Kvantmekanik II - Föreläsning 7

Kvantmekanik II - Föreläsning 7 Identiska partiklar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 1/44

Innehåll 1 Generalisering av Schrödingerekvationen till fler partiklar 2 Två identiska partiklar 3 Permutationsoperatorn 4 Symmetrilagen och Paulis uteslutningsprincip 5 Utbytesväxelverkan Icke-identiska partiklar Identiska partiklar Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 2/44

Generalisering av SE till fler partiklar I Vi har tidigare använt Schrödingerekvationen (SE) i 3D. Låt oss nu generalisera den till flera partiklar. Bortse från spinn för ett ögonblick och låt oss använda vågfunktionen för att representera vårt tillstånd Vågfunktionen för N partiklar kan vi generalisera som Ψ(r, t) Ψ(r 1, r 2,..., r N, t) Rörelsemängdsoperatorn får vi generalisera som ˆp = i ˆp tot = i 1 + i 2 + + i N med ( ) i =,, x i y i z i dvs gradienten med avseende på koordinaterna för partikel i. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 4/44

Generalisering av SE till fler partiklar II Hamiltonoperatorn blir nu N ) Ĥ = ( 2 2 i + V (r 1, r 2,..., r N, t) 2m i i=1 Schrödingerekvationen (SE) för Ψ(r 1, r 2,..., r N, t) ser ut som tidigare i Ψ t = ĤΨ Låt oss nu titta närmare på detta system, och börja med det enklaste fallet, två-partikelsystemet Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 5/44

Tvåpartikelsystemet I Betrakta nu ett system med två partiklar med vågfunktionen Ψ(r 1, r 2, t) Sannolikheten att hitta partikel 1 i d 3 r 1 och partikel 2 i d 3 r 2 ges då av Ψ(r 1, r 2, t) 2 = sannolikhetstätheten i vårt 6D lägesrum Normeringen ges av Ψ(r 1, r 2, t) 2 d 3 r 1 d 3 r 2 = 1 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 6/44

Tvåpartikelsystemet II För tidsoberoende potentialer (dvs när Ĥ inte beror explicit av tiden) kan vi separera rums- och tidsdelen genom följande ansats Ψ(r 1, r 2, t) = ψ(r 1, r 2 )e iet/ ψ(r 1, r 2 ) uppfyller den tidsoberoende SE 2 2m 1 2 1ψ 2 2m 2 2 2ψ + V (r 1, r 2 )ψ = Eψ (TO SE) Om potentialen V (r 1, r 2 ) inte innehåller en växelverkansdel mellan partiklarna, dvs om V (r 1, r 2 ) = V 1 (r 1 ) + V 2 (r 2 ) så kan vi göra ytterligare en separationsansats ψ(r 1, r 2 ) = ψ 1 (r 1 )ψ 2 (r 2 ) Allra enklast blir det om partiklarna påverkas av samma potential, dvs om V 1 (r) = V 2 (r) = V (r), men det är inget krav för att separationsansatsen ska fungera Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 7/44

Tvåpartikelsystemet III Sätter vi in separationsansatsen i TO SE får vi ] [ 2 2 2m 1ψ 1 (r 1 ) + V 1 (r 1 )ψ 1 (r 1 ) ψ 2 (r 2 ) 1 ] + [ 2 2 2m 2ψ 2 (r 2 ) + V 2 (r 2 )ψ 2 (r 2 ) ψ 1 (r 1 ) 2 = Eψ 1 (r 1 )ψ 2 (r 2 ) = (E 1 + E 2 )ψ 1 (r 1 )ψ 2 (r 2 ) Dela med ψ 1 (r 1 )ψ 2 (r 2 ) så får vi 2 2m 1 2 1 ψ 1(r 1 ) + V 1 (r 1 )ψ 1 (r 1 ) + 2 2m 2 2 2 ψ 2(r 2 ) + V 2 (r 2 )ψ 2 (r 2 ) ψ 1 (r 1 ) ψ 2 (r 2 ) }{{}}{{} Endast funktion av r 1, = E 1 Endast funktion av r 2, = E 2 = E 1 + E 2 = E Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 8/44

