STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank och betalar i slutet av varje månad 3000 kr. Räntan är 0.5% per månad. Hur stor är årsräntan? Hur lång tid tar det att betala lånet? Hur mycket ska du betala per månad för att lånet ska vara avbetalat på 5 år? Övning 2 Du erhåller 2000 kr om året i 10 års tid med början om ett år. Beräkna nuvärdet av denna betalström om avkastningen är 5% per år. Övning 3 Du lånar 10000 kr och betalar av lånet genom att betala 2800 kr under de följande 4 kvartalen (med början om ett kvartal). Hur stor är den effektiva räntan? Övning 4 Du är erbjuden två betalströmmar (1000, 3000, 2000) och ( 1000, 3000, 2000). Utbetalningarna sker en gång per år. a) Beräkna betalströmmarnas effektiva räntor. b) Du kan låna pengar mot 5% ränta per år och låna ut mot 4%. Beskriv hur du kan göra arbitrage (riskfri vinst). Svar. 1: 6.2%. 81.30 månader. 3867 kr. 2: 15443 kr. 3: 20.1%. 4: a) De effektiva räntorna är 0 eller 100% för båda. b) Vid t = 0: Låna 1000 kr och acceptera den andra betalströmmen. Vid t = 1: Amortera lånet med 1000 1.05 = 1050 kr. Låna ut återstoden 3000 1050 = 1950 kr. Vid t = 2: Lånet återbetalas till dig med 1950 1.04 = 2028 kr och du betalar 2000 kr. Kvar 28 kr. Du får alltså betalströmmen (0, 0, 28). ÖVNINGAR TILL DAG 3. Luenberger: 4:1, 5, 6, 9 samt följande: Övning1. Marknaden L 1 genereras av de två betalströmmarna (3, -2, -4) och (-1, 1, 1) medan L 2 genereras av (3, -2, -1) och (-1, 1, 1) och marknaden L 3 av (5, -4, -2) och (-8, 6, 3). 1
a) Avgör vika av dessa marknader som är arbitragefria. b) Ytterligare en betalström av formen (-p, 0, 2) introduceras på de av ovanståene marknader som är arbitragefria. Prissätt denna (d.v.s. bestäm p) så att den utvidgade marknaden blir arbitragefri. Övning2. Marknaden L genereras av betalströmmen (-1, 1, 1) och är således inte fullständig. Ytterligare en betalström av formen (-p, 1, 2) ska introduceras. För vilka p blir den utvidgade marknaden arbitragefri? Övning 3.Låt L 1, L 2 och L 3 vara de linjära underrum till R n+1 som vart och ett genereras av tre betalströmmar enligt följande: L 1 : (-3, 4, 0, 4), (-2, 0, 3, 4), (2, -1, -1, 1) L 2 : (-3, 4, 0, 4), (-2, 0, 3, 4), (2, -2, -3, 0) L 3 : (-3, 4, 0, 4), (-3, 2, 3, 4),(0, -2, 3, 0). Vilka av dessa är arbitragefria? Fullständiga? Utvidga vart och ett av dessa rum med en betalström av formen (-p, 0, 0, 1). I vilka fall går denna betalström att prissätta så att rummet fortfarande är arbitragefritt? I vilka av dessa fall finns det ett entydigt pris? Svar. 1. a) L 1 b) p=1. 2. 1 < p < 2. 3. L 1 : Arbitrage. L 2 : Arbitragefri och fullständig, p = 1/4. L 3 : Arbitragefri men ej fullständig, 0 < p < 3/4. ÖVNINGAR TILL DAG 4. Luenberger: 10:1, 2 (F = (1 + q) m S 0 /d m ), 3, 4 (F = S 0 e (r+q)t ), 13 (Svar: 105000(=131250(1.20/1.50)) samt följande: Övning1. a) Oljan kostar idag 29 USD per fat. Bestäm terminspriset på ett fat med leverans om 2 månader om räntan är 4% och lagringgskostnaden är 1 USD per fat den första månaden och 1.2 USD den andra. Lagringskostnaden betalas i början av varje månad. Svar: 31.40. b) Vad är ovanstående kontrakt värt efter en månad om spotpriset då är 26 USD? Svar: -4.08. Övning2. Betrakta samma situation som i Övning 1 a). Bestäm swappriset för leverans av ett fat olja en gång i månaden under två månader. Svar: 30.75. Övning 3. Du ska betala 1000 USD under 4 kvartal med början om ett kvartal. Dina inkomster betalas ut månadsvis i SEK. Dollarkursen är f.n. 8.7357. För att eliminera valutarisken kan du själv göra en swap: Låna SEK till 5% ränta och köp 4000 USD och lägg dem i byrålådan. Betala av lånet med X SEK per månad under de följande 12 månaderna. Bestäm X. Svar: 2991. Övning 4. En byggare kommer överens med en brädgård om att köpa virke (av en viss kvalitet) till ett fast pris: Brädgården levererar 20 m 3 om ett halvår och ytterligare 10 om ett år. Byggaren betalar 2X SEK om ett halvår och ytterligare X SEK om ett år. Bestäm X om halvårsräntan är 4% (per år) och helårsräntan är 5%. Lagringskostnaden är 50 SEK per m 3 och halvår och betalas i början av varje halvår. Virket kostar idag 1400 SEK per m 3. Svar: 15100. 2
