KAPITEL 8. Absolutbelopp. 1. Absolutbelopp.

KAPITEL 8 Absolutbelopp. 1. Absolutbelopp. Vi har redan introducerat absolutbelopp av komplexa tal: Kom ihåg att z är avståndet från z till origo i det komplexa talplanet. Om nu z = a 2 R ligger på den reella talaxeln, d v s är ett reellt tal, så är a förstås avståndet till origo längs den reella talaxeln (vi kan knappast korta ner avståndet med en utflykt i det komplexa talplanet). Alltså är t ex 3 =3ochmergenerellt,oma 0såär a = a. För negativa tal som 3harvi 3 =3, eller 5 =5. Det är alltså lätt att beskriva vad det innebär att ta absolutbeloppet av ett reellt tal som vi möter ansikte mot ansikte: vi plockar bort ett eventuellt minustecken. Hur ska vi formulera detta? Vi tittar på fallet att a är negativt igen. Då är a = b, där b är positiv. Avståndet från a till origo är just b, såviharatt a = b. Itermerava är b = a, så uttryckt så här har vi har faktiskt klistrat på ett minustecken a = b = a. Alltså är t ex 3 = ( 3) = 3. Vi skulle alltså kunna definiera absolutbeloppet för reella tal direkt, utan att bekymra oss om avstånd mellan komplexa tal, på följande sätt. Definition 20. Om a är ett reellt tal, så är 8 >< a om a 0, a = 0 om a =0 >: a om a apple 0. Observera att fallet a =0täcks av alla tre rader i definitionen, men de ger allihop samma värde: 0 = 0 = 0. Vi ritar upp grafen y = x till absolutbeloppet, som funktion av x. Observera att funktionsvärdena ju är längder av sträckor, och därmed aldrig negativa. Därför ligger grafen i övre planhalvan. Observera vidare att x = x, och att detta svarar mot att grafen är symmetrisk kring y-axeln. Formen på absolutbeloppets definition, med olika fall kan verka främmande, om man vill att ens funktioner ska ha stadiga formler typ x 2 (e x +23)somdefinition,menär inte konstigare än att det kostar olika för icke-studenter och studenter att åka buss. Först avgör ju biljettförsäljaren om x är en student eller inte, sedan bestäms biljettpriset B(x) på basis av detta. Det är alltså även där en uppdelning i fall. Uppdelningen i fall är ofta väsentlig i lösningen av problem som innehåller absolutbelopp. 114

1. ABSOLUTBELOPP. 115 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5-3 -2-1 0 1 2 Figur 1. Grafen y = x Exempel 87. Lös ekvationen x 3 +2x =0. Lösning: För att kunna räkna på detta vill vi gärna bli av med absolutbeloppstecknen. Det kan vi göra om vi vet tecknet på x 2, eftersom det följer ur definitionen att ( x 3 om x 3 0 () x 3, x 3 = (x 3) om x 3 apple 0 () x apple 3. Den punkt x där vi växlar rad i denna definition av x 3 är x =3.Första raden i definitionen används när x 3, andra raden när x apple 3. För att göra sig av med absolutbelopp bör vi alltså dela upp lösningen i flera fall. Fall 1: Vi letar lösningar som uppfyller x 3. I detta intervall är x 3 +2x = x 3+2x =3x 3. Ska x 3 +2x vara 0 så är 3x 3=0 () x =1. Det är bara det att vi tittar just nu efter lösningar som är 3, och det är inte 1. Alltså är detta inte en giltig lösning! Vi drar slutsatsen att ekvationen inte har några lösningar x som är 3. Fall 2: Vi letar nu lösningar som uppfyller x apple 3. Då är x 3 +2x = (x 3) + 2x = x +3, och om detta ska vara 0 så är x +3=0 () x = 3. Denna lösning uppfyller verkligen villkoret x apple 3, och är därmed en lösning till den ursprungliga ekvationen. Vi kan se detta fenomen på grafen y = x 3 +2x. Vi letar nollställen till funktionen, d v s punkter där grafen skär x-axeln. Till vänster om x =3, sammanfaller grafen med linjen y = x +3 och de har det gemensamma nollstället x = 3. Till höger om x = 3, sammanfaller grafen y = x 3 + 2x istället med linjen y = 3x 3 (som syns streckad i bilden). Denna linje skär x-axeln i x =1, men denna punkt ligger inte på grafen y = x 3 +2x.

