STUDIEAVSNITT 5 TRIGONOMETRI I det här asnittet kommer i att studera hur man beräknar inklar och sträckor för gina figurer. Ordet trigonometri innebär läran om förhållandet mellan inklar och sträckor i trianglar. LIKFORMIG AVBILDNING Centralt för trigonometrin är begreppet likformig abildning. Alla kartor och ritningar är, som i arit inne på tidigare, eempel på likformiga abildningar. Med detta menas att relationen hela tiden är densamma om man tar en sträcka i bilden och diiderar med motsarande sträcka i erkligheten (eller tärt om). Vidare innebär det att alla inklar som sidorna bildar i bilden och i erkligheten är desamma. Om i har en triangel och antingen förstorar eller förminskar den så kommer detta inte att påerka inklarnas storlek de blir desamma. På samma sätt som en sträcka kan uttryckas i olika enheter (cm, mm, tum etc) så kan en inkel också uttryckas på lite olika sätt. Det anligaste sättet är att man utgår från att ett ar är precis 360. Ett karts ar, en så kallad rät inkel, är då 360 / 4 = 90. På ritningar brukar en rät inkel markeras med en liten fyrkant (se figur 5.1 med fyrkanten nere till höger i bild). Figur 5.1. En triangel där nedre högra hörnet har en rät inkel (90 ). Om man definierar ett ar som 360 så gäller att summan a inklarna i en fyrhörning alltid är just 360. Summan a inklarna
106 STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI i en triangel är då alltid 180. I issa sammanhang (t.e. på kompassen) definierar man dock ett ar som 400 grader - eller gon - och då blir en rät inkel 400 / 4 = 100 gon. EXEMPEL 1 Vid ett isst ögonblick en solig dag bildar ett träd en skugga som är 8,5 meter lång. Samtidigt får en person som har en längd a 00 cm en skugga som är precis 100 cm. Hur högt är trädet? * * * Här har i ett eempel på likformig abildning. Vinklarna i de tå trianglarna kommer att bli lika stora. Vidare kommer relationerna mellan sidorna att bli desamma. 100 00 850 Följande ekation kan därmed ställas upp (sidan i den stora triangeln ska förhålla sig till 00 i den lilla på samma sätt som sidan 850 förhåller sig till 100): 850 00 100 850 00 100 850 1700 Sar: Trädet är 17,0 m högt. BESTÄMNING AV STRÄCKA MED TANGENS När i löste eempel 1 oan fick i följande figur (figur 5.). Vi et att de tå trianglarna är likformiga och därför har samma storlek på sina inklar. T.e. kommer inkeln längst ned till änster i trianglarna att ara lika stor. Det är lätt att inse att denna inkels storlek helt och hållet bestäms a relationen mellan de tå kateterna i triangeln (kateterna är de tå sidor som tillsammans bildar en rät inkel).
STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI 107 1700 00 100 850 Figur 5.. Tå trianglar som har lika stor inkel i nedre änstra hörnet eftersom relationen mellan kateterna för dem är densamma (850/100 = 8,5 och 1700/00 = 8,5). Beräknar i relationen i den änstra triangeln får i: 00 / 100 =,0 och på motsarande is i den högra: 1700 / 850 =,0. Det är just detta samband som utnyttjas i funktionen TAN (tangens). I alla rätinkliga trianglar gäller att: TAN ( ) b a Motstående katet Närliggande katet a Figur 5.3. Definitionen a tangens för en inkel i en rätinklig (90 ) triangel. Sidan a står mitt emot inkeln och sidan b är mer närliggande. b I praktiken innebär detta att om man känner längden på en sida i triangeln och kan mäta upp hur stor inkeln är, så kan längden på de öriga sidorna i triangeln beräknas. Höjdmätaren som anänds i skogsbruket utnyttjar detta och är egentligen inget annat än en inkelmätare. Känner i i figur 5.3 oan inkeln och aståndet till trädet, sträckan b, kan trädets höjd, a, bestämmas. Först måste man dock bestämma ilken typ a grader som man ska anända. Vi äljer här den anliga typen som innebär 360 för ett helt ar och 90 för en rät inkel. Tabell 5.1 på följande sida kan därefter anändas.