Tvåpartikelsystemet IV Dvs vi får två enpartikel-schrödingerekvationer som vi kan lösa var för sig [ ] 2 2m 1 2 1 + V 1(r 1 ) ψ 1 (r 1 ) = E 1 ψ 1 (r 1 ) [ ] 2 2m 2 2 2 + V 2(r 2 ) ψ 2 (r 2 ) = E 2 ψ 2 (r 2 ) Antag att vi har lösningar ψ 1,i (r 1 ) respektive ψ 2,j (r 2 ) till dessa SE. Om vi nu har partikel 1 i ψ 1,a (r 1 ) och partikel 2 i ψ 2,b (r 2 ) kan vi skriva vågfunktionen som eller mer kortfattat ψ(r 1, r 2 ) = ψ 1,a (r 1 )ψ 2,b (r 2 ) ψ(r 1, r 2 ) = ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 9/44

Tvåpartikelsystemet V Låt oss generalisera detta och låta a 1 respektive b 2 beteckna våra tillstånd istället för ψ a (r 1 ) och ψ b (r 2 ) a och b kan då innehålla mer information om våra tillstånd, t.ex. spinn Vårt tillstånd ges nu av partikel α = a 1 b 2 tillstånd Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 10/44

Frågedags Fråga 1 Betrakta vågfunktionen för två partiklar ψ(r 1, r 2 ) Vad är sannolikheten att hitta partikel 1 i volymen d 3 r 1 vid r 1 oavsett var partikel 2 befinner sig? 1 ψ(r 1, r 2 ) 2 2 ψ(r 1, r 2 ) 2 d 3 r 1 d 3 r 2 3 4 5 ψ(r1, r 2 ) 2 d 3 r 1 d 3 r 2 ( ψ(r1, r 2 ) 2 d 3 r 1 ) d 3 r 2 ( ψ(r1, r 2 ) 2 d 3 r 2 ) d 3 r 1 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 11/44

Två identiska partiklar I Betrakta tvåpartikeltillståndet α = a 1 b 2 Men, om vi skriver så förutsätter det att vi kan skilja partiklarna åt, dvs att vi på något sätt kan veta vilken som är partikel 1 och vilken som är partikel 2. Om t.ex. partikel 1 är en elektron och partikel 2 är en myon, då kan vi skilja dem dem åt, men vad händer om båda är elektroner? Låt oss införa ett nytt begrepp, identiska partiklar: Identiska partiklar Om vi inte kan skilja partiklarna åt, dvs om de har samma inre egenskaper kallas partiklarna identiska partiklar. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 13/44

Två identiska partiklar II I kvantmekaniken är alla partiklar med samma inre egenskaper identiska. Två elektroner är t.ex. alltid identiska, det finns ingen inre egenskap som skiljer dem åt. Klassiskt existerar inte detta begrepp eftersom vi alltid i princip kan märka våra partiklar och hålla reda på vilken som är vilken Om partikel 1 och 2 är identiska måste ju a 1 b 2 och a 2 b 1 i någon mening vara samma tillstånd (eftersom vi inte kan veta vilken av partiklarna som är i a respektive i b ). En komplex fas kan dock skilja på tillstånden ovan eftersom den inte är observerbar. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 14/44

Frågedags Fråga 2 Vi säger att partiklar är identiska partiklar om alla inre egenskaper är lika. Betrakta nu två elektroner. Den ena är i tillståndet och den andra är i tillståndet. Är dessa identiska? 1 Ja, alla elektroner är identiska partiklar 2 Nej, de har olika z-komponenter av spinnet och är därför inte identiska 3 Nej, elektroner är aldrig identiska partiklar Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 15/44

Permutationsoperatorn I Vi kan nu införa permutationsoperatorn ˆP som byter partikel 1 2, ˆP a 1 b 2 = a 2 b 1 Låt ˆP verka en gång till, ˆP 2 a 1 b 2 = ˆP a 2 b 1 = a 1 b 2 α = a 1 b 2 är alltså egentillstånd till ˆP 2 med egenvärdet 1. Låt oss kalla egenvärdet p 2, vi har då ˆP 2 α = p 2 α ; p 2 = 1 p = ±1, dvs egenvärdena till ˆP måste vara ±1 Egentillståndet α är inte egentillstånd till ˆP, så hur ser egentillstånden ut? Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 17/44