116 8. ABSOLUTBELOPP. 10 8 6 4 2-6 -4-2 2 4 Figur 2. Grafen y = x 3 +2x och linjen y =3x 3(streckad) -2 Nu ett lite mer involverat exempel: Exempel 88. Lös ekvationen x 1 + x +1 =3. Lösning: För att kunna tillämpa våra kunskaper om lineära ekvationer på detta vill vi, som i förra exemplet, gärna bli av med absolutbeloppstecknen. Det kan vi göra om vi vet tecknet på både x 1 och x +1. Brytpunkterna när vi växlar rad i definitionen av x 1 är x 1=0 () x =1, och för x +1 är den x +1=0 () x = 1. Vi kan alltså dela upp lösningen i tre fall, som svarar mot de tre intervall som dessa två punkter delar in reella talaxeln i. I vart och ett av intervallen kan vi ersätta absolutbeloppen med ett enda lineärt uttryck. Fall 1: Vi letar lösningar som uppfyller x 1. Dåär både x +1 och x 1 positiva, så att x +1 = x +1, och x 1 = x 1. Alltså reduceras vänstra ledet till x 1 + x +1 =(x 1) + (x +1)=2x och vi söker lösningen till ekvationen 2x =3. Svaret är x =3/2 och eftersom 3/2 1 så är detta alltså en giltig lösning. Fall 2: Vi letar lösningar som uppfyller 1 apple x apple 1. Då är x 1 negativ och x 1 = (x 1), medan x +1 fortfarande är positiv och alltså x +1 = x +1. Alltså reduceras vänstra ledet till x 1 + x +1 = (x 1) + (x +1)=2.

1. ABSOLUTBELOPP. 117 Likheten 2=3är förstås nonsens; hur vi än väljer x så kan vi aldrig få 2=3. Det blir inga lösningar i detta fall. Fall 3: Vi letar lösningar som uppfyller x apple 1. Dåär både x 1 och x +1 negativa och x 1 = (x 1), och x +1 = (x +1). Därmed reduceras vänstra ledet till x 1 + x +1 = (x 1) (x +1)= 2x och vi letar efter lösningar till 2x =3 () x = 1.5. Denna lösning är giltig eftersom den är mindre än 1. Ekvationen har alltså två lösningar: x = ±3/2. 6 4 2-4 -2 2 4-2 Figur 3. Grafen y = x 1 + x +1 och linjen y =3. Vi kan studera grafen y = x 1 + x+1 för att se hur detta syns på den. Denna gång är vi ute efter x-koordinater för skärningen med den horisontella linjen y =3, streckad i figuren. Vi fann de två värden x = ±3/2 som också är uppenbara i figuren Tänk nu att vi skjuter linjen y =3uppåt eller nedåt, d v s vi tittar på linjen y = b för varierande b. När b =3hade vi två skärningspunkter med grafen, d v s två lösningar till x 1 + x+1 = b. Om b sedan ökar från b =3har vi fortfarande två lösningar, liksom också i början när b minskar. Men när så b =2har vi plötsligt oändligt många lösningar, och sedan när b<2 så finns det inga lösningar alls. Detta illustrerar olika fall som kan förekomma. Ett ännu mer involverat exempel. Exempel 89. Lös ekvationen x 2 + x +1 =3. Lösning: Igen är idén att bestämma intervall där vi kan ersätta alla absolutbeloppen med bestämda lineära uttryck. Startande inifrån i uttrycket, ser vi först att x växlar lineärt uttryck i x =0, ty om x 0 så är ju x = x, medan om x apple 0 så är x = x. I det första fallet är alltså x 2 = x 2, som i sin tur växlar definitionsrad i x =2.