ÖVNINGAR TILL DAG 5. Luenberger: 12:1, 2, 3, 4, 6, 7, 10 samt följande: Övning 1. Följande kurser gäller för en aktie samt för köp- och säljoptioner på aktien. Räntan är 4% och återstående löptid är 2 månader. Lösenpris Köp Sälj Senast Aktie 897 898 897 Köpopt. 780 127.5 141.75 123.5 810 109.5 123.5 115.0 Säljopt. 780 21.5 28.5 26.5 810 30.5 37.5 34 Här föreligger en arbitragemöjlighet. Finn den och beskriv hur den kan utnyttjas. Hur stor blir vinsten? Det förutsätts att alla tillgångar kan säljas kort och utan kostnad. Övning 2. Genom att köpa och ställa ut köp- och säljoptioner kan man bilda en optionsportfölj som vid lösentiden t = T har värdet S K 1 + A om S K 1 (S K 1 ) + A om K 1 < S < K 2 K 1 K 2 + A om S K 2. Här är S aktiens pris vid t=t, A beror på optionspriserna vid t = 0 och är valt så att portföljens värde är 0 vid t=0. Konstruera en sådan portfölj samt bestäm A. Övning 3. Hur kan ett terminskontrakt på en aktie med ett visst leveranspris och en viss leveranstid konstrueras med hjälp av optioner? Övning 4. En aktie kostar idag S 0 kr. Du överväger två alternativ a) Köp en aktie för S 0 kr.. b) Köp en köpoption med lösenpris S 0 och lösentid T för C 0 kr och låt återstoden S 0 C 0 kr föränta sig på ett konto. Rita upp de två portföljernas värde vid T som funktion av aktiepriset S T vid T. Svar: 1. Sälj kort: aktien för 897 och säljoptionen med lösenpris 780 för 21.5. Köp: köpoptionen med lösenpris 780 för 141.75. Vinsten blir 1.91. 2. C t (K 2 ) C t (K 1 ) P t (K 1 ) + A, A = C 0 (K 2 ) + C 0 (K 1 ) + P 0 (K 1 ). 3. C(F ) P (F ). ÖVNINGAR TILL DAG 6. Övning 1-6, 9-12, 14 i Komplement dag 5. 3
ÖVNINGAR TILL DAG 8. Övning 7, 8, 13 i Komplement dag 5 samt övingarna i Komplement 2 dag 6. ÖVNINGAR TILL DAG 9. Luenberger: 13:3(Svar: 0.40), 4. Observera att formeln för Θ i uppgift 7 gäller endast för köpoption. Den gäller inte för säljoption. Rätt formel i det senare fallet är: Formeln för köpoption kan även skrivas: Θ = e r(t t) K[r(1 Φ(d 2 )) σφ(d 2) 2 T t ]. Θ = e r(t t) K[rΦ(d 2 ) + σφ(d 2) 2 T t ]. Övning 1. Visa att D e σz φ(z)dz = e σ2 /2 [1 Φ(D σ)]. Övning 2. Beräkna E[max(0, e σz A)], där Z är N(0, 1). Övning 3. Visa att följande identitet gäller för alla positiva tal s, k och σ: Här är l = ln(s/k). sφ( l σ + σ 2 ) = kφ( l σ σ 2 ). Övning 4. En aktie har volatiliteten 40% och kostar idag 120 SEK. a) Beräkna med hjälp av Black-Scoles formel priset på en köpoption med lösenpriset 100 då den återstående löptiden är 3 månader och räntan är 4%. b) Hur förändrar sig optionspriset då aktiepriset förändrar sig med ds under dagen? Bestäm även A så att dc/c = AdS/S. Här är C priset på köpoptionen. Övning 5. En säljoption med lösenpriset 100 och löptiden 1/2 år kostar idag 8.30 SEK. Aktiens pris är 97.50 och räntan är 5%. a) Vad kostar en köpoption med samma lösenpris och löptid? b) Skatta den implicita volatiliteten. Svar: 2. e σ2 /2 [1 Φ(D σ)] A[1 Φ(D)], där D = ln A σ. 4 a): 22.94 b): dc = 0.86dS, A = 4.47. 5 a): 8.24 b): 30%. 4
