Predikterar den implicita volatiliteten den faktiska volatiliteten bättre än den historiska volatiliteten för OMXS30 optioner?

Transkript

1 NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universitet Magisteruppsats Författare: Matylda Lovenvall Handledare: Martin Holmén Vårterminen 2007 Predikterar den implicita volatiliteten den faktiska volatiliteten bättre än den historiska volatiliteten för OMXS30 optioner?

2 Sammandrag Optioner är värdepapper som ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten, att sälja eller att köpa den underliggande tillgången inom en given tidsram och till ett givet pris. Vanligen särskiljs det mellan aktieoptioner och indexoptioner. Fokus i uppsatsen ligger på OMXS30 indexoptioner från år Syftet med uppsatsen är att undersöka om den implicita volatiliteten enligt Black-Scholes formeln bättre predikterar den framtida faktiska volatiliteten än den historiska volatiliteten. I tidigare studier, bland annat i en sammanfattande studie av Figlewski (1997), har resultaten varit tvetydiga. I uppsatsen har jag kunnat konstatera att den implicita och den historiska volatiliteten är relativt jämlika vid prediktering av den faktiska framtida volatiliteten för 2006 års OMXS30 köp- och säljoptioner. Nyckelord: Black-Scholes formel, indexoptioner, implicit volatilitet, historisk volatilitet 2

3 Innehållsförteckning 1. INLEDNING OPTIONER Köp- och säljoptioner Black-Scholes formel Volatilitet Historisk volatilitet Implicit volatilitet Olika volatilitetsestimatorers förmåga att prediktera den faktiska volatiliteten Korrelation TIDIGARE STUDIER METOD OCH DATA RESULTAT OCH ANALYS Köpoptioner Säljoptioner Jämförelse av resultat mellan köp- och säljoptioner AVSLUTANDE DISKUSSION REFERENSFÖRTECKNING

4 1. INLEDNING Optioner är värdepapper som ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten, att sälja eller att köpa den underliggande tillgången inom en given tidsram och till ett givet pris. Det skiljs då mellan köpoptioner, som ger innehavaren rätten att köpa den underliggande tillgången och säljoptioner, som ger rätten att sälja den underliggande tillgången (Black och Scholes, 1972). Optioner har ibland en aktie som underliggande tillgång, så kallade aktieoptioner. Det är även vanligt med indexoptioner, det vill säga optioner som har ett marknadsindex som underliggande tillgång. Aktieoptioner hade varit populära under en längre tid men det var på 1980-talet som handeln med indexoptioner slog igenom i USA, för att sedan snabbt sprida sig till resten av världen (Chou, Chen och Chen, 2006). Den mest kända och använda optionsprissättningsmodellen, Black-Scholes formeln, presenterades 1973 av Fischer Black och Myron Scholes. I samband med att en vedertagen värderingsmodell hade utvecklats växte efterfrågan på optioner. Modellen använder sig av få variabler och prissätter europeiska optioner under ett antal antaganden (Bennell och Sutcliffe, 2003). Den enda variabeln i funktionen som inte direkt går att observera är volatiliteten, det vill säga standardavvikelsen för prisförändringen, för den underliggande tillgången. Givet optionspriset kan dock den implicita volatiliteten skattas med en iterativprocess. Fördelen med implicit volatilitet är att den förutom att prognostisera framtida volatilitet för optioner, även indikerar hur marknaden i nuläget värderar optioner, i förhållande till den underliggande tillgången (Canina och Figlewski, 1993). Det har därför varit intressant att analysera om den implicita volatiliteten, enligt Black- Scholes modellen bättre predikterar den framtida volatiliteten, än den historiska volatiliteten (Giot, 2005). Det eftersom volatiliteten är den viktigaste parametern som ingår i Black- Scholes modellen och det krävs en bra estimator för att kunna prediktera volatiliteten så korrekt som möjligt för att ta fram bra prognoser(andersson, 1995). Den historiska och den faktiska volatiliteten beräknas med samma ekvation där olika tidsperspektiv använts. För att skatta den historiska volatiliteten används data lika långt tillbaka i tiden som den återstående löptiden för den aktuella optionen. Det medan den faktiska volatiliteten utgår från hur index faktiskt har utvecklats under den aktuella perioden (Andersson, 1995). 4

5 I tidigare studier som har gjorts på området har resultaten varit tvetydiga om vilket mått på volatiliteten som ger de bästa estimaten för den framtida volatiliteten. Figlewskis studie (1997) tyder på att den implicerade volatiliteten inte ger rationella estimat för den faktiska volatiliteten, medan den historiska volatiliteten kan förbättra prediceringar som baserar sig på den implicita volatiliteten (Figlewski, 1997). En senare studie visar på att den implicita volatiliteten bättre predikterar den faktiska volatiliteten (Blair, Poon och Taylor, 2001) Syftet med den här uppsatsen är att undersöka om den implicita volatiliteten enligt Black- Scholes bättre predikterar den framtida faktiska volatiliteten än den historiska volatiliteten. Med hjälp av optionsteori och Black-Scholes modellen för prissättning av optioner ämnar uppsatsen svara på frågeställningen: Predikterar den implicita volatiliteten den faktiska volatiliteten bättre än den historiska volatiliteten för OMXS30 optioner? För att besvara frågeställningen kommer jag att använda mig av data för OMXS30 köp- och säljoptioner för år OMXS30 är ett index över de 30 mest omsatta aktierna på Stockholmsbörsen. Optionerna är uppdelade i två grupper beroende på löptid, där jag har valt att använda optioner med en respektive två månaders löptid. Det för att jämföra om predikteringarna skiljer sig för olika löptider och om de skiljer sig mellan köp- och säljoptioner. Den historiska och faktiska volatiliteten kommer att estimeras, medan den implicita volatiliteten kommer att beräknas med hjälp av en iterativprocess. Korrelationen mellan den faktiska volatiliteten samt den implicita respektive den historiska volatiliteten kommer sedan att utvärderas. Jag har valt att avgränsa mig till år 2006 då 2006 var ett starkt börsår och av den anledningen är det intressant att undersöka skillnaden mellan köp- och säljoptioner, då köpoptioner spekulerar i uppgång och säljoptioner i nedgång. Anledningen till valet av OMXS30 optioner är att den underliggande tillgången är ett index över de 30 mest omsatta aktierna på Stockholmsbörsen. Dessutom är OMXS30 optioner europeiska optioner, vilket är en förutsättning för Black-Scholes modellen. De valda löptiderna baserar sig på att handeln med optioner som ligger långt fram i tiden är relativt liten och att det kan uppstå systematiska fel i resultaten med anledning av den begränsade handeln. Fokus kommer att ligga på at-themoney optioner, det vill säga optioner där lösenpriset är lika med priset på den underliggande varan. Det på grund av att at-the-money optioner är känsliga för volatilitetsförändringar och därmed ger bäst predikteringar enligt Black-Scholes modellen. 5