118 8. ABSOLUTBELOPP. När x apple 0 är x 2 = x 2 som växlar definitionsrad i x = 2. Det sista uttrycket i ekvationen x +1 växlar definitionsrad i x = 1. Vi har alltså identifierat punkter 2, 1, 0, 2, så att i intervallen mellan dem kan vi ersätta hela x 2 + x +1 med ett enda lineärt uttryck. Det ger oss 5 fall. Vi kan se detta i bilden nedan av grafen y = x 1 + x +1. Den består av 5 bitar av olika linjer, i dessa olika intervall. Fall 1: Vi letar lösningar som uppfyller x 2. Dåär x 2 + x + 1 = 2x 1, och enda lösningen till 2x 1=3är x =2. Denna lösning uppfyller x 2 och är alltså en giltig lösning. Fall 2: Vi letar lösningar som uppfyller 0 apple x apple 2. I detta intervall är x 2 + x+1 = x 2 + x +1 = (x 2) + (x +1)=3, d v s den är konstant. Alltså är alla punkter i intervallet lösningar. Fall 3: Vi letar lösningar som uppfyller 1 apple x apple 0. I intervallet är x 2 + x +1 = x 2 + x +1 =(x +2)+(x +1) = 3x +3, och enda lösningen till 3x +3 = 3 är x =0. Fall 4: Vi letar lösningar som uppfyller 2 apple x apple 1. Då är x 2 + x +1 = x 2 + x +1 =(x +2) (x +1)=1, och det finns inga lösningar till 1=3. Fall 5: Vi letar lösningar som uppfyller x apple 2. Då är x 2 + x +1 = x 2 + x +1 = (x +2) (x +1)= 2x 3, och lösningen x = 3 till 2x 3=3 ligger också i rätt intervall. Sammanfattningsvis har vi visat att den ursprungliga ekvationen löses av alla x, som antingen är 3 eller ligger i intervallet 0 apple x apple 2. 2. Räkneregler. Vi har tidigare visat vissa räkneregler för absolutbeloppet av komplexa tal. De är också lätta att visa direkt från definitionen som vi gav nyss. De två sista reglerna i satsen nedan dyker ofta upp i räkningar. Sats 48. Antag att x, y 2 R. Då är (1) x 0, med likhet bara om x=0, (2) xy = x y, (3) x/y = x / y, där y 6= 0 (4) x = x, (5) y x = x y. Exempel 90. Lite eftertanke ger att räknereglerna också kan användas när vi har fler tal. T ex så har vi ( 2.1) 2 ( 0.5) = 2.1 2 0.5 =2.1 2 0.5 =2.1.

2. RäKNEREGLER. 119 6 4 2-4 -2 2 4-2 Figur 4. Grafen y = x 2 + x +1 och linjen y =3. På liknande sätt generaliserar vi fräckt (2) ovan till p p ( 2) 20 = 2 20 =( p 2) 20 =2 10 =1024. 2.1. Att beskriva intervall med absolutbelopp. Om a, b 2 R så är a b avståndet mellan a och b på reella tallinjen. Detta är en viktig och användbar intuition och förklarar till en del varför absolutbelopp så ofta dyker upp. Avståndet mellan t ex 2och 3 är 3 ( 2) =5. Det kvittar i vilken ordningen vi skriver dem, så vi har a b = b a. Exempel 91. Bestäm alla x för vilka x 17 =3. Lösning: vi kan beskriva detta i ord som att vi söker punkter x vars avstånd till 17 på tallinjen är 3. Uppenbarligen är x =17+3=20en lösning, liksom 17 3=14. Mer generellt har vi i figuren nedan att x a = inträ ar precis när avståndet från x till a är, d v s precis för x = a +, respektive x = a. Då har vi förflyttat oss från a med avståndet antingen åt höger eller vänster. Intervallet mellan dessa två punkter består av de punkter vars avstånd till a är mindre än eller lika med, d v s de punkter som uppfyller x a apple, ochär ett behändigt sätt att beskriva intervall på. a - e a a + e Figur 5. Intervallet {x 2 R : x a apple }.

120 8. ABSOLUTBELOPP. Exempel 92. 3.14 är ett närmevärde med 3 signifikanta si ror på. Att säga att de tre si rorna är signifikanta innebär (åtminstone) att hävda att 3.14 apple 0.5 10 2 = 0.005, eller att 3.135 apple apple 3.145, d v s att ligger nånstans i ett visst intervall, symmetriskt kring 3.14. 3. Absolutbelopp och kvadratrötter. För att återgå till komplexa tal visade vi med Pythagoras formel att z = p zz. För reella tal a 2 R, som ju uppfyller ā = a säger detta a = p a 2 Vi kan förstås se detta direkt från Definition 20: Poängen är att kvadratroten ur ett positivt tal b alltid är den positiva lösningen till x 2 = b. Om nu b = a 2, så har ekvationen x 2 = a 2 de två rötterna ±a, och kvadratroten är alltså den av dessa som är positiv. Men detsamma är ju sant för a, och nyttigt att ha som reflex: a är det av de två talen a, a som är positivt Exempel 93. Förenkla p (x 1) 2. x 1 Lösning: Det är frestande att dra kvadratroten ur kvadraten: p (x 1) 2 = x 1 och få att kvoten är 1. Men detta är fel, ty p (x 1) 2 = x 1 är bara sant om x 1 0. Om istället x 1 < 0 så är p (x 1) 2 = (x 1), och kvoten blir 1. Ett bättre sätt att förenkla är alltså att skriva p (x 1) 2 x 1 = x 1 x 1 (Uttrycket är odefinierad om x = 1.) ( ( (x 1)/(x 1) om x>1 1 om x>1, (x 1)/(x 1) om x<1 1 om x<1. 4. Triangelolikheten. Ett resultat som var lätt att motivera geometriskt i det komplexa talplanet var triangelolikheten: z + u apple z + u, som ju egentligen bara sade att summan av längderna av två sidor i en triangel är större än längden av den tredje. Triangelolikheten är förstås sann för reella tal också, och vi kan bevisa den direkt, som en övning att hantera olikheter.