Permutationsoperatorn II Låt oss anta att α 12 är egentillstånd till ˆP. Eftersom egenvärdena till ˆP är ±1 har vi två möjligheter ˆP α 12 = α 21 = + α 12 symmetrisk ˆP α 12 = α 21 = α 12 antisymmetrisk Eftersom Hamiltonoperatorn för identiska partiklar måste vara symmetrisk under utbyte 1 2 följer att [Ĥ, ˆP] = 0 och α 12 kan således vara egentillstånd till Ĥ och ˆP samtidigt. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 18/44

Frågedags Fråga 3 Betrakta tillståndet α 12 = a 1 b 2 b 1 a 2 Är detta tillstånd ett egentillstånd till permutationsoperatorn ˆP och i så fall med vilket egenvärde? 1 Nej, α 12 är inte egentillstånd till ˆP 2 Ja, α 12 är egentillstånd till ˆP med egenvärdet +1. 3 Ja, α 12 är egentillstånd till ˆP med egenvärdet 1. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 19/44

Symmetrilagen I Om vi har samtidiga egentillstånd till Ĥ och ˆP kan således våra lösningar till SE vara symmetriska eller antisymmetriska under utbyte av partikel 1 2. När gäller det ena eller andra? Jo, det visar sig bero på partiklarnas spinn! α 12 = + α 21 för bosoner (s = 0, 1, 2, 3,...) heltaligt spinn α 12 = α 21 för fermioner (s = 1 2, 3 2, 5 2,...) halvtaligt spinn Detta är en ny symmetrilag: Symmetrilagen Identiska fermioner beskrivs av ett antisymmetriskt tillstånd. Identiska bosoner beskrivs av ett symmetriskt tillstånd. Denna måste vara uppfylld för identiska partiklar. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 21/44

Symmetrilagen II Kort repetition: Identiska partiklar Vi kan inte skilja partiklarna åt Tillstånden kan vara egentillstånd till ˆP med egenvärden ±1 +1 gäller för bosoner, 1 för fermioner Symmetrilagen! Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 22/44

Symmetrilagen III Låt oss återgå till våra två partiklar i tillstånden a och b. För identiska fermioner måste tillståndet α 12 vara antisymmetriskt, dvs α f = A [ a 1 b 2 a 2 b 1 ] medan det för identiska bosoner måste vara symmetriskt, dvs α b = A [ a 1 b 2 + a 2 b 1 ] där A är en normeringskonstant. För icke-identiska partiklar behöver vi inte ställa dessa symmetrikrav Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 23/44

Symmetriserings- och antisymmetriseringsopertorer Ofta kan vi symmetrisera och antisymmetrisera vårt tillstånd för hand Om det är svårt, kan vi dock använda följande operatorer: Symmetriseringsoperatorn: S 12 = 1 2 (1 + ˆP) Antisymmetriseringsoperatorn: A 12 = 1 2 (1 ˆP) Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 24/44

Generalisering till fler identiska partiklar Betrakta ett system med N identiska fermioner (bosoner). Tillståndet måste vara antisymmetriskt (symmetriskt) med avseende på utbyte av alla möjliga par av partiklar: ˆP ij α = α i j; i, j = 1, 2,..., N fermioner ˆP ij α = + α i j; i, j = 1, 2,..., N bosoner Kom ihåg att vårt tillstånd α är vårt fullständiga tillstånd, dvs med både rums- och spinndel. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 25/44

Paulis uteslutningsprincip Vad händer om a = b för två identiska fermioner, dvs om de befinner sig i samma tillstånd? Om vi försöker antisymmetrisera detta tillstånd får vi α f = A [ a 1 a 2 a 2 a 1 ] = 0 De kan alltså inte vara i samma tillstånd! Vi får då Paulis uteslutningsprincip Två identiska fermioner kan inte uppta samma tillstånd. För bosoner finns inga motsvarande restriktioner. Vi kan i princip ha hur många bosoner som helst i samma tillstånd, så kallade Bose-Einstein-kondensat. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 26/44

Frågedags Fråga 4 Betrakta den harmoniska oscillatorn med lösningar V (x) = 1 2 kx 2 ; k = reell positiv konstant ψ n ; n = 0, 1, 2,... ; E n = ( n + 1 ) k 2 m Antag att tre elektroner befinner sig i denna potential. Hur många kan befinna sig i tillståndet ψ 0? a 1 1 2 2 3 3 4 Ingen a Växelverkan mellan elektronerna försummas. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 27/44