6 I nästkommande kapitel (2) ges en mer ingående beskrivning av olika optioner, en presentation av Black-Scholes modellen samt ett tydliggörande av begreppen implicit och historisk volatilitet. I kapitel (3) presenteras tidigare forskning som berör problemområdet. Följande kapitel (4) beskriver metoden i uppsatsen samt ger en överblick av datamaterialet. Vidare i kapitel (5) presenteras resultat och analys. I det sista kapitlet (6) presenteras de slutsatser som har kunnat dras i studien. 2. OPTIONER I följande kapitel ges en beskrivning av olika typer av optioner samt en presentation av Black- Scholes modellen. Dessutom tydliggörs begreppen implicit och historisk volatilitet och deras förmåga att skatta den framtida volatiliteten. 2.1 Köp- och säljoptioner Optioner är värdepapper som ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten, att sälja eller att köpa den underliggande tillgången inom en given tidsram, det vill säga löptid. Löptidens sista dag är lösendagen, varpå det pris som då betalas för att erhålla den underliggande tillgången benämns som lösenpriset. Dessutom finns det en skillnad mellan amerikanska och europeiska optioner. En amerikansk option kan lösas när som helst fram till lösendagen, medan en europeisk option endast kan inlösas på lösendagen. Vidare särskiljs det mellan köpoptioner, som ger innehavaren rätten att köpa den underliggande tillgången och säljoptioner, som ger rätten att sälja den underliggande tillgången (Black och Scholes, 1973). Värdet för köp- och säljoptioner kan illustreras grafisk enligt figur 1 och 2. 6

7 C, Optionspriset P, Optionspriset K, Lösenpris S, Pris på underliggande tillgång K, Lösenpris S, Pris på underliggande tillgång Figur 1: Värdet för en köpoption på lösendagen (Luenberger, 1998) Figur 2: Värdet för en säljoption på lösendagen (Luenberger, 1998) I figuren för köpoptionen (1) framgår det att optionen har ett värde om priset på den underliggande varan, S, är högre än lösenpriset, K. För säljoptionen i figur (2) är det tvärtom, det vill säga att optionen har ett värde om lösenpriset, K, är högre än priset på den underliggande tillgången, S. För köpoptionen gäller även att ett högt pris på den underliggande tillgången resulterar i att optionen värderas högre, medan köpoptionen värderas lägre när den underliggande tillgången har ett lågt pris. Det motsatta gäller för säljoptionen (Black och Scholes, 1973). Värdet på en köpoption kan återges med funktion (1) C = max (0, S-K) där (1) C= värdet på köpoptionen S= underliggande tillgång K= lösenpris Köpoptionen antar ett positivt värde om den underliggande tillgången, på lösendagen, antar ett värde som är högre än lösenpriset, S>K. Det benämns även som att köpoptionen är in-themoney (Luenberger, 1998). Om differensen är negativ är köpoptionen värdelös, det vill säga out-of-the-money och kommer av den anledningen inte att lösas in, S<K (Black och Scholes, 1973). 7

8 Värdet för en säljoption ges av funktion (2) och innebär att om den underliggande tillgången antar ett värde som är lägre än lösenpriset på säljoptionen, givet lösendagen, antas ett positivt värde, S<K. Säljoptionen är då in-the-money. Vidare gäller att säljoptionen kommer vara utan värde, out-of-the-money, om lösenpriset är lägre än värdet på den underliggande tillgången, S>K (Black och Scholes, 1972). P = max (0, K-S) där (2) P= värdet på säljoptionen S= underliggande tillgång K= lösenpris I det fall då priset på den underliggande varan är lika med lösenpriset, S=K, är köpoptionen at-the-money, vilket även gäller för säljoptionen (Luenberger, 1998). Optioners värdeutveckling beror av hur den underliggande tillgången utvecklas. Tidigare nämnt är att det finns optioner som har en aktie som underliggande tillgång, aktieoptioner, men att det även finns indexoptioner. Indexoptioner är optioner som har ett marknadsindex som underliggande tillgång, vilket innebär att det är en portfölj istället för en enskild tillgång som ligger till grunden för optionen (Chou, Chen och Chen, 2006). Den största skillnaden mellan dessa två typer av optioner är att ett kontrakt på en aktieoption garanterar rätten att köpa eller att sälja den underliggande tillgången, vilket medför möjligheten till fysisk leverans av aktierna på lösendagen. Det medan det för indexoptioner endast sker en kontant avräkning, vilket innebär att lösenpriset räknas av på slutdagen mot ett genomsnittsberäknat OMXS30- index. Det då den underliggande tillgången, indexet, inte kan säljas eller köpas (Evenine och Rudd, 1985). 2.2 Black-Scholes formel Black-Scholes formeln för prissättning av optioner presenterades 1973 av Fischer Black och Myron Scholes. 1 Den har vunnit stor genomslagskraft och är den mest använda modellen vid prissättning av optioner med anledning av att den ger bra estimat och är enkel att använda (Savickas, 2001). Modellen bestämmer optionspriset som en funktion av priset på den 1 Forskaren Robert Merton tog samtidigt fram samma modell, som presenterades i artikel Theory of Rational Option Pricing,