4. TRIANGELOLIKHETEN. 121 Sats 49. Om a, b 2 R, så a + b apple a + b. Bevis. Vi utnyttjar att x är det positiva av de två talen a, a, speciellt det största av dem. Vi har alltså att a apple a och b apple b, vilket ger att a + b apple a + b. Dessutom är a apple a, och tillsammans med att b apple b får vi att Men a + b är antingen a + b eller Alltså följer satsens olikhet. (a + b) apple a + b. (a + b) ochbägge har vi visat är mindre än a + b. En tillämpning av triangelolikheten på a b = a +( b) ger varianten att a b apple a + b = a + b. Idén med satsen och dess variant är att vi vill uppskatta storleken på a ± b, i termer av storleken av a och b och vi kan inte göra en bättre uppskattning om vi har att göra med skillnaden a b än om vi arbetar med a + b. Exempel 94.. Antag att vi i ett experiment mäter a respektive b och får närmevärdena ã =2.10 respektive b =3.20, med en skattad osäkerhet av högst 10 2. I själva verket är vi intresserade av c =17a + b. (Låter lite som en chick-lit roman, eller hur?) Vad är nu noggranheten i närmevärdet c =17ã + b =28.40? och Lösning: Vad vi vet, översatt i absolutbelopp är att och vi vill skatta c får vi a ã apple 10 2 b b apple 10 2, c. Tillämpar vi triangelolikheten och räkneregler för absolutbelopp, c c = 17(a ã)+(b b) apple 17(a ã) + (b b) apple apple 17 10 2 +10 2 =0.18. Eller annnorlunda uttryckt så ligger c i intervallet c 28.40 apple 0.18 () 28.22 apple c apple 28.58. Osäkerheten i mätningen har alltså fortplantat sig och vuxit rejält.

122 8. ABSOLUTBELOPP. 4.1. Omvända triangelolikheten. Ibland kan man vara intresserad av att uppskatta a + b med en undre gräns i termer av a och b istället för en övre gräns som triangelolikheten ger. Det bästa vi kan göra är den här lite sunkiga s k omvända triangelolikheten. Sats 50. Om a, b 2 R så Bevis. Skriv a =(a a b apple a + b. b)+b och tillämpa triangelolikheten a = (a b)+b apple a b + b. På samma sätt fås b = (b a)+a apple a b + a. (Kom ihåg att b a = a b.) Denförsta olikheten innebär (subtrahera b från båda leden) att a b apple a b, och ur den andra fås på samma sätt, genom subtraktion med a, att b a apple a b. Alltså är både a b och b a = ( a b ) mindreän a b. Men ett av dessa tal är lika med a b, så vi har visat att a b apple a b. Byter vi nu b mot b, såfår vi olikheten i satsen. 5. Fler exempel på livet med absolutbelopp. Nu i komplexa talplanet. Geometriskt är livet bara värt att leva i C. Exempel 95. Bestäm vilka z 2 C som uppfyller z +1+i =2. Lösning: Kom ihåg att avståndet mellan två komlexa tal i talplanet ges av absolutbeloppet av deras skillnad. Genom att skriva ekvationen som z +1+i = z ( 1 i) =2, ser vi att vi kan uttrycka villkoret som att avståndet från z till 1 i ska vara precis 2. Svaret är alltså en cirkel i komplexa talplanet med radie 2 och centrum 1 i. En variation: Exempel 96. Bestäm vilka z 2 C som uppfyller 13z +1+i =2. Lösning: Genom att skriva om: 13z +1+i = 13(z ( 1 i) =13 z 13 ( 1 i) =2 13