Utbytesväxelverkan I Betrakta två partiklar i en dimension. Låt ψ a och ψ b vara två ortogonala vågfunktioner (egentillstånd till Hamiltonoperatorn). Vårt totala egentillstånd kan vi skriva som en kombination av dessa rumsvågfunktioner och en spinndel, α = (rumsdel) (spinn-del) Inpirerade av Paulis uteslutningsprincip vill vi nu titta på hur nära två partiklar kan vara varandra om de är antingen icke-identiska eller identiska fermioner eller bosoner. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 29/44

Utbytesväxelverkan II För identiska partiklar är det ju totala tillståndet α som ska vara symmetriskt (bosoner) eller antisymmetriskt (fermioner): Om spinn-delen är symmetrisk måste rumsdelen vara symmetrisk (bosoner) eller antisymmetrisk (fermioner). Om spinn-delen är antisymmetrisk måste rumsdelen vara antisymmetrisk (bosoner) eller symmetrisk (fermioner) Ibland (för linjärkombinationer av egentillstånd) är det inte säkert att vi kan separera rums- och spinn-delen som ovan. Symmetrilagen gäller förstås ändå För stunden lägger vi spinndelen åt sidan och fokuserar på rumsvågfunktionen för två partiklar i tillstånden ψ a respektive ψ b. Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 30/44

Frågedags Fråga 5 Betrakta två elektroner som befinner sig i triplettillståndet s = 1, m = 0 = 1 2 [ + + + ] Vad kan vi säga om rumsvågfunktionen? 1 Inget 2 Den måste vara antisymmetrisk under utbyte av de två partiklarna 3 Den måste vara symmetrisk under utbyte av de två partiklarna Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 31/44

Frågedags Fråga 6 Betrakta en elektron och en myon (båda med spinn 1 2 ) som befinner sig i triplettillståndet s = 1, m = 0 = 1 2 [ + + + ] Vad kan vi säga om rumsvågfunktionen? 1 Inget 2 Den måste vara antisymmetrisk under utbyte av de två partiklarna 3 Den måste vara symmetrisk under utbyte av de två partiklarna Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 32/44

Utbytesväxelverkan icke-identiska partiklar I För icke identiska partiklar är vågfunktionen ψ(x 1, x 2 ) = ψ a (x 1 )ψ b (x 2 ) partikel 1 i ψ a och partikel 2 i ψ b Låt oss nu beräkna väntevärdet av kvadraten på avståndet mellan partiklarna Vi har nu x1 2 = (x 1 x 2 ) 2 = x 2 1 + x 2 2 2 x 1 x 2 x1 2 ψ a (x 1 ) 2 dx 1 } {{ } x 2 a Väntevärdet för x 2 m.a.p. ψ a ψ b (x 2 ) 2 dx 2 = x 2 a } {{ } 1 På samma sätt får vi x2 2 = ψ a (x 1 ) 2 dx 1 x2 2 ψ b (x 2 ) 2 dx 2 } {{ }} {{ } 1 x 2 b = x 2 b Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 34/44

Utbytesväxelverkan icke-identiska partiklar II För korstermen får vi x 1 x 2 = x 1 ψ a (x 1 ) 2 dx 1 x 2 ψ b (x 2 ) 2 dx 2 } {{ }} {{ } x a x b Vi får då att väntevärdet vi sökte blir = x a x b (x 1 x 2 ) 2 i.i. = x 2 a + x 2 b 2 x a x b icke-identiska Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 35/44

Frågedags Fråga 7 Är det någon skillnad på ψ a (x 1 )ψ b (x 2 ) och ψ b (x 1 )ψ a (x 2 )? 1 Det är ingen skillnad på dessa tillstånd 2 Skillnaden är vilken partikel som är i vilket tillstånd Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 36/44

Utbytesväxelverkan identiska partiklar I För identiska partiklar måste vi symmetrisera eller antisymmetrisera vågfunktionen, ψ ± (x 1, x 2 ) = 1 2 [ψ a (x 1 )ψ b (x 2 ) ± ψ b (x 1 )ψ a (x 2 )] där det övre tecknet är för symmetrisk rumsdel och det undre för antisymmetrisk rumsdel. Som tidigare vill vi beräkna väntevärdet av kvadraten på avståndet mellan partiklarna (x 1 x 2 ) 2 = x 2 1 + x 2 2 2 x 1 x 2 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 38/44