9 underliggande varan, den riskfria räntan, löptiden, lösenpriset och volatiliteten enligt ekvation (3) för köpoptioner och ekvation (4) för säljoptioner C= SN(d 1 ) Ke -rt N(d 2 ) (3) P= Ke -rt N(-d 2 ) SN(-d 1 ) där (4) d 1 ln S K C = köpoption P = säljoption 2 ( r ) t 2 t S = pris på underliggande tillgång K = lösenpris r = riskfri ränta t = tid till lösendagen uttryckt i år N(d) = kumulativ standardiserad normalfördelning σ = volatiliteten för den underliggande tillgången d 2 d 1 t Black-Scholes ekvationen bygger på antagandet om en perfekt marknad utan transaktionskostnader. Det förutsätts dessutom att den riskfria räntan är given och konstant över tiden samt att alla aktörer möter samma riskfria ränta på marknaden vid lån. Vidare antas det att den underliggande tillgången inte ger utdelning samt att optionen är europeisk. Ytterligare ett antagande bygger på att volatiliteten är konstant över tiden (Black and Scholes, 1973). 2.3 Volatilitet Volatilitet uttrycker standardavvikelse, det vill säga genomsnittlig avvikelse från den underliggande tillgångens medelvärde. Värdet på en option idag beror av volatiliteten fram till lösendagen och generellt prissätts optioner genom att en prognos tas fram för volatiliteten som sedan appliceras i en modell för prissättning av optioner, där konstant volatilitet antas (Figlewski, 1997). Volatiliteten är den enda variabeln som inte direkt går att observera i Black-Scholes funktionen. Det har resulterat i att grunden för optionshandel är att analysera om den implicita volatiliteten, enligt Black-Scholes modellen bättre predikterar den framtida volatiliteten än den historiska volatiliteten (Giot, 2005). 9

10 2.3.1 Historisk volatilitet Black och Scholes antar i sin modell att volatiliteten är konstant och använder sig av den framtida faktiska volatiliteten. Då modellen antar att volatiliteten är konstant innebär det att t den faktiska framtida volatiliteten blir samma som den historiska volatiliteten. I verkligheten är inte volatiliteten konstant och det har därför utvecklats avancerade modeller, däribland olika GARCH-modeller, (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), för att beräkna den historiska volatiliteten där hänsyn tas till en icke-konstant volatilitet (Figlewski, 1997). Figlewski (1997) menar dock i sin sammanställning av många års egna studier, att den historiska volatiliteten beräknad enligt ekvation (5) verkar ge de bästa resultaten på datamaterial för både korta och långa perioder. Det medan en av de mest frekvent använda GARCH-modellerna kräver ett väldigt stort datamaterial för att ge bra prognoser. Vid beräkning av den historiska volatiliteten i Black och Scholes modellen görs antagandet att den framtida volatiliteten kommer att utvecklas på samma sätt som den historiska 2 R R t där (5) N 1 σ = volatilitet N = antalet observationer R t = ln (S t /S t-1) = avkastning för underliggande tillgång R = medelvärde för avkastning för underliggande tillgång Det råder oklarheter om hur långt tillbaka i tiden estimaten ska hämtas, dock är en tumregel att data ska hämtas lika långt tillbaka i tiden som den återstående löptiden på optionen. Det eftersom data långt tillbaka i tiden ger en bra indikator på volatiliteten över urvalsperioden, samtidigt som risken finns att den inte speglar den framtida faktiska volatiliteten. Vid estimering med dagsdata måste den dagliga volatiliteten, enligt ekvation (5), dessutom multipliceras med roten ur antalet handelsdagar under året för att årlig volatilitet ska erhållas. Det eftersom det är den årliga volatiliteten som används i Black-Scholes modellen (Andersson, 1995) Implicit volatilitet En alternativ metod för att prognostisera den faktiska framtida volatiliteten är med hjälp av den implicita volatiliteten. Den implicita volatiliteten kan tolkas som marknadens 10

11 förväntningar på hur optionens volatilitet kommer att variera över löptiden (Salström och Niikinen, 2002). Under förutsättningen att prissättningsmodellen är korrekt specificerad och att de resterande variablerna är kända, kan volatiliteten, som överensstämmer med de kända variablerna, lösas ut med hjälp av numeriska sökmetoder (Figlewski, 1997). Den implicita volatiliteten kan även beräknas genom att använda sig att approximationsmodeller (Hallerbach, 2004). Fördelen med implicit volatilitet är att den förutom att prognostiseras framtida volatilitet för optioner, även indikerar hur marknaden i nuläget värderar optionen, i förhållande till den underliggande tillgången (Canina och Figlewski, 1993) Olika volatilitetsestimatorers förmåga att prediktera den faktiska volatiliteten Det finns olika sätt att testa en volatilitetsestimators förmåga att skatta den faktiska volatiliteten. Anledningen är att det inte finns någon fastställd standard på hur en bra prognos ska se ut. En bra estimator ska dels ge värden som ligger nära den faktiska volatiliteten och dels kunna prediktera förändringarna i volatiliteten. De ekvationer som följer är de som oftast förekommer vid empiriska undersökningar RMSE 1 N N t 1 ( t 2 T, t ) (6) MAPE 1 N N t 1 T, t t T, t där (7) σ T,,t = faktisk volatilitet σ t = jämförd volatilitet, det vill säga historisk eller implicit RMSE =genomsnittligt prognosfel MAPE= genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal N= antalet observationer Ekvation (6), RMSE, (Root Mean Square Error), mäter det genomsnittliga prognosfelet. Det kan tolkas som att ju lägre prognosfelet är desto bättre är den jämföra volatiliteten på att prognostisera den faktiska volatiliteten. Ekvation (7), MAPE (Mean Absolute Percentage Error), mäter den genomsnittliga procentuella avvikelsen i absoluta tal (Andersson, 1995). 11

