ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella tal Q, och alla tal som kan skrivas som en kontinuerlig följd av punkter på en linje, kallas reella tal, R. N och Q innefattas i R, liksom gör tal som varken är heltal eller kan skrivas som kvoter av andra tal, såsom, π etc. Alla ekvationer kan inte lösas av reella tal, t.ex. x = 1 har ingen reell lösning. För att lösa detta problem måste vi deniera en ny typ av tal som kan hantera problem som dessa. Dessa tal kallas komplexa tal och ingår i den komplexa talmängden C. 1. Definition och det komplexa talplanet Ett komplext tal z denieras: (1 z = a + bi där den reella delen av z ges av a = Re{z} och och den imaginära delen av z ges av b = Im{z}. Ett komplext tal består alltså av en reell del, en taltyp som vi känner igen och en sk. imaginär del. Det som karakteriserar den imaginära delen är den imaginära talenheten i, som denieras på följande vis ( i = 1. I det komplexa talplanet ges den imaginära talenheten på den vertikala axeln och Im{z} b z = a + bi a Re{z} Figure 1. Det komplexa talplanet med det komplexa talet z beskrivet som en vektor från origo till punkten (a, b. den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1. 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL. Räkneregler Vi kan addera två komplexa tal z = a + bi och w = c + di: (3 z + w = (a + bi + (c + di = (a + c + (b + d i. }{{}}{{} Re{z + w} Im{z + w} Vi adderar alltså de reella och imaginära delarna för sig. Multiplikation av z och w fungerar som vanligt: (4 zw = (a + bi(c + di = (ac + adi + bic + bdi = (ac bd + {ad + bc} i. }{{}}{{} Re{zw} Im{zw} Vi måste bara komma ihåg att i = 1. För att kunna dividera z och w måste vi införa komplexkonjugatet av ett komplext tal, z : (5 z = a bi. Vi ser alltså att komplexkonjugering av ett komplext tal resulterar i ombytt tecken för imaginärdelen. Vi kan räkna ut produkten av det komplexa talet med sitt konjugat: (6 zz = (a + bi(a bi = (a abi + abi b i = (a + b. Produkten zz blir ett reellt tal. Nu kan vi dividera två komplexa tal: (7 z (a + bi (a + bi(c di ac adi + bic bdi (ac + bd = = = = + w (c + di (c + di(c di c + d } c {{ + d } Re{ z w } (bc ad c + d } {{ } Im{ z w } Vi använder komplexkonjugatet för att få bort det komplexa talen i nämnaren. 3. Polär form Vi kan även uttrycka det komplexa talet i form av längden av vektorn, r och dess vinkel med den reella koordinataxeln, θ (se Figur (: (8 z = r(cos θ + i sin θ. I denna form ges den reella och imaginära delen av z med hjälp av sinus och cosinus på följande sätt: (9 a = r cos θ b = r sin θ Längden av vektorn ges enligt Pythagoras sats: (10 r = a + b Från denitionen av komplexkonjugatet ser vi dessutom att: (11 r = zz = z. i.
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL 3 Im{z} r sin θ r θ r cos θ Re{z} Figure. Ett komplext tal, z, på polär form i det komplexa talplanet. θ är vinkeln mellan den reella koordinataxeln och z- vektorn, och r är vektorns längd. Vinkeln θ kan vi bestämma på följande sätt: (1 tan θ = b a θ = tan 1 ( b a. 4. Euler's formel En annan mycket användbar formel är Euler's formel : (13 e iθ = (cos θ + i sin θ Det är inte nödvändigt att ni kan bevisa denna formel, men för er som är supernykna så har jag skrivit ner ett kort bevis att gå igenom på egen hand (det förutsätter dock att ni känner till Taylorutveckling. Kort bevis av Euler's formel med Taylor talserier (14 e x = 1 + x + x! + x3 3! +... cos x = 1 x! + x4 4! +... sin x = x x3 3! + x5 +...
4 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL (15 e iθ = 1 + iθ + (iθ! + (iθ3 3! + (iθ4 4! + (iθ5 = 1 + iθ θ! iθ3 + θ4 3! 4! + iθ5... = (1 θ! + θ4 4!... + i (θ θ3 3! + θ5 = cos θ + i sin θ +... Med Euler's formel kan vi uttrycka det komplexa talet z på ytterligare ett sätt: (16 z = re iθ Vi kan också deniera två användbara uttryck för cosinus och sinus. med att deniera komplexkonjugatet: (17 z = (e iθ = e iθ = cos θ i sin θ. Nu kan vi deniera de nya uttrycken på följande sätt (18 e iθ + e iθ (cos θ + i sin θ + (cos θ i sin = θ = cos θ = cos θ e iθ e iθ = ( cos θ + i sin θ ( cos θ i sin θ i sin θ = = sin θ. i i 5. Relaterade problem 1-P4. Omvandla de komplexa talen till polär form: d 5 + i Vi börjar Lösningsförslag. r = 5 + 1 = 6 θ = tan 1 ( 1 5 z = 6e i tan 1 ( 1 5 e + i Lösningsförslag. r = ( + 1 = 5 tan(π θ = 1 π θ = tan 1 ( 1 z = 5e i(π tan 1 ( 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL 5 1-P5. Omvandla talet till komplex representation (a + bi form: a 3e i π 3 Lösningsförslag. Vi använder Euler's formel ( z = 3e i π π ( π 3 = 3 (cos + i sin 3 3 ( π cos = 1 3 ( π 3 sin = 3 z = 3 + 3 3 i