5. FLER EXEMPEL På LIVET MED ABSOLUTBELOPP. NU I KOMPLEXA TALPLANET. 123 och dela med 13 får vi det ekvivalenta villkoret ( 1 i) z = 2 13 13, som uttrycker villkoret att z ligger på en cirkel med radie 2/13 och centrum 1/13 i/13. Exempel 97. Bestäm vilka z 2 C som uppfyller Lösning: Genom att skriva om får vi ekvationen z +1 = p 2 z + i. z +1 z + i = p 2. Eftersom detta är positiva tal, är denna ekvation ekvivalent med Sätter vi z = x + yi så får vi ( z +1 ) 2 =2( z + i ) 2. (x +1) 2 + y 2 =2(x 2 +(y +1) 2 ) () x 2 2x + y 2 +4y +1=0. Kvadratkomplettera nu det sista uttrycket: (x 2 2x)+(y 2 +4y)+1 = (x 1) 2 1+(y +2) 2 4+1 = 0 () (x 1) 2 +(y +2) 2 =4. Men det sista uttrycket är precis z (1 2i) 2, så ekvationen svarar mot cirkeln med radie 2 och centrum 1 2i. z (1 2i) =2, Man tröttnar ibland på cirklar och vill ha linjer: Exempel 98. Bestäm vilka z 2 C som uppfyller z +1 = z + i. Eftersom detta är positiva tal, är denna ekvation ekvivalent med Sätter vi z = x + iy så får vi ( z +1 ) 2 =( z + i ) 2. (x +1) 2 + y 2 = x 2 +(y +1) 2 () 2x 2y =0. Svaret är alltså linjen Re z = x = y =Imz. Slutligen leker vi lite. Exempel 99. Titta på de två sista exemplen, som specialfall av en allmännare ekvation z u = R z w, där u och v är två fixa komplexa tal, och K är ett reellt tal. Gör tankeexperimentet att vi upprepar räkningarna ovan. Det som i det sista exemplet gjorde att x 2 och y 2 -termerna försvann var att K =1(kolla!). Detta gjorde att vi fick en linje. (Vi kunde förstås också ha fått en ekvation 0 = 0 men det låtsas vi inte om). Är det så

124 8. ABSOLUTBELOPP. att x 2 och y 2 -termerna inte försvinner så har de samma koe cient och vi får efter en tänkt kvadratkomplettering ekvationen för en cirkel (det skulle kunna gå fel och vara en radie som ska vara ett negativt tal och då finns det inga lösningar, men det fallet struntar vi i). Alltså har vi (någorlunda) utan att jobba analyserat vad som kan hända, och ser att vi (utom dom där degenerade fallen när vi inte har några lösningar alls eller allt är lösningar) får cirklar eller linjer som lösningar till ekvationen. 6. Övningar. (1) Bestäm (a ett reellt tal) f) p ( a) 2. a) 5, b) 5, c) p 5 2, d) p ( 5) 2, e) p a 2, (2) Lös ekvationerna (x antas vara ett reellt tal) a) x = 3, b) x = 0, c) x = 3, d) x 1 =3, e) 2x 1 =3, f) 1 x =3. (3) Rita mängden av de reella, respektive komplexa tal för vilka a) x apple 3, b) x 2, c) x 1 apple 5, d) x +2 < 3. (4) Rita graferna a) y = x, b) y = x 1, c) y = x +3. (5) Rita graferna a) y = x +2x, b) y = x 1 x, c) y = x +3 2x. (6) Lös ekvationerna a) x x =2, b) x 2 +2 x 3=0, c) x 2 +2 x+1 1=0. (7) Lös ekvationen x +1 + x 1 =4 (8) Rita i det komplexa talplanet de z som uppfyller z +2 =1. (9) Bestäm alla komplexa tal z för vilka z +2 = z 2. (10) Bestäm alla komplexa tal z för vilka z 1 =2 z +1. (11) Bestäm alla komplexa tal z för vilka 1/z 1/4 =1/4.

KAPITEL 9 Olikheter. 1. Olikheter med obekanta behandlas som ekvationer... nästan. En olikhet som x +2apple 5, där problemet är att bestämma de x 2 R för vilka olikheten är sann, kan vi förstås lösa genom att dra bort 2 från bägge sidor: x +2apple 5 () (x +2) 2 apple 5 2 () x apple 3. Principen, som vi använder, kan vi uttrycka mer abstrakt som att a apple b () a + c apple b + c, där a, b, c 2 R. Detta är samma teknik som för lineära ekvationer. På liknande vis kan vi lösa 2x 3, genom att multiplicera med 1/2 på bägge sidor: Mer generellt är principen att 2x 3 () 2x 3 () x 3 2. a apple b () ac apple bc, där a, b, c 2 R och, OBS! c>0. (c 6= 0för att vi ska få en ekvivalent olikhet.) Här kommer en skillnad gentemot ekvationslösning vi kan inte multiplicera med vad som helst och få en ekvivalent olikhet, utan endast med positiva tal. Titta på ett exempel: vi har att 2 0, men det är inte sant att 2 ( 1) = 2 0 ( 1) = 0. Men lugn, det är inte kaos. Mer abstrakt igen, det som händer när vi multiplicerar med ett negativt tal är att olikheten byter riktning: a apple b () ac bc, där a, b, c 2 R och, OBS! c<0. Exempel 100. Vi kan se varför i ett exempel. Antag att a apple b, och att vi vill multiplicera bägge sidor med med c = 2. Då har vi först 2a apple 2b. Genom att sedan dra bort först 2b och därefter 2a från bägge sidor får vi 2a apple 2b () 2a 2b apple 0 () ( 2)b apple ( 2)a () ( 2)a ( 2)b. 125