12 2.3.4 Korrelation Ett annat sätt att utvärdera vilken volatilitet som bäst predikterar den faktiska är att mäta korrelationen mellan den faktiska volatiliteten och den implicita respektive den historiska volatiliteten, vilket kan göras enligt ekvation (8) Cov( T, t, t ) ρ = * T, t t där (8) ρ= korrelation Cov (σ T,t σ t, )= kovariansen mellan den faktiska volatiliteten och den jämförda, det vill säga implicit eller historisk σ T,t = faktisk volatilitet σ t = jämförd volatilitet, det vill säga historisk eller implicit Ekvationen (8) mäter korrelationen genom att ta kovariansen mellan den faktiska och den jämförda volatiliteten, det vill säga implicit eller historisk volatilitet dividerat med den faktiska volatiliteten multiplicerat med den jämförda volatiliteten (Hull, 2003). 3. TIDIGARE STUDIER Canina och Figlewski (1993) studerar huruvida den implicita volatiliteten ger bra prognoser för Standars and Poor s 100 indexoptioner, som är de optioner som det handlas mest med i USA. Dessa optioner benämns även som OEX optioner. De valda optionerna är amerikanska optioner med olika löptid, vilka har delats in i 4 grupper beroende på löptid. Författarna har inte använt sig av optioner vars löptid överstiger fyra månader. Datamaterialet består endast av köpoptioner, som har valts ut slumpmässig under en 5 års period, mars 1983 mars De konstaterar att den implicita volatiliteten ger dåliga prognoser på deras datamaterial, då det inte finns någon korrelation mellan den implicits och den faktiska volatiliteten. Canina och Figlewski antar att resultaten kan bero på att det finns parametrar som påverkar optionspriser som inte är inkluderade i modellen, till exempel utbud och efterfrågan på optioner. Därmed fastställer Canina och Figlewski att varken den implicita eller historiska volatiliteten kan ge giltiga prognoser för den faktiska volatiliteten hos OEX optioner. Blair, Poon, och Taylor (2001), undersöker också volatiliteten för OEX optioner. De använder sig av optionsdata för åren De poängterar att om de använder sig av en modell 12

13 som är framtagen för europeiska optioner, kommer det att finnas skevhet i resultaten för OEX optioner då de är amerikanska. Av den anledningen har de använt sig av en ARCH-modell för att prognostisera den implicita volatiliteten och en GARCH-modell för den historiska volatiliteten. Blair, Poon och Taylor konstaterar att den implicita volatiliteten ger bättre prognoser under deras testperiod som sträckte sig över 13 år. Hallerbach (2004) föreslår en förbättrad modell för att approximera den implicita volatiliteten. Det eftersom det har visat sig att Black-Scholes funktionen har en tendens att överskatta priset på out-of-the-money optioner och underskatta priset på in-the-money optioner. Hallerbach utgår från två andra modeller för att approximera implicit volatilitet och gör en del förändringar i dessa, vilket resulterar i att estimaten blir bättre än de från ursprungsformeln. Dock menar Hallerbach att modellen inte är ultimat och uppmuntrar till vidareutveckling av den. Salström och Niikinen (2004) undersöker volatiliteten hos indexoptioner från Storbritannien, USA, Tyskland och Finland, från 1996 till Studien skiljer sig från tidigare studier, vars syfte har varit att hitta det bästa sättet att prediktera den framtida volatiliteten, då de undersöker om den implicita volatiliteten är beroende av utvecklingen i andra länder. Resultatet i deras studie visar på att de finansiella marknaderna i Storbritannien, USA och Tyskland är relativt integrerade med varandra medan den finska marknaden står utanför. De menar dessutom att den amerikanska marknaden är överordnad de resterande länderna och att Tyskland är överordnad den europeiska marknaden. Detta innebär att eventuella oroligheter sprids vidare till de underordnade marknaderna. Salström och Niikinen hävdar att deras resultat tyder på predikteringar av den faktiska volatiliteten kan förbättras genom att ta hänsyn till utvecklingen på andra finansiella marknader. 4. METOD OCH DATA Uppsatsen är en kvantitativ vetenskaplig studie vars syfte är att empiriskt ta reda på om den faktiska framtida volatiliteten bäst kan predikteras med den implicita eller den historiska volatiliteten för OMXS30 köp- och säljoptioner för år Antal optioner per månad som passar in på kriteriet at-the-money optioner varierar mellan 4-14 optioner och det är i genomsnitt 10 optioner för varje månad. Hela datamaterialet är baserat på dagsdata och antalet observationer per månad är lika med antalet handelsdagar, vilket i genomsnitt är 21 13

