nollor d man anv nder basoperationer. Exempel.9. Vid l sning av det homogena systemet x +2x 2 + 3x 3 = 3x +6x 2 +x 3 = x +2x 2 + x 3 = g r man allts f ljande kalkyler med r knescheman 2 3 2 3 2 @ 3 6 A! @ A! @ A : 2,2 Eftersom variabeln x 2 r fri, s tter vi x 2 = s, d r s representerar ett godtyckligt tal, och çnner l sningarna x =,2s, x 2 = s, x 3 = ès2rè. vningsuppgifter. L s systemet 2. L s systemet u + v + w =,2 3u +3v,w=6 u, v+w=,: 2x + x 2 + x 3 + x 4 =2 x 2 +x 3 +x 6 =3 x 3 =, x 5 +x 6 =4:
Gausseliminering 9 3. Skriv f ljande system i echelonform x + x 2 + x 3 + x 4 = x +2x 2 +3x 3 +4x 4 =2 x +2x 2 +4x 3 +5x 4 =3 x +2x 2 +4x 3 +6x 4 =4: 4. L s med Gausseliminering x + x 2, x 3 + x 4 =7 x +2x 2 +2x 4 =5 x + x 2 =7: 5. L s x + x 2 = x +2x 2 + x 3 =3 x 2 +2x 3 + x 4 =3 x 3 +2x 4 + x 5 = x 4 +2x 5 + x 6 =,3 x 5 +2x 6 =,5: 6. Tv sj ar A och B r f rbundna med en kanal. Under en viss tidsperiod èett rè simmar è av çskarna fr n A till B medan 2è av çskarna i B simmar till A. Om det vid rets slut fanns 2 çskar i A och 3 i B, hur m nga fanns det vid rets b rjan i A respektive B? èvi antar att antalet çskar, som f ds och d r i respektive sj, r lika.è 7. Om çskarna i A och B har samma çr rlighetç som i uppgift 6 och det dessutom r s att antalet çskar i respektive sj r lika vid rets b rjan och vid rets slut, vad r f rh llandet mellan antalet çskar i A och antalet çskar i B? 8. Tre bakteriearter lever samtidigt i ett provr r och livn r sig p tre slag av f do mnen. Antag att en bakterie av en art i èi = ; 2; 3è konsumerar i medeltal a ki enheter av f do mnet k èk =;2;3è per dag. Antag att a =,a 2 = a 2 =, a 3 = a 3 =,a 22 =2,a 23 = a 32 =3och a 33 =5. Antag vidare att det tillf rs 5 enheter av det f rsta f do mnet, 3 enheter av det andra och 45 av det tredje per dag. Hur m nga individer av de tre arterna kan leva i provr ret, d vi antar att all f da konsumeras? 9. Unders k hur m nga l sningar ekvationssystemet x + ay = a, 2 è2, aèx, 3y =, har f r olika v rden p den reella konstanten a. Ange l sningarna.. F r vilka v rden p a har systemet èa +2èx+ èa+èy+ az = x, z= ax +è2a,èy +èa,2èz =
Bj rkfeltçbjon icke-triviala l sningar?. Antag att de tre punkterna è;,5è, è,; è och è2; 7è ligger p en parabel y = ax 2 + bx + c. Best m a, b och c genom att l sa ett linj rt ekvationssystem. 2. Ett arv p 24 euro f rdelades p tre fonder s, att den andra fonden f r dubbelt s mycket som f rsta. Fonderna ger en rlig r nta p 9è, è respektive 6è och pengarna i alla tre fonderna avkastar tillsammans 2 2 euro under det f rsta ret. Hur mycket pengar sattes i varje fond? 3. Visa att èbo2è f ljer ur èboè och èbo3è.