126 9. OLIKHETER. Alltså har vi visat a apple b () ( 2)a ( 2)b, där a, b 2 R. Kontentan är att om vi alltså bara håller reda på tecknet på allt vi multiplicerar (eller delar med) och byter riktning på våra olikheter, när det är minus, så kan vi lösa olikheter precis som ekvationer. Exempel 101. Bestäm för vilka x som 3e x xe x < 5e x. Lösning: 3e x xe x < 5e x () (3 x)e x < 5e x () 3 x<5, eftersom e x > 0 alltid är positivt och skilt från 0, så att vi kan dela med det. Vidare är 3 x<5 () x<2 () x> 2, (vi drog bort 3 från bägge sidor, och multiplicerade sedan med 1 och bytte riktning på olikheten.) Svaret är alltså att olikheten är sann för alla x> 2. 1.1. Tallinjen. För att få en intuitiv bild över tal och olikheter är tallinjen oslagbar. Olikheten a apple b tolkas som att punkten som svarar mot talet a ligger till vänster om punkten som svarar mot talet b på tallinjen. För att få a + c från a flyttar vi punkten a precis c steg från a, antingen åt höger, om c är positivt, eller åt vänster om c är negativt. Vi kan alltså tolka addition som förflyttning av punkter på tallinjen. Vi kan på den göra oss en bild av varför a apple b () a + c apple b + c, där a, b, c 2 R. Det säger ju bara följande: om a ligger till vänster om b, och vi samtidigt flyttar dessa punkter c steg, och får a + c respektive b + c, så liggger a + c till vänster om b + c. Vi kan också skapa konkreta bilder av abstrakt nonsens som a apple b och b apple c =) a apple c. Detta säger ju bildmässigt bara att om a ligger till vänster om b och b ligger till vänster om c, så ligger a till vänster om c. E ektiv problemlösning handlar mycket om att skapa sig enkla intuitiva bilder som dessa, ett slags principskisser över hur situationen ser ut. 2. Teckenstudium. Antag att vi vill veta när funktionen f(x) =(x 1)(x +2)är positiv, d v s vi vill ta reda på för vilka x som (x 1)(x +2) 0. Vi vet ju att produkten av två positiva liksom två negativa tal är positiv, och att produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ. Om vi alltså vet tecknet på respektive faktor i (x 1)(x +2) kan vi lösa problemet.

2. TECKENSTUDIUM. 127 Men det är lätt att se: faktorn x 1 är 0 när x =1,positivnär x>1, samt negativ när x<1. Den andra faktorn x +2är 0 när x = 2, positiv när x> 2, samt negativ när x< 2. Vi kan alltså dela upp tallinjen i tre intervall, med egenskapen att vi vet tecknet på faktorerna och därmed funktionen f(x) ivarjeintervall.inedanståendetabell är den översta linjen en tallinje, med x = 2ochx =1markerade.Varjeradunder tallinjen hör till en funktion, och på den raden under varje punkt på tallinjen (nåja, inte alla punkter...) står tecknet av radens funktion i den punkten. x -2 1 x+2: - - - 0 + + + + + + + + x-1: - - - - - - 0 + + + + + f(x)= (x-1)(x+2): + + + 0 - - 0 + + + + + Ur de två första radernas tecken vid ett visst x kan vi få produkten f(x):s tecken. Det ger tecknena i f(x):s rad. Från tabellen kan vi sedan avläsa att f(x) 0 () x apple 2ellerx 1. Vi ser samma resultat i grafen y = f(x), som ligger ovanför x-axeln precis när funktionen är positiv. 2 1-4 -2 2-1 -2-3 Figur 1. Grafen till y =(x +2)(x 1). Samma teknik fungerar när det är fråga om division eller flera faktorer. Det viktiga är då hur många negativa tal vi behöver multiplicera eller dela för att få vår funktion. Är det ett udda antal så är produkten negativ, medan om det är ett jämnt antal så är den positiv.