14 dagar. Optionerna är indelade i två grupper beroende av löptid, där optioner med en och två månaders löptid har använts för både köp- och säljoptioner. Svenska Stadsskuldsväxlar, SSVX, med olika löptid, används som den riskfria räntan. För optioner med löptiden en månad har SSVX med en månads löptid används, medan SSVX med tre månaders löptid har använts för optioner som har två månaders löptid. OMXS30 indexet är inte återinvesterande, vilket innebär att det inte justeras för eventuell utdelning för de ingående aktierna. Det finns dock undantagsfall, där justering sker om utdelningen överstiger 10 procent av kursen och då det justeras för den överskjutande delen. I Black-Scholes modellen går det att justera för utdelningar, vilket resulterar i att den implicita volatiliteten kommer att skilja sig från den som fås om justeringar inte görs. Detta kommer inte att göras i uppsatsen, istället kommer estimat över urvalsperioden justerat för kvartal två, april juni, det vill säga kvartal två kommer att exkluderas. Det på grund av att utdelningar oftast ges under våren. Den implicita volatiliteten har beräknats enligt en iterativprocess som hittar den volatilitet som korresponderar mot de resterande variablerna i modellen. 2 Både den historiska och den faktiska volatiliteten har beräknats med ekvation (5), där olika tidsperspektiv använts. För att skatta den historiska volatiliteten används data lika långt tillbaka i tiden som den återstående löptiden för den aktuella optionen. Det medan den faktiska volatiliteten utgår från hur index faktiskt har utvecklats under den aktuella perioden. För att kunna avgöra vilken volatilitet som bäst predikterar den faktiska ska korrelationen mellan den faktiska och den implicita respektive den historiska volatiliteten utvärderas, den genomsnittliga avvikelsen från den faktiska volatiliteten och den genomsnittliga procentuella avvikelsen i absoluta tal. Detta kommer att göras med ekvationerna (6)-(8). För att göra de tre volatiliteterna jämförbara med varandra har ett genomsnittligt värde beräknats för den implicita volatiliteten, vilket innebär att den implicita volatiliteten för optionerna har adderats månadsvis och sedan dividerats med antalet optioner i urvalet den aktuella månaden. Det medan den historiska och den faktiska volatiliteten har multiplicerats med roten ur det genomsnittliga antalet handelsdagar på ett år, 250 dagar, för att få observationerna på årsbasis. Då uppsatsen empiriska avsnitt till viss del följer artikeln av Canina och Figlewski (1993) ligger fokus i uppsatsen på at-the-money optioner. Det då at-the-money optioner är känsliga 2 Alla beräkningar är gjorda i Excel 14

15 för förändringar och därmed ger bra volatilitetspredikationer. Canina och Figlewski har valt optioner i ett intervall på 20 indexpunkter över och under den faktiska indexnivån. Samma intervall kan inte väljas för OMXS30 optioner då de varierar mer, av den anledningen ligger urvalet av optionerna i uppsatsen inom ett intervall av 100 punkter över och under den faktiska indexnivån. Valet baserar sig på inom vilket intervall de flesta optioner varierar utan att variationen ska bli för stor och ligga för långt bort från noll, vilket är det optimala för atthe-money optioner. I tabell 1 nedan presenteras deskriptiv statistik, det vill säga medel, median samt maximumoch minimumvärde för köp- och säljoptioner med en och två månaders löptid. Tabell 1: Deskriptiv statistik över köp- och säljoptioner med en samt två månaders löptid 3 Köp 1 månad Köp 2 månad Sälj 1 månad Sälj 2 månad Implicit 0,121 0,092 0,156 0,134 Medel Historisk 0,158 0,151 0,158 0,151 Faktiskt 0,167 0,160 0,167 0,160 Implicit 0, , ,001 0,009 Minimum Historisk 0,015 0,009 0,015 0,009 Faktiskt 0,015 0,009 0,015 0,009 Implicit 0,110 0,089 0,155 0,134 Median Historisk 0,121 0,113 0,121 0,113 Faktiskt 0,131 0,131 0,131 0,131 Implicit 0,496 0,237 0,484 0,240 Maximum Historisk 0,844 0,844 0,844 0,844 Faktiskt 0,844 0,844 0,844 0,844 N N- antalet observationer, köp/sälj 1/2 månad = köp/säljoptioner med en/två månaders löptid Historisk och faktisk volatilitet uppvisar samma värden för lika löptid då beräkningarna för köp- och säljoptionerna har samma underliggande tillgång, OMXS30 index. Medelvärdet för köpoptioner är något lägre än för säljoptioner för båda löptiderna. Detta beror på att datamaterialet inte är justerat för utdelningar, vilket påverkar den implicita volatiliteten. Det då utdelningar resulterar i att köpoptioner sjunker i värde och säljoptioner ökar i värde, vilket leder till något högre implicit volatilitet. 3 Anledningen till det låga minimivärdet för den implicita volatiliteten beror på att det för vissa optioner saknades prisuppgifter för samtliga dagar och den skattade volatiliteten antar ett lågt värde. De är med stor sannolikhet av samma anledning som det uppstår en skillnad i medelvärde och median för den implicita volatiliteten mellan köp- och säljoptioner, vilket i annat fall skulle betyda att put-call-parity villkoret inte håller. 15

16 5. RESULTAT OCH ANALYS För att kunna avgöra vilken volatilitet som bäst predikterar den faktiska ska korrelationen mellan den faktiska och den implicita respektive den historiska volatiliteten utvärderas, den genomsnittliga avvikelsen från den faktiska volatiliteten och den genomsnittliga procentuella avvikelsen i absoluta tal. Resultaten är redovisade för samtliga observationer och för materialet som är justerat för kvartal två. Det för att eventuellt kunna upptäcka avvikande resultat som skulle kunna vara utdelningsrelaterade, eftersom utdelning oftast ges under våren, april juni. 5.1 Köpoptioner I diagram 1 presenteras hur den historiska och implicita volatiliteten har utvecklats gentemot den faktiska volatiliteten för at-the-money köpoptioner med en månads löptid under år Diagram 1: Historisk, implicit och faktisk volatilitet för 2006 års köpoptioner med en månads löptid Historisk, Implcit och faktisk volatilitet för köpoptioner med en månads löptid Volatiliet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, Datum VARIABLER Implicit Historisk Faktisk I tabell 2 kan korrelationen mellan den faktiska och den implicita respektive den historiska volatiliteten avläsas för köpoptioner med en månads löptid. Det framgår även hur mycket den implicita och den historiska volatiliteten avviker från den faktiska volatiliteten. 16

