Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna forst vinklarna och sedan sidorna i triangeln ABD. I svaret far inga trigonometriska uttrck inga. (B1, 007{10{1, ). Vidstaende gur visar Teknologkarens vid Lunds Tekniska Hogskola emblem. Emblemet bestar av en cirkel, en liksidig triangel och en kvadrat. Berakna forhallandet mellan cirkelns radie och kvadratens sida. (B1, 008{01{1, ). EU har bestamt att alla emblem skall ha en cirkel innerst. Darfor har Teknologkaren anmodats att andra sitt emblem. Det kommer da att besta av en kvadrat, en triangel och en cirkel enligt guren. Bestam forhallandet mellan kvadratens sida och cirkelns diameter. (A1 och B1, 008{0{9, 6) 4. De vanliga rektangulara (ej kvadratiska) pappersformaten betecknas A1, A, A, A4, et c. och ar likformiga. (Denna uppgift nns pa ett A4-papper.) Alla har egenskapen att tva papper bredvid varandra tacker precis ett papper med lagre nummer, t. e tacker tva A4-papper precis ett A. (a) Vilken ar kvoten mellan sidolangderna av ett papper? (0.4) (b) Om ett papper viks sa att tva diagonala horn mots bildas tva kongruenta ratvinkliga trianglar, se guren. Berakna kvoten mellan hpotenusan och den mindre kateten i en sadan triangel. (0.6) A B C
. I en triangel ar en vinkel 60. Motstaende sida ar 7 cm och en av de andra sidorna ar 8 cm. Vilka mojligheter nns for langden av den aterstaende sidan och de aterstaende vinklarna? (Svaret far innehalla arcus-funktioner.) (A1, 007{10{1, ) 6. (a) Rita kurvan + + 4 + 4 10 = 0. (A1, 007{10{1, c) (b) Rita kurvan + 4 + + 1 = 0. (A1, 008{01{1, b) (c) Rita kurvan + 1 = 0. (A1, 008{0{9, 1b) (d) Rita kurvan 4 + 8 + 1 = 0. 7. (a) Berakna sin och cos for vinklarna 0, =6, =4, =, =. (b) Los ekvationen sin = p =. (c) Los ekvationen cos = p =. (d) Los ekvationen tan = 1.
Endimensionell anals, delkurs B1 Funktionsbegreppet och elementara funktioner 1. Bevisa, utgaende fran rakneregler for potenser, att ln ab = ln a + ln b. (B1, 007{10{1, a). Los ekvationen sin + cos =. Los ekvationerna (a) 1 + cos + cos = 0, q. (B1, 008{01-1, b) (b) 1 + ln + ln = 0. (B1, 008{0{9, ) 4. Ange alla ekvivalenser/implikationer mellan foljande fem utsagor: p + 1 A : = ln p p ; B : = ln( + 1); 1 C : = 4 ln( p + 1) ; D : = ln( + p ); E : = ln( p ):. Los ekvationen cos + cos = 0. 6. Los ekvationen e + e = e. 7. Ar foljande pastaende riktigt? (p; q betecknar polnom) p()q() = 8 + 1 =) Vid divisionen p() 1 ar resten = 0: 8. Los ekvationen sin = cos. 9. Los ekvationen (ln ) = ln( ) +. 10. Los ekvationen j + j + 1 = 0. 11. Los ekvationerna (a) 1 p + 1 = p 1; (b) 1 ln = ln ; (c) 1 sin = cos : (A1, 007{10{1, 1)
1. Los ekvationen cos + sin = 1. (a) Los ekvationen = p +. p 6. (A1, 007{10{1, b) (b) Rita kurvan = + 1 j 1j. 4 (c) Los olikheten > 1. (A1, 008{01{1, 1) + 4 + 4 14. Ange den storsta mojliga denitionsmangden for f() = e +1 1. Bestam inversen till f. Ange aven vardemangden for f. (A1, 008{01{1, 4) 1. Ar foljande implikationer sanna eller falska? Motivera! (a) > ) 1, (b) = 0 ) =, (c) = ) = 0, (d) sin = sin ) =, (e) = sin ) = arcsin. (A1, 008{0{9, ) 16. Berakna + + + + +. 0 1 4 (B1, 008{01{1, 1b) 17. Forenkla + 4 + 6 7 + 8 18. Till hoger visas grafen till funktionen f. Nedan visas graferna = f( + 1), = f( 1), = 1 f(), = f( ), = f() och = f( ). Avgor for var och en av bilderna vilken graf det ar. 9 : = f()
Endimensionell anals, delkurs B1 Gransvarden och kontinuitet 1. Berakna lim!1 ln(1 + 1 ) och lim ln(1 + 1 ).!0. Berakna foljande gransvarden: (a) lim!0 sin (e 1) (1 + ) 1 1 ; (b) lim :!0 (A, 008{0{10, 1). Berakna foljande gransvarden: (a) lim!1 e +1 + (arctan ; (b) lim e + e!0 + 1 )(sin ) : 4. Los ekvationen 1X k= (A, 008{0{, 1) k = 1. (B1, 011{10{1, b). Visa att om = f () har asmptoten = + da! 1, sa har = + f () asmptoten = 8 + 9 da! 1. 6. Satt f () = +1X n=0 (a) Visa att f () = sin (cos ) n och D f = f : = < < = g. sin 1 cos om D f ; 6= 0; 0 om = 0: (b) Ar f kontinuerlig? (c) Hur skall f (0) andras for att funktionen skall bli kontinuerlig? (A, 007{1{11, )
Endimensionell anals, Derivator delkurs B1 ln(1 + ) 1. (a) Utgaende fran gransvardet lim(1+) 1= = e harled lim.!0!0 (b) Harled derivatan av ln med hjalp av derivatans denition. (c) Bestam tangentens ekvation till kurvan = sin(arcsin( 4 )) i = 1. (A, 007{1{11, ). Satt f() = sin ( 1) + arctan. Lat t vara tangenten till kurvan = f() i den punkt pa kurvan, vars -koordinat ar 1. Bestam skarning mellan t och -aeln. (B1, 007{10{1, c). En partikel ror sig at hoger langs -aeln med den konstanta hastigheten v. Hur snabbt andras det vinkelrata avstandet A mellan partikeln och kurvan = p da partikeln benner sig i punkten? (Man far antaga att.) (A, 008{0{, 6) = p A 4. Visa att e > e. Tips: Visa att funktionen f som ges av f() = e, e ar strangt e vaande pa intervallet e. Vad ar f(e) och f()? (B1, 008{01{1, 6b). Lat f vara en deriverbar funktion. Ange all ekvivalenser/implikationer mellan foljande utsagor. A : f ar jamn. C : f 0 ar jamn. B : f ar udda. D : f 0 ar udda. E : f 0 (0) = 0 F : f 0 har ett lokalt maimum i 0. 6. Derivera foljande funktioner (a) f() = ln(1 + tan )e, (b) g() = e 1 + ln, (c) h() = sin( ) p 1 + e 1+.
Endimensionell anals, delkurs B1 Tillampningar av derivator: grafritning och optimering 1. Satt f() =. Rita grafen till f i stora drag. Ange alla lokala etrempunkter och sneda asmptoter. (B1, 007{10{1, 4). Satt f() = 1. Rita grafen till f i stora drag. Ange alla lokala etrempunkter och sneda asmptoter.. En kabel ska dras fran ett kraftverk till en (