Utbytesväxelverkan identiska partiklar II Vi får då x1 2 = 1 [ x1 2 2 ψa(x 1) 2 dx 1 ψ b (x 2 ) 2 dx 2 }{{}}{{} x 2 a 1 + x1 2 ψ b(x 1 ) 2 dx 1 ψ a(x 2 ) 2 dx 2 }{{}}{{} x 2 b 1 ± x1 2 ψ a (x 1 )ψ b (x 1 )dx 1 ψb (x 2)ψ a(x 2 )dx 2 } {{ } 0 ] ± x1 2 ψ b (x 1)ψ a(x 1 )dx 1 ψa (x 2)ψ b (x 2 )dx 2 } {{ } 0 = 1 [ x 2 a + x 2 b ± 0 ± 0 ] = 1 [ x 2 a + x 2 ] b 2 2 På samma sätt får vi x 2 2 = 1 2 [ x 2 b + x 2 a ] Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 39/44

Utbytesväxelverkan identiska partiklar III För korstermen får vi x 1 x 2 = 1 [ x 1 ψ a(x 1 ) 2 dx 1 x 2 ψ b (x 2 ) 2 dx 2 2 }{{}}{{} x a x b + x 1 ψ b (x 1 ) 2 dx 1 x 2 ψ a(x 2 ) 2 dx 2 } {{ }} {{ } x b x a ± x 1 ψa (x 1)ψ b (x 1 )dx 1 x 2 ψb (x 2)ψ a(x 2 )dx 2 } {{ }} {{ } x ab x ba ] ± x 1 ψb (x 1)ψ a(x 1 )dx 1 x 2 ψa (x 2)ψ b (x 2 )dx 2 } {{ }} {{ } x ba x ab = 1 [ ] x a x b + x b x a ± x ab x ba ± x ba x ab 2 }{{}}{{} x ab x ab = x a x b ± x ab 2 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 40/44

Utbytesväxelverkan identiska partiklar IV Sätter vi in detta i uttrycket för vårt sökta väntevärde, (x 1 x 2 ) 2 = x1 2 + x2 2 2 x 1 x 2 får vi för symmetrisk/antisymmetrisk rumsdel (x 1 x 2 ) 2 ± = x 2 a + x 2 b 2 x a x b 2 x ab 2 Jämför vi med det icke-identiska fallet ser vi att (x 1 x 2 ) 2 ± = (x 1 x 2 ) 2 i.i. 2 x ab 2 övre tecknet symmetrisk rumsdel under tecknet antisymmetrisk rumsdel Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 41/44

Utbytesväxelverkan identiska partiklar V Utbytesväxelverkan Från uttrycket för väntevärdet av kvadraten på avståndet mellan partiklarna (x 1 x 2 ) 2 ± = (x 1 x 2 ) 2 i.i. 2 x ab 2 kan vi utläsa följande fall: a) Om spinn-delen är symmetrisk så är rumsdelen symmetrisk för bosoner och antisymmetrisk för fermioner { Bosoner är närmare varandra än icke-identiska partiklar Fermioner är längre ifrån varandra än icke-identiska partiklar b) Om spinn-delen är antisymmetrisk så är rumsdelen antisymmetrisk för bosoner och symmetrisk för fermioner { Bosoner är längre ifrån varandra än icke-identiska partiklar Fermioner är närmare varandra än icke-identiska partiklar Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 42/44

Utbytesväxelverkan identiska partiklar VI Notera att x ab = ψ a(x)xψ b (x)dx försvinner om ψ a och ψ b ej överlappar Väl separerade fermioner och bosoner beter sig som icke-identiska partiklar Ibland talar man om att dessa överlappande vågfunktioner ger upphov till en utbyteskraft, attraktiv för symmetrisk vågfunktion, och repulsiv för antisymmetrisk vågfunktion Det är ingen riktig kraft, men vi får effekter som liknar en utbyteskraft Vi kan generalisera detta till 3D med samma kvalitativa resultat Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 43/44

Frågedags Fråga 8 Betrakta två identiska spinn 1 2-partiklar (dvs fermioner). Antag att spinnet befinner sig i singlettillståndet s = 0, m = 0 = 00 = 1 2 [ + + ] Kommer dessa två identiska fermioner i genomsnitt att vara 1 närmare varandra än om de hade varit icke-identiska partiklar? 2 lika nära varandra som om de hade varit icke-identiska partiklar? 3 längre ifrån varandra än om de hade varit icke-identiska partiklar? Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 44/44