17 Tabell 2: Korrelation mellan faktisk volatilitet och implicit respektive historisk volatilitet, genomsnittlig avvikelse och genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal för köpoptioner med en månads löptid Samtliga observationer Justerat för kvartal två, april -maj Korrelation med faktisk RMSE MAPE Korrelation med faktisk RMSE MAPE volatilitet volatilitet Historisk 0,097 (0,159) 0,109 0,341 0,285 (0,000) 0,064 0,241 Implicit 0,307 (0,000) 0,120 0,316 0,308 (0,000) 0,046 0,159 p-värden inom parantes, p-värde < 0,05 innebär att resultatet är statistiskt signifikant, RMSE - anger genomsnittlig avvikelse från faktisk volatilitet, MAPE- genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal Resultaten för alla observationer visar på att den historiska volatiliteten i genomsnitt är bättre på att prognostisera den faktiska volatiliteten än den implicita, då RMSE antar ett lägre värde. Samma slutsats kan dras av det lägre värdet på den absoluta genomsnittliga procentuella avvikelse, MAPE, för den historiska volatiliteten. Dock är resultaten för RMSE och MAPE motsägelsefulla då det endast är den implicita volatiliteten som har en statistiskt säkerställd korrelation med den faktiska volatiliteten. Då de motsägelsefulla resultaten eventuellt kan vara utdelningsrelaterade är estimaten justerade för kvartal två, det vill säga april juni. De estimerade värdena visar att både den historiska och den implicita volatiliteten korrelerar med den faktiska volatiliteten. Den implicita volatiliteten har något högre korrelation, 0,308 jämfört med 0,285. Det bekräftas även av ett lägre värde på den absoluta procentuella avvikelsen samt värdet på den genomsnittliga avvikelsen för den implicita volatiliteten jämfört med värdet för den historiska volatiliteten. I nästföljande diagram (2) presenteras den historiska, implicita och faktiska volatiliteten för köpoptioner med två månaders löptid 17

18 Diagram 2: Historisk, implicit och faktisk volatilitet för 2006 års köpoptioner med två månaders löptid Historisk, Implicit och faktisk volatilitet för köpoptioner med två månders löptid Volatilitet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, Datum VARIABLER Implicit Historisk Faktisk Estimaten för köpoptioner med två månaders löptid, i tabell 2 för samtliga observationer uppvisar motsägelsefulla resultat då värdet på genomsnittlig avvikelse, RMSE, tyder på att den implicita volatiliteten avviker mindre från den faktiska volatiliteten. Samtidigt som värdet på den absoluta genomsnittliga procentuella avvikelse, MAPE, anger att avvikelsen är större för den implicita än för den historiska volatiliteten. Dessutom uppvisar korrelationsresultaten ologiska resultat då högre korrelation, som även är statistiskt signifikant för den implicita volatiliteten, bör resultera i ett lägre värde på den absoluta genomsnittliga procentuella avvikelsen, MAPE, i jämförelse med den historiska volatiliteten. Efter justering för kvartal två uppvisas statistisk säkerställd korrelation med den faktiska volatiliteten för både den implicita och den historiska volatiliteten. Då den historiska volatiliteten korrelerar något starkare men den faktiska volatiliteten uppvisas även ett lägre värde på den absoluta genomsnittliga procentuella avvikelsen, MAPE, i jämförelse med den implicita. 18

19 Tabell 3: Korrelation mellan faktisk volatilitet och implicit respektive historisk volatilitet, genomsnittlig avvikelse och genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal för köpoptioner med två månaders löptid Samtliga observationer Justerat för kvartal två, april-juni Korrelation med faktisk RMSE MAPE Korrelation med faktisk RMSE MAPE volatilitet volatilitet Historisk 0,038 (0,554) 0,135 0,391 0,270 (0,000) 0,080 0,222 Implicit 0,275 (0,000) 0,125 0,449 0,217 (0,004) 0,055 0,276 p-värden inom parantes, p-värde < 0,05 innebär att resultatet är statistiskt signifikant, RMSE - anger genomsnittlig avvikelse från faktisk volatilitet, MAPE- genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal Den mest sannolika förklaringen till de motsägelsefulla estimaten på korrelationen och den absoluta procentuella avvikelsen, MAPE, som uppvisas för samtliga observationer, beror på att datamaterialet inte är justerat för utdelningar. Det bekräftas av de resultat som fås då kvartal två exkluderas och värdena för köpoptioner med en och två månaders löptid förbättras avsevärt. Dessutom uppvisas korrelation med faktisk volatilitet för både historisk och implicit volatilitet för båda löptiderna. Skillnaden mellan löptiderna är att korrelationen verkar sjunka med löptiden, det vill säga att korrelationen är starkare för optioner med en månads löptid än med två, vilket gäller både för historisk och implicit volatilitet. 5.2 Säljoptioner Diagram 3 visar den historiska, implicita och den faktiska volatiliteten för säljoptioner med en månads löptid. Diagram 3: Historisk, implicit och faktisk volatilitet för 2006 års säljoptioner med en månads löptid Historisk, implicit och faktisk volatilitet för säljoptioner med en månads löptid Volatilitet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, Datum VARIABLER Implicit Historisk Faktisk 19