ÖVNINGAR TILL DAG 10. Övning 1. Antag att S t = S 0 exp(νt + σw t ), där W t W s är N(0, t s) och W s och W t s är oberoende för s < t. Sätt S t = S t+ t S t. Visa genom att beräkna väntevärden och standardavvikelser av S t och ( S t ) 2 att S t är av storleksordningen t medan ( S t ) 2 är av samma storleksordning som t. Räknehjälp: E[exp(X)] = exp(m + v/2), då X är N(m, v). Övning 2. En köpoption på en aktie har lösenpris 750 kr och 2 månaders återstående löptid. Idag kostar optionen 81.0 kr och aktien 782 kr. Aktiens volatilitet är 55% per år och räntan 3.8%. Beräkna, Θ och Γ samt använd dessa till att uppskatta optionens pris imorgon om aktiepriset ändras till 782+dS. Speciellt: Vad blir optionens pris om ds=768-782=-14? Hur stor del av optionens prisförändring beror på tiden? Gör samma beräkningar i fallet då den återstående löptiden är en vecka. Beräkna även optionens pris i detta fall. Övning 3. En köpoption på en aktie har lösenpris 125 kr och en månads återstående löptid. Idag kostar optionen 4.10 kr och aktien 125.5. Gör en portfölj som replikerar optionen i det fall prisutvecklingen på aktien blir 128, 129 och 128 undet de tre följande dagarna. Räntan är 3.8% och volatiliteten 28% per år. Svar: 1: E t S t = S t (ν + σ2 2 ) t + O(( t)2 ), E t St 2 = St 2 σ 2 t + O(( t) 2 ). 2: Om T t = 2/12 så: = 0.63, Γ = 0.0022, Θ = 214.55, dc = ds + 1 2 Γ(dS)2 +Θdt = 9.44 och Θdt/dC = 9% om dt = 1/250. Om T t = 1/50 så: = 0.72, Γ = 0.0055, Θ = 530.76, dc == 11.67, C = 43.5 och Θdt/dC = 18% om dt = 1/250. 3: Dag 0 1 2 3 Portfölj 4.10 5.47 6.11 5.43 0.55 0.65 0.68 ÖVNINGAR TILL DAG 11. Luenberger 11.2-6, övningarna i Komplement dag 9 samt följande Övning 1. Simulera Brownsk rörelse (Wienerprocessen) genom att singla slant 25 gånger och betrakta den slumpvandring som går upp respektive ned 1/5 vid krona respektive klave. Tidssteg: 1/25. Rita upp resultatet. Övning 2. Låt W t vara en Wienerprocess. a) Beräkna Cov(W s, W t ) för s > 0, t > 0. b) Visa att lim t s P ( W t W s < ɛ) = 1 för varje ɛ > 0. 5
c) Visa att lim P ( W t W s > K) = 1 t s t s för varje K > 0. d) Beräkna P (W s < x, W t < W s + y) för s < t. Svar: 2: a) min(s, t). d): Φ( x s )Φ( y t s ) ÖVNINGAR TILL DAG 12. Luenberger 13.2 samt Övning 1-5 i komplement dag 11. ÖVNINGAR TILL DAG 13. Övningarna i komplementet dag 12 samt följande övning: Övning En akties pris, S t, utvecklas enligt Black-Scholes modell med volatiliteten σ. Betrakta den (självfinansierande) portfölj som uppfyller följande: 1 Portföljen består av en kassa och ett antal av ovanstående aktie. 2 Portföljens värde vid t = 0 är 1. 3 Aktieinnehavet (antalet aktier aktiepriset) är alltid α portföljvärdet (och kassan alltså (1 α) portföljvärdet). Här är α ett givet reellt tal. Bestäm portföljens värde vid tiden t och aktiepriset S t. Räntan antages vara konstant = r. Kommentar: Om α > 1 så är kassan negativ (aktieinnehavet är belånat). För att hålla belåningen konstant (som andel av portföljen) säljer man av aktier om aktiepriset går ned och köper till aktier om priset går upp. Om 0 < α < 1 så gör man tvärt om: säljer då priset går upp och köper då det går ned. Om α < 0, så innebär det att man blankar aktien. Svar: f(t, S t ) = f(0, S 0 )( S t S 0 ) α e tp, där p = σ2 ÖVNINGAR TILL DAG 14. Övningarna i Komplement dag 13. ÖVNINGAR TILL DAG 15. 2 α2 + σ2 2 α rα + r. Övning 1. Antag att de 1:åriga (kort)räntorna ges av r 00 = 3.5%, r tj = r t 1j 0.9, r tj+1 = r t 1j 1.2, j = 0, 1,..., t 1, t = 1, 2, 3. a) Beräkna spoträntorna s 1, s 2, s 3 och s 4 genom att vikta obligationspriserna med q = 1/2. b) Vad kostar en köpoption på en 4:årig nollkupongsobligation med lösen om två år om lösenpriset är 0.90. 6
Övning 2. Låt s k beteckna den k :åriga spoträntan (definierad av att den k :åriga nollkupongsobligationen kostar (1 + s k ) k ). Antag att s 1 = 3%, s 2 = 5% och s 3 = 6%. Låt b = 0.01 i Ho-Lees modell för korträntorna: r kj = a k + bj, j = 0,..., k, k = 0, 1, 2. Bestäm a 0, a 1 och a 2 så att dessa korträntor ger ovannämnda spoträntor. Svar 1 a: 3.50, 3.59, 3.67 respektive 3.76%. b: 0.024. 2 3.0, 6.5 respektive 7.0%. 7