128 9. OLIKHETER. Exempel 102. När är funktionen f(x) = (x 1)(x +1)ex > 0? (x 3)(x +5) Lösning: Vi har fem faktorer. De fyra lineära x +5,x+1,x 1, x 3 växlar tecken när x = 5, x = 1, x =1, respektive x =3. Den femte e x är alltid positiv och spelar därför ingen roll för resultatet (Vi kan dela med den och få en ekvivalent olikhet.). Vi ritar upp en tabell över faktorernas tecken, och fyller sedan i deras tecken: x -5-1 1 3 x+5: - - 0 + + + + + + + + + + + x+1: - - - - - - 0 + + + + + + + x-1: - - - - - - - - 0 + + + + + x-3: - - - - - - - - - - 0 + + + f(x): + +? - - - 0 + 0 -? + + + Den sista raden får vi genom att på en viss plats står det + om det är ett jämnt antal minustecken i kolonnen ovanför, och - om det är ett udda antal. Vid x = 5 och x =3är funktionen inte definierad, något som vi markerat med?. Ur tabellen kan vi slutligen avläsa att f(x) > 0 precis när x< 5, eller 1 <x<1, eller x>3. 3. Fler exempel. Exempel 103. När är 1 (x 2)(x 4) 1 (x 1)(x 2)? Lösning: Vi kan lösa detta genom att skriva om olikheten så att det blir en fråga om teckenstudium: Olikheten är ekvivalent med att r(x) 0, där 1 r(x) = (x 2)(x 4) x 1 = (x 1)(x 2)(x 4) 3 = (x 1)(x 2)(x 4). 1 (x 1)(x 2) = x 4 (x 1)(x 2)(x 4) =

x 1 2 4 x-1: - - - - - 0 + + + + + + + + + x-2: - - - - - - - 0 + + + + + + + x-4: - - - - - - - - - - - 0 + + + r(x): - - - - -? +? - - -? + + + 3. FLER EXEMPEL. 129 Ur detta ser vi att svaret är 1 <x<2 eller x>4. (Observera att för x =1, 2, 4 är åtminstone en av kvoterna inte definierad, så dessa punkter ingår definitivt inte.) Vi ser samma resultat i grafen y = f(x), som ligger ovanför x-axeln precis när funktionen är positiv: 6 4 2-4 -2 2 4-2 -4 Figur 2. Grafen till y = 1 (x 2)(x 4) 1 (x 1)(x 2). Varning: Idettaexempel, skullemanocksålätt (men felaktigt) kunnat tänka så här: multiplicera bägge sidor med (x- 2)(x- 1)(x- 4) så att vi blir av med bråkskräpet. Det ger x 1 x 4 () 3 0, vilket alltid är sant, och därför är olikheten också sann. Problemet med detta resonemang är att tecknet på det som vi multiplicerar med, varierar med x, och är speciellt ibland negativ, och därför får vi inte en ekvivalent olikhet - kom ihåg diskussionen i första sektionen.

130 9. OLIKHETER. Ibland kan man förstås gå rakt på: Exempel 104. När är x 2 x 2 +4 0? Lösning: Eftersom x 2 0 för alla x, så är x 2 +4 4 > 0. Alltså kan vi multiplicera med x 2 +4, och får den ekvivalenta olikheten x 2 0 () x 2. 4. Olikheten mellan det aritmetiska och geometriska medelvärdet. Slutligen ska vi beskriva en användbar olikhet, en av många. Att summera ett antal tal och dela med antalet tal är ett sätt att få fram ett medelvärde. Men det finns andra. Texkanmanviktadeolikatalen: M(a 1,a 2 )=0.9a 1 +0.1a 2. Orsaken kan vara att man anser att mätvärdet a 1 från en viss källa är 9 gånger mer troligt att vara korrekt, än från den mer slarviga och kanske suspekta källan som ger a 2. Då skulle man kunna välja att bara ange a 1, men då slänger man bort information, en av kyrkans sju dödssynder (bland de övriga märks att dela med 0, och ha åtrå efter sin nästas datoralgebrassystem). Istället tilldelar man alltså den suspekta informationenen mindre vikt. En väsentlig egenskap som ett medelvärde ska uppfylla för att det ska kallas ett medelvärde är att, om alla talen är lika med ett tal a, ska medelvärdet ge detta tal. I exemplet ovan är t ex M(a, a) =0.9a +0.1a = a. Det mest använda medelvärdet, vårt vanliga, kallas ibland det aritmetiska och definieras som: A := a 1 + a 2 +... + a n. n Här har vi n tal a 1,a 2,...,a n, och tar summan och delar med antalet tal. Är alla n talen samma tal a så är medelvärdet na/n = a. Ett annat vanligt medelvärde är att ta produkten av n icke-negativa tal och sedan dra n:te roten ur dem: G := (a 1 a 2...a n ) 1 n = n p a 1 a 2...a n. Så t ex är det geometriska medelvärdet av 2 och 18: G = p 2 18 = 6, medan det vanliga medelvärdet är A = 10. Om alla a i är samma tal a så är G = a, så det är OK att se G som ett slags medelvärde. IexempletserviattA G, och detta är faktiskt alltid sant. Sats 51. Antag att a i 0,i=1, 2,...,n är icke-negativa reella tal. Då är A G.