20 I tabell 4 visas resultaten för säljoptioner med en månads löptid. Korrelationsestimaten tyder på att det endast är den implicita volatiliteten som statistiskt säkerställt korrelerar med den faktiska volatiliteten. Det överensstämmer även med resultaten för den implicita volatiliteten på genomsnittlig avvikelse, RMSE och absolut genomsnittlig avvikelse, MAPE. Trots detta är resultaten justerade för kvartal två för att upptäcka eventuella dolda avvikelser. De justerade estimaten visar på att både historisk och implicit volatilitet korrelerar med faktiskt volatilitet. Båda estimaten är statistiskt säkerställda och den implicita volatiliteten som uppvisar högre korrelation uppvisar även lägre avvikelser från den faktiska volatiliteten. Tabell 4: Korrelation mellan faktisk volatilitet och implicit respektive historisk volatilitet, genomsnittlig avvikelse och genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal för säljoptioner med en månads löptid Samtliga observationer Justerat för kvartal två, april - juni Korrelation med faktisk RMSE MAPE Korrelation med faktisk RMSE MAPE volatilitet volatilitet Historisk 0,097 (0,159) 0,109 0,341 0,228 (0,000) 0,046 0,241 Implicit 0,408 (0,000) 0,078 0,361 0,330 (0,000) 0,030 0,121 p-värden inom parantes, p-värde < 0,05 innebär att resultatet är statistiskt signifikant, RMSE - anger genomsnittlig avvikelse från faktisk volatilitet, MAPE- genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal I diagram 4 visas den historiska, implicita och den faktiska volatiliteten för 2006 års at-themoney säljoptioner med två månaders löptid. Diagram 4: Historisk, implicit och faktisk volatilitet för 2006 års säljoptioner med två månaders löptid Historisk, implicit och faktisk volatilitet för säljoptioner med två månaders löptid Volatilitet 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, Datum VARIABLER Implicit Historisk Faktisk 20

21 I tabellen 5 nedan framkommer det hur den implicita samt den historiska volatiliteten korrelerar med den faktiska volatiliteten för säljoptioner med två månaders löptid. Resultaten visar att varken den implicita eller den historiska volatiliteten uppvisar någon korrelation med den faktiska volatiliteten som är statistiskt säkerställd. Dock verkar den implicita volatiliteten avvika mindre från den faktiska volatiliteten i genomsnitt och i absoluta procentuella tal. För att kontrollera om det går att påvisa någon korrelation justeras det även här för kvartal två. Av estimaten att döma är det endast den historiska volatiliteten som korrelerar med den faktiska volatiliteten och även visar lägre värden på genomsnittlig avvikelse, RMSE, och den absoluta procentuella avvikelsen, MAPE. Detta innebär att den historiska volatiliteten är bättre på att prognostisera den faktiska volatiliteten för säljoptioner med två månaders löptid. Tabell 5: Korrelation mellan faktisk volatilitet och implicit respektive historisk volatilitet, genomsnittlig avvikelse och genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal för säljoptioner med två månaders löptid Alla observationer Justerat för kvartal två, april - juni Korrelation med faktisk RMSE MAPE Korrelation med faktisk RMSE MAPE volatilitet volatilitet Historisk 0,038 (0,554) 0,135 0,391 0,147 (0,035) 0,080 0,222 Implicit 0,024 (0,711) 0,108 0,428 0,066 (0,341) 0,176 0,243 p-värden inom parantes, p-värde < 0,05 innebär att resultatet är statistiskt signifikant, RMSE - anger genomsnittlig avvikelse från faktisk volatilitet, MAPE- genomsnittlig procentuell avvikelse i absoluta tal Resultaten för säljoptioner med en och två månaders löptid skiljer sig i den bemärkelsen att det endast är optionerna med en månads löptid som uppvisar korrelation med faktiskt volatilitet för både implicit och historisk volatilitet. Det efter att kvartal två exkluderats, vilket kan innebära att resultaten för ojusterat material avviker då de är utdelningsrelaterade. Anledningen till att den implicita volatiliteten inte uppvisar någon korrelation med faktisk volatilitet för säljoptioner med två månaders löptid skulle kunna bero på att det finns avvikelser i materialet som inte ligger i kvartal två. Det med avseende på att den genomsnittliga avvikelsen, RMSE och den absoluta procentuella avvikelsen, MAPE, för den implicita volatiliteten inte starkt skiljer sig från den historiska. Vidare uppvisas starkare korrelation för köpoptioner med en månads löptid än med två månaders löptid. 5.3 Jämförelse av resultat mellan köp- och säljoptioner Då köp- och säljoptioner har samma underliggande tillgång, OMXS30 index finns det ingen skillnad i resultaten för den historiska volatiliteten, vilket gäller båda löptiderna. Detta innebär 21