108 STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI Tabell 5.1 Tangens för inklar mellan 0 och 89 grader. Ett ar definieras då som 360 grader och en rät inkel som 90 grader. tan() tan() tan() 0 0,000 30 0,577 60 1,73 1 0,017 31 0,601 61 1,804 0,035 3 0,65 6 1,881 3 0,05 33 0,649 63 1,963 4 0,070 34 0,675 64,050 5 0,087 35 0,700 65,145 6 0,105 36 0,77 66,46 7 0,13 37 0,754 67,356 8 0,141 38 0,781 68,475 9 0,158 39 0,810 69,605 10 0,176 40 0,839 70,747 11 0,194 41 0,869 71,904 1 0,13 4 0,900 7 3,078 13 0,31 43 0,933 73 3,71 14 0,49 44 0,966 74 3,487 15 0,68 45 1,000 75 3,73 16 0,87 46 1,036 76 4,011 17 0,306 47 1,07 77 4,331 18 0,35 48 1,111 78 4,705 19 0,344 49 1,150 79 5,145 0 0,364 50 1,19 80 5,671 1 0,384 51 1,35 81 6,314 0,404 5 1,80 8 7,115 3 0,44 53 1,37 83 8,144 4 0,445 54 1,376 84 9,514 5 0,466 55 1,48 85 11,430 6 0,488 56 1,483 86 14,301 7 0,510 57 1,540 87 19,081 8 0,53 58 1,600 88 8,636 9 0,554 59 1,664 89 57,90
STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI 109 EXEMPEL När man står 0 meter från ett träd så uppmäts inkeln i figuren nedan till 51. Vilken höjd har trädet? * * * I figuren till höger är motstående katet till inkeln medan sidan som är 0 meter lång är närliggande katet (den närliggande kateten är den sida som både bildar rät inkel med en annan sida i triangeln och som dessutom spänner upp inkeln ). 0 Med hjälp a formeln oan får i ekationen: TAN (51 ) 0 Obserera att TAN(51) är ett tal som i kan utläsa a tabell 5.1 oan. I tabellen är talet arundat till tre decimaler: 1,35 men det finns egentligen många fler decimaler här. 1,35 0 För att få fritt på höger sida måste i multiplicera upp 0. Vi får: 0 1, 35 och med huudräkning kan i eempelis räkna. 1,35 = 4,7 m Sar: Trädet är 4,7 m högt.
110 STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI ÖVNINGAR 501. Nedanstående figurer isar likformiga abildningar. Bestäm längden på sidan markerad med. a) b) 90 100 45 60 5 75 50. Bestäm med hjälp a tabell 5.1. a) TAN(1 ) b) 00. TAN(5 ) c) 10. TAN(38 ) d) 57. TAN(45 ) / 3 503. Figuren nedan isar tå likformiga femhörningar. Hur långa är sidorna a, b, c och d? Arunda saren till heltal. 5 11 d c 1 8 0 b 50 a Ställ först upp en ekation med för följande trianglar. Bestäm sedan längden på sidan markerad med med hjälp a tabell 5.1. Bestäm därefter också triangelns area. 504. 15 [Enhet: cm] 45 505. [Enhet: dm] 55 0
STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI 111 506. 8,7 [Enhet: cm] 16 [Enhet: m] 507. 114 114 64 100 BESTÄMNING AV VINKEL MED TANGENS På motsarande is som man kan beräkna en okänd sida i triangeln när inkeln är känd så kan man beräkna inkeln när sidorna är kända. Obserera dock att triangeln måste ara rätinklig för att det ska fungera. Är den inte det får i försöka anända tekniken som tillämpades i uppgift 507 oan där den ursprungliga triangeln inte ar rätinklig men kunde delas upp i tå rätinkliga genom att höjden i den ursprungliga triangeln drogs. a a TAN ( ) = b Motstående katet Närliggande katet b Figur 5.4. Definitionen a tangens för en inkel i en rätinklig triangel. EXEMPEL 3 Hur stora är inklarna och u i nedanstående figur? * * * u Med hjälp a formeln oan får i ekationen (arför?): 4,7 0
