Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maimalt poäng. 0 poäng: U. poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 07 76 7 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. (a) Nedan har vi graferna för funktionerna f och g. Den ena av funktionerna är derivata till den andra. Vilken är vilken? Motivera! y 0 y= f () 5 y=g() g() är i det negativa området då y = f () lutar neråt, och i det positiva då lutar uppåt. Det stämmer med att g skulle avbilda derivatan av f. I området mellan,5 och lutar y=g() neråt, medan f () är i det positiva området. Det stämmer inte med att f skulle avbilda derivatan till g. Svar: g är derivatan till f. Rättningsnorm: p för korrekt svar. p för motivering av antingen att inget motsäger att g är derivata till f eller att f inte kan vara derivata till g. (b) Här är ett gränsvärde: cos (5+h) cos 0 lim h 0 h Gränsvärdet kan tolkas som en derivataberäkning i en punkt. Vilken funktion är det som har deriverats och i vilken punkt har derivatan beräknats? OBS! Du ska inte beräkna gränsvärdet. Derivatans definition är f (a)= lim h 0 f (a+h) f (a) h Matchar vi detta mot gränsvärdet ser vi att funktionen är f ()=cos och punkten är =5. Rättningsnorm: p för punkten, p för funktionen. Beräkna derivatan av nedanstående funktioner. (Deriveringreglerna får användas.) (c) f ()=e sin
MAA Lösning Sida (av 5) Produktregeln och kedjeregeln ger: f ()=e sin + e cos ( ) (d) f ()=ln tan Kedjeregeln flera gånger om ger f ()= tan cos = sin cos Rättningsnorm: Gäller både (c) och (d): Helt rätt krävs för full poäng, men svaret behöver inte ha förenklats. Högst deriveringsfel: p. Vi har funktionen f, där f ()= + +. + (a) Bestäm definitionsmängd, värdemängd och eventuella ma- och minpunkter och asymptoter för f, och skissa grafen. (6p) Definitionsmängd: Eftersom + inte kan bli noll är funktionen definierad överallt. Då finns inga vertikala asymptoter. Horisontella asymptoter: + + ( + + ) lim = lim ± + ± ( + ) + + = lim = +0+0 = ± + +0 y = är horisontell asymptot, både till vänster och höger. Det kan inte finnas horisontell och sned asymptot samtidigt, så vi är klara med asymptoter. Derivata: d f d = ( d d ( + + ) ) ( + ) ( + + ) ( d d ( + ) ) ( + ) = ( + )( + ) ( + + ) = ( ) ( + ) ( + ) Ma- och min: Ändpunkter och icke deriverbara punkter finns inte; derivatan är noll om täljaren är noll: Derivatatabell: ( )=0 =0 eller =0 =0 = =± 0 f () 0 + 0 0 + f () ր ց ր ց ma min ma Nu har vi material nog att skissa en graf: 9 8 7 6 5 0 5 6 7 8 9
MAA Lösning Sida (av 5) (Grafen måste närma sig asymptoten ovanifrån, annars skulle det finnas ett par minpunkter under den.) Värdemängden kan utläsas ur grafen: f (). Rättningsnorm: Definitionsmängd: p. Asymptot: p. Derivata: p. Derivataanalys: p. Graf konsistent med beräknade resultat: p. (b) Hur många infleionspunkter bedömer du att f har? Motivera! Åtminstone. Det måste finnas (minst) en på sträckan mellan mapunkt och minpunkt, och en där kurvan går från mapunkt mot asymptoten. (Konkaviteten måste ändras; annars får man inte ihop bilden.) Alternativt: f ()= d d f ()=...= 8 + ( + ) Sök nollställen; sätt = t, 8 = t : t t+=0 t= 6± < 6=6, så båda rötterna är positiva och därmed rimliga värden på. En realvärd ekvation av form = a har två olika lösningar, =± a, så vi har hittat fyra infleionspunkter: 6+ 6, 0,5 6 6+ 0,5, Rättningsnorm: Resonemangslösningen: p för svaret, p för begriplig motivering. Beräkningslösningen: p för andraderivatan, p för framtagandet av nollställen. (a) Vi betraktar kurvan y= +6 +6 på intervallet [, ]. Var någonstans i detta intervall är kurvan som brantast? Brantheten bestäms av derivatans belopp (tecknet ger om det är uppåt eller neråt). Vi ska därför leta ma- och minpunkter för derivatan. Vi ska då se var derivatans derivata (dvs. andraderivatan) är noll, och dessutom undersöka ändpunkterna. y= + 6 +6 y = + y = 6+ Andraderivatan är 0 då = Tabell: y + 0 y ր ց (Ma för derivatan kan också hittas med hjälp av kvadratkomplettering.) Kurvan är som brantast uppåt i = men brantast neråt i =, och där är den betydligt brantare. Svar: = Rättningsnorm: Insett om att det handlar om etremvärden för derivatan: p. Korrekta deriveringar: p. Hittat derivatans maimum: p. Hittat det rätta svaret: p. (b) liter motorolja har spillts ut i vattnet och breder ut sig i en cirkel. Om vi antar att oljelagrets tjocklek är densamma i hela cirkeln, hur snabbt minskar tjockleken då cirkelns radie är meter och ökar med 5 centimeter per sekund?