22 att korrelation med den faktiska volatiliteten, genomsnittlig avvikelse, RMSE och absolut procentuell avvikelse, MAPE är samma. Det gäller även efter att datamaterialet justerats för kvartal två, april juni. Skillnaden är dock att korrelation med faktisk volatilitet uppvisas för den historiska för både köp- och säljoptioner och för båda löptiderna efter justeringen. Förändringen av resultaten bekräftar hypotesen om att estimaten är utdelningsrelaterade. Beträffande den implicita volatiliteten för köpoptioner uppvisar resultaten för samtliga observationer motsägelsefulla resultat, det vill säga hög korrelation med faktisk volatilitet resulterar i hög genomsnittlig avvikelse, RMSE och hög procentuell avvikelse i absoluta tal, MAPE. Dock förändras resultaten vid justering för kvartal två. Dessa motsägelsefulla estimat uppvisas dock inte för säljoptioner med en månadslöptid men återfinns hos säljoptioner med två månaders löptid. Dock är resultaten för två månaders löptid inte statistiskt signifikanta. Säljoptioner med två månaders löptid skiljer sig även i bemärkelsen, från de resterande optionerna och löptiderna, att det inte finns någon korrelation mellan den implicita och den faktiska volatiliteten. Det varken före eller efter justering för kvartal två. Det är avvikande i det avseendet att den implicita volatiliteten för köpoptioner med två månaders löptid korrelerar med den implicita volatiliteten. Det resulterar i att det finns anledning att tro att det finna andra faktorer som påverkar resultaten. Det skulle kunna vara möjlig extrautdelning som ges vid annan tidpunkt på året och som endast återspeglas för säljoptioner på sikt. En annan tänkbar anledning är att hänsyn inte har tagits till utdelning i Black-Scholes funktionen, vilket påverkar den implicita volatiliteten. Det med tanke på att säljoptioner ökar i värde vid utdelning medan köpoptioner sjunker i värde. 7. AVSLUTANDE DISKUSSION Syftet med den här uppsatsen är att undersöka om den implicita volatiliteten enligt Black- Scholes bättre predikterar den framtida faktiska volatiliteten än den historiska volatiliteten. För att utvärdera detta har korrelationen mellan den faktiska och den implicita respektive den historiska volatiliteten utvärderats. Dessutom har den genomsnittliga avvikelsen, RMSE, och den genomsnittliga absoluta procentuella avvikelsen från den faktiska volatiliteten, MAPE, analyserats. 22

23 Vid analys av den genomsnittliga procentuella avvikelsen, RMSE och den genomsnittliga absoluta procentuella avvikelsen, MAPE, kan slutsatsen dras att den implicita volatiliteten avviker mer från den faktiska volatiliteten än den historiska volatiliteten. Detta gäller för köpoptioner med en respektive två månaders löptid för samtliga observationer. Dock förändras detta efter justering av kvartal två då ingen konsekvent skillnad uppvisas längre. Det motsatta gäller för säljoptioner för både löptiderna. Det har kunnat påvisas att både köp- och säljoptioner uppvisar korrelation med den faktiska volatiliteten för både historisk och implicit volatilitet, efter justering av kvartal två. Det med undantag för säljoptioner med två månaders löptid, som endast uppvisar korrelation med historisk volatilitet. Resultaten som uppvisas efter justering för kvartal två beror med stor sannolikhet på att det därmed justeras för utdelningar, vilket utan justering kan ge avvikande resultat. Dessutom visar resultaten på att korrelationen sjunker med ökad löptid, det vill säga osäkerheten i prognoserna ökar. Sammanfattningsvis har slutsatsen dragits att varken den implicita eller den historiska volatiliteten är perfekta indikatorer på hur den faktiska framtida volatiliteten kommer att utvecklas. Dock uppvisar både den implicita och historiska volatiliteten korrelation med den faktiska volatiliteten efter justering för eventuella utdelningar som förekommer i kvartal två. Detta implicerar avslutningsvis att den implicita och den historiska volatiliteten är relativt jämlika vid prediktering av den faktiska volatiliteten för 2006 års OMXS30 köp- och säljoptioner. 23

24 REFERENSFÖRTECKNING Litteratur Benninga, Simon, (2000), Financial Modelling, Massachusetts Institute of Technology, The Massachusetts Institute of Technology Press, London, andra upplagan Hull, C. John, 2003, Options, Futures and other Derivatives, Pearson Education Inc., New Jersey, femte upplagan Luenberger G. David, (1998) Investment Science, Oxford University Press, New York Artiklar och avhandlingar Andersson, Göran, 1995, Volatility Forcasting and Efficiency of the Swedish Call Option Market, Kompendiet-Göteborg, Handelshögskolan Göteborgs universitet Bennell, Julia A. and Sutcliffe, Charles M., 2003, Black-Scholes Versus Artificial Neural Networks in Pricing FTSE 100 Options, Working Paper Series, Social Science Research Network Black, Fischer and Scholes, Myron S., 1972, The Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency, Journal of Finance, vol. 27, nr. 2 Black, Fischer and Scholes, Myron S,1973, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, vol. 81, nr. 3 Blair, Bevan, Poon, Ser-Huang and Taylor, Stephen J., 2001, Forecasting S&P 100 Volatility The Incremental Information Content of Implied Volatilities and High Frequency Index Returns, Journal of Econometrics, vol. 105, nr. 1 Canina, Linda and Figlewski, Stephen, 1993, The Informational Content of Implied Volatility, The Review of Financial Studies, vol. 6, nr. 3 Chou, Heng-Chih; Chen, Wei-Ning and Chen, Dar-Hsin, 2006, The Expiration Effects of Stock- Index Derivatives: Empirical Evidence from the Taiwan Futures Exchange Emerging Markets Finance and Trade, vol. 42, nr. 5 Evenine, Jeremy and Rudd, Andrew, 1985, Index Options: The Early Evidence, The Journal of Finance, vol. 40 nr.3 Figlewski, Stephen, 1997, Forecasting Volatility, Financial Markets, Institutions and Instruments, vol. 6, nr. 1 Giot, Pierre, 2002, "Implied Volatility Indices as Leading Indicators of Stock Index Returns?" CORE Discussion Paper, nr. 50 Hallerbach, Winfried G., 2004, An Improved Estimator for Black-Scholes-Merton Implied Volatility, ERIM Report Series nr. 54 Sahlström, Petri and Nikkinen, Jussi, 2002, International Transmission of Uncertainty Implicit in Stock Index Option Prices, Global Finance Journal, vol. 15, nr. 1 Savickas, Robert, 2001, "A Simple Option Pricing Formula (New Version)", Working Paper Series, Social Science Research Network 24