11 STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI TAN ( ) 4,7 0 TAN för något okänt ska alltså bli 4,7 / 0 = (4,7 / ) / 10 = 1,35 / 10 = 1,35 Vi går in baklänges i tabell 5.1 och ser att inkeln då måste ara 51. Eftersom summan a inklarna i en triangel alltid är 180 så får i inkeln u = 180 90 51 = 39. Sar: Vinkeln = 51 och inkeln u = 39. I eemplet oan anänder i den inersa funktionen till tangens för att få fram inkeln: TAN 1. Blanda inte ihop denna med TAN. TAN -1 är baklängesfunktionen till TAN. TAN anänder i när i känner inkeln och ill ha ut sidan medan TAN 1 anänds när i känner sidorna och ill ha ut inkeln. EXEMPEL 4 Bestäm inklarna och u i nedanstående figur. * * * Med hjälp a tangens och tabell 5.1 kan i beräkna inkeln. 7,0 TAN( ) 10,0 TAN( ) 0,70 TAN 35 1 0,70 Gå in baklänges i tabell 5.1 på 0,70 för att få mots. inkel 35. 10,0 u 7,0 Eftersom summan a inklarna i en triangel alltid är 180 så får i inkeln u = 180 90 35 55. Sar: Vinkeln = 35 och inkeln u = 55.
STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI 113 ÖVNINGAR Ställ upp en ekation och uppskatta därefter med hjälp a tabell 5.1 storleken på inkeln i följande figurer. 508. 15 5 509. 50 39 510. 50 40 Bestäm arean i hektar med tå decimaler för följande figurer. 511. 00 m 51. 64 00 m 64 100 m
114 STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI 513. Nedanstående bild är en skiss på ett skogsskifte format som en rätinklig triangel. Bilden är i skalan 1:0 000. a) Anänd linjal för att bestämma skiftets areal i hektar. Beräkna sedan hur många ekplantor som ska beställas om området ska planteras med 1 000 ekplantor per hektar? (Vid planteringen blandas sedan ekplantorna med rader a gran.) b) Bestäm m.h.a. tabell 5.1 inkeln i den nedre spetsen på triangeln. 514. Ett relaskop har en spaltöppning på 10 mm och en kedjelängd som gör att spalten id anändning hamnar 50 cm från ögat. Uppskatta med hjälp a tabell 5.1 hur stor inkeln är (figuren nedan är inte skalenlig). 50 cm ÖGA SPALT LUTNINGSPROCENT I issa tekniska tillämpningar i skogsbruket brukar man anända begreppet lutningsprocent som mått på en inkel. Det kan t.e. handla om en maskin ska orka upp för en backe (se figur 5.5). Lutningsprocenten = Motstående katet Närliggande katet = a b Figur 5.5. Definitionen a lutningsprocent för en backe.
STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI 115 Obserera att detta innebär att lutningsprocenten är detsamma som tangens för backens inkel. I praktiken kan det ofta ara sårt att mäta sträckan b i figuren. Istället kan man då mäta sträckan c. Sträckorna b och c kommer nämligen att ara ungefär lika långa om inkeln är liten, ilket den oftast är i praktiken. Notera också att i en triangel där a och b är lika stora så kommer lutningsprocenten att bli 100 %. EXEMPEL 5 Bestäm lutningsprocenten och sträckan i nedanstående figur. * * * 1 Lutningen = 1 / 5 = 0,04 = 4 % 5 Med hjälp a Pythagoras sats får i den okända sidan : 5 1 5 5 5,0 1 1 Här blir alltså hypotenusan nästan precis lika lång som den långa kateten. Vi hade alltså fått saret 4 % på lutningen äen om i anänt hypotenusan istället för kateten. ÖVNINGAR 515. Bestäm lutningsprocenten och sidan i följande figur (figuren är inte skalenlig). 5,1 7
116 STUDIEAVSNITT 5: TRIGONOMETRI 516. Ett tåg kör uppför en 1 km lång backe. Lutningsprocenten är 8%. a) Uppskatta hur många meter högre upp tåget befinner sig id backens slut. b) Uppskatta med hjälp a tabell 5.1 hur många grader backens lutningsinkel är. Sara på en hal grad när.