5. ÖVNINGAR. 131 Bevis. Vi nöjer oss med att visa detta när endast två tal a, b är involverade. Eftersom a, b är icke-negativa, så är de kvadrater (av sina kvadratrötter). Alltså finns det ickenegativa x och y så att a = x 2,b= y 2. Då är och och det vi ska visa är att G = p ab = p x 2 y 2 = xy A = x2 + y 2, 2 x 2 + y 2 2 Vi formulerar om olikheten genom att multiplicera med 2 och flytta över: xy. x 2 + y 2 2xy () x 2 + y 2 2xy =(x y) 2 0 Men en kvadrat är alltid positiv, så den sista olikheten är alltid sann, och därmed också A G som vi startade med. Vi kan också lägga märke till att vi har likhet precis när x y =0 () x = y () a = b. 5. Övningar. (1) Använd huvudräkning för att ordna talen 3 0.03, 31 0.2, 0.00009 0.000006 i storleksordning. (2) Lös olikheterna a) 3x +1 < 2, b) 3x +2 apple 1, c) 3x +1 > 5x +2, d) (x 3)(x +3)apple x 2, e) (x +1)(x 2) apple x 2 +2x. (3) Lös olikheten 3x +1 x +2 < 2. (4) Lös olikheterna a) x 2 < 4, b) x 2 > 4, c) (x +1) 2 > (x +5) 2. (5) Lös olikheterna a) x2 +1 x (6) Lös olikheten <x, b) 2x2 x +2 <x 2, c) x2 +2 x 2 +1 > 1. x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)(x 6) > 0. (7) Lös olikheten 3x +1 x +2 < 2 x +3. (8) Lös olikheten ( 1) n 1, (n 2 Z) (9) Bevisa A G för fyra tal, genom att utgå ifrån att du känner till att den gäller för två tal.

Kapitel 8 (1) a) 5, b) 5, c) 5, d) 5, e) a, f) a. (2) a) x = ±3, b) x =0, c) saknar lösningar, d) x = 2ochx =4, e) x = 1ochx =2, f) x = 2ochx =4. (3) De reella talmängderna är alla intervall, utom b) som är två oändliga intervall. Ikomplexatalplanetär de alla cirkelskivor utom b) som är hela planet utom punkter inuti cirkeln med centrum i origo och radie 2. Observera vilka intervall (cirklar) som är slutna respektive öppna. (4) Se figur 1. 10-10 -5 5 8 6 4 2 Figur 1. Graferna y = x, y = x 1,y = x +3. Observera att de två sista graferna har samma form och bara är omflyttningar av varandra( translaterade parallellt med x-axeln). (5) Se figur 2. 30 20 10-10 -5 5 10-10 20 15 10 5-10 -5 5 10 25 20 15 10 5-10 -5-5 5 10 Figur 2. Graferna y = x +2x, y = x 1 x, y = x +3 2x.

(6) a) x = 1, b) x = 1ochx =1, c) x = 1. (7) x = ±2. (8) Cirkeln med centrum i punkten ( 2, 0) och radien 1. (9) Alla z på den imaginära axeln. (Ansätt z = x + yi.) (10) Cirkeln med radie 4/3 ochcentrumi( 5/3, 0). (11) Linjen Re z =2. Kapitel 9 (1) 0.00009 0.000006 < 3 0.03 < 31 0.2, (2) a) x<1/3, b) x 1/3, c) x< 1/2, d) alltid sann, e) x 2/3. (3) 2 <x<3 (4) a) 2 <x<2, b) x>2ellerx< 2, c) (x < 3. (5) a) x<0, b) x< 2, c) alla x. (6) 0 <x<1eller2<x<3eller4<x<5ellerx>6. (7) 3 <x< 2ellerx> 2. (8) ( 1) n =1omn är jämnt och 1annars,såsvaretblirallajämna n.