MAA Lösning Sida (av 5) Vi räknar i centimeter. Oljefläcken kan ses som en cylinder, med volymen V=πr h. V är konstant 000 cm, så dv = 0. Just nu är r=00 cm. dr = 5 cm /s. r och h beror båda av t. Vi kan derivera sambandet som det är skrivet: d V= d ( πr(t) h(t) ) 0=πr(t) dr h(t)+πr(t) = πr dr h πr = dr h r Vi kan också lösa ut h ur sambandet, och sedan derivera: h(t)= V V ( ) πr(t) = r(t) π = V dr ( )r ={med insatta värden}= 000 π π 00 5= 800π cm /min Rättningsnorm: Samband volym radie/höjd: p. Korrekt derivering, inre derivata inkluderad: p. Korrekt löst ut antingen h eller : p. Rätt svar: p. (a) Visa att derivatan till en konstant funktion f är 0 överallt. Använd derivatans definition då f ()=c. f f (+h) f () c c 0 ()=lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = lim 0=0 h 0 Alternativt: En konstant funktion motsvarar en linje typ y = 0 + c. Derivatan för en linje är riktningskoefficienten, som här är noll. Rättningsnorm: p om rätt grunanke, p om dessutom korrekt utfört. (b) Visa att om en funktion f har derivatan 0 överallt i ett intervall så är funktionen konstant. Du får använda satsen om etremvärden, satsen om mellanvärden, Fermats sats, Rolles sats och medelvärdessatsen. (Du behöver antagligen inte använda alla satserna.) Om f ()=0 överallt så är funktionen deriverbar och därmed kontinuerlig, och uppfyller därför förutsättningarna i medelvärdessatsen. Jämför nu funktionsvärdena i en punkt a och en annan punkt. Enligt medelvärdessatsen finns en punkt c mellan a och sådan att f () f (a)= f (c)( a) Eftersom derivatan är 0 överallt måste bland annat f (c)=0, vilket ger f () f (a)=0( a)=0 f ()= f (a) Funktionsvärdet i punkterna är lika. Resonemanget gäller för alla punkter, så värdet är lika överallt, dvs. funktionen är konstant. Rättningsnorm: Vattentätt argument ger p. I övrigt poäng efter hur stor andel av det korrekta resonemanget man fått med. (c) arcsin +arccos har värdet π för alla mellan och. Förklara hur vi kan vara säkra på det.
MAA Lösning Sida 5 (av 5) En metod (derivataargument): d d (arcsin +arccos )= = 0 Derivata noll överallt, alltså konstant. Vilken konstant kan vi se genom att ta ett lätträknat värde: arcsin 0+arccos 0=0+ π =π Måste vara det värdet på alla andra ställen också. (Ska man vara ordentlig är derivatan inte definierad i ändpunkterna, så de täcks inte upp av detta resonemang. Men eftersom funktionen är summan av två känt kontinuerliga funktioner måste värdet i ändpunkterna vara lika med gränsvärdet där, och detta är lika med det konstanta värdet i alla inre punkter.) Annan metod: Geometriskt argument. Vi antar först att > 0. Då kan vi markera arcsin (blå) och arccos (röd) i en enhetscirkel. Vi ser att arccos är precis vad man behöver lägga till arcsin för att få ihop en rät vinkel. Om istället < 0 ligger arcsin (orange) och arccos (grön) som i den andra figuren. Här är arcsin precis vad som behövs för att minska ner arccos till en rät vinkel. Rättningsnorm: Derivatametoden: Deriverat rätt, och konstaterat att derivatan är noll: p. Kontrollerat att det blir just π/: p. Cirkelmetoden: Räcker att visa för positiva. p för ser ut som rätt grunanke, p om vattentätt.