DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation är ordinär om den okända funktionen beror av variabler T e y ( ) + y ( ) ) = sin( ) är en ordinär DE (Den okända funktionen y () beror av en variabel ) ii) Om den okända funktionen beror av eller flera variabler ( då kallas funktionens derivator för partiella derivator ) kallas DE för partiell differentialekvation T e f f (, y) + (, y) = + y y är en partiell DE I vår kurs ingår endast några typer av ordinära DE EKVATIONENS ORDNING En differentialekvations ordning definieras som ordningen hos den högsta förekommande derivatan T e a) Ekvationen 0 är av tredje ordningen y ( ) + y ( ) ) = + d y dy b) Ekvationen + + y = ln är av andra ordningen d d 8 c) Ekvationen y ( = t är av första ordningen Uppgift Bestäm ordningen av följande differentialekvationer a) y ( ) ) = sin + y ( ) dy d y d y b) + y = tan t + + dt dt dt Svar a) tre b) fyra LÖSNING TILL EN DIFFERENTIALEKVATIONEN En lösning till en differentialekvation är en funktion som är definierad på ett intervall (a,b) och som på detta intervall uppfyller det samband som differentialekvationen anger T e y( ) = e är en lösning till ekvationen y ( ) y( ) = 0 på intervallet (, ) Uppgift Bestäm om y () är en lösning till differentialekvationen y ( ) 5y( ) = 5 + om 5 5 a) y( ) = + e b) y( ) = + Ce där C är ett konstant tal c) y( ) = e av 5
Lösning: 5 a) Först, från y( ) = + e ekvationen och får : 5 Vi substituerar () y ( ) = + 0e y och y () i 5 5 Vänsterledet VL= y ( ) 5y( ) = + 0e 5( + e ) = 5 + Eftersom HL = 5 + ser vi att VL =HL 5 Därmed är y( ) = + e en lösning till DE Svar a) ja b) ja c) nej Uppgift Bestäm om y () är en lösning till differentialekvationen y ( ) y ( ) + y( ) = 0 om a) y( ) = e b) y( ) = 0e c) y ( ) = e, d) y ( ) = Ce ( C är ett konstant tal) e) Svar a) ja b) ja c) ja d) ja e) nej y( ) = e 5 ( ) ENKLA EKVATIONER AV TYP y n ( ) = f ( ) Ekvationer av typ ( ) y n ( ) = f ( ) (dvs derivatan av ordning n är given eplicit som en funktion av ) löser vi genom upprepad integration Vi integrerar högerledet f () n gånger Ekvationen y ( ) = f ( ) har oändligt många lösningar y ( ) = f ( ) d + C Eempel Lös ekvationen y ( ) = Lösning: Från y ( ) = y ( ) = d = + C ( där C ett ett konstant tal) Alltså oändligt många lösningar Alla ges av uttrycket y ( ) = + C (Den allmänna lösningen) För varje val av konstanten C får vi en lösning (en partikulär lösning) Till eempel, för C = en partikulär lösning y ( ) = för C = en annan partikulär lösning y ( ) = + I grafen bredvid lösningskurvorna för C =, 0,,, och av 5
Uppgift a) Lös ekvationen y ( ) = + b) Bestäm den lösning som uppfyller kravet y ( ) = 5 Lösning a) Från y ( ) = + y ( ) = ( + ) d = + + C Alltså är y ( ) = + + C den allmänna lösningen b) För att få den lösning som uppfyller kravet y( ) = 5 substituerar vi = och y=5 i den allmänna lösningen y ( ) = + + C och bestämmer C Vi har 5 = + + C som ger C= Alltså är y ( ) = + + den lösning som uppfyller y ( ) = 5 Svar a) y = ( ) + + C b) y ( ) = + + Ekvationen y ( ) = f ( ) har oändligt många lösningar som vi får genom att integrera högerledet två gånger: Först bestämmer vi första derivatan genom att integrera andra derivatan y ( ) = f ( ) d + C Därefter integrerar vi en gång till och får y ( ) ( f ( ) d) d + C + C = Uppgift 5 Lös ekvationen y ( ) = sin + Lösning Från y ( ) = sin + y ( ) = (sin + ) d = cos + + C Integrera en gång till: 5 y ( ) = ( cos + + C) d = sin + + C + C 0 5 Svar y ( ) = sin + + C + C 0 Uppgift 6 a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y ( ) = 0sin + b) Bestäm den lösning som uppfyller begynnelsevillkoren y ( 0) = y ( 0) = Lösning a) Från y ( ) = 0sin + y ( ) = (0 sin + ) d = 0cos + + C av 5
Integrera en gång till: y ( ) = ( 0cos + + C) d = 0sin + + C + C Alltså är y ( ) = 0sin + + C + C den allmänna lösningen b) Från y ( 0) = och allmänna lösningen 0 = 0sin 0 + + C 0 + C C = Från y ( 0) = och y ( ) = 0cos + + C = 0cos 0 + 0 + C = 0 + C C = Därmed är y ( ) = 0sin + + + den sökta lösningen som uppfyller båda villkor Svar a) y ( ) = 0sin + + C + C b) y ( ) = 0sin + + + TILLÄMPNINGAR Hastighet och acceleration vid en rätlinjig rörelse Låt s ( beskriva position av en objekt som rör sig rätlinjig längs s-aeln (t e -aeln y-aeln eller z-aeln) Då följande formler för hastigheten v (, farten v ( och accelerationen : Positionen vid tiden t: s = s( Hastigheten : v ( = s ( Farten: v ( = s ( Accelerationen a ( = s ( den totala längden av vägen som objekt passerar under tidsintervall t t t är t L = v( dt t Härav kan vi beräkna positionen s( om hastigheten v( är känd: s ( = v( Om vi vet accelerationen a( då kan vi beräkna hastigheten v ( a( = och därefter integrera en gång till för att få positionen s ( v( = Uppgift 7 En partikel rör sig längs y-aeln med accelerationen a ( = ( i lämpliga enheter t e m/s ) Vid tidpunkten t betecknar vi partikelns position med y( och partikelns hastighet med v( Bestäm partikelns position y( och v( om y(0) =50 och y() = Tips: y ( = v(, y ( = v ( = a( Lösning: Från y ( = a( y ( = av 5
Därför ( efter en integration) y ( = ( ) dt = t + C Vi integrerar en gång till och får y ( = ( t + C) dt = t + Ct + D Alltså y ( = t + Ct + D Konstanterna C och D bestämmer vi med hjälp av givna villkor y(0) =50 och y() = Först, från y(0) =50 får vi 50 = D och därför y ( = t + Ct + 50 Nu substituerar vi y() = och får = + C + 50 C = 6 Alltså y ( = t 6t + 50 Nu v ( = y ( = t 6 Svar: y ( = t 6t + 50 och v ( = t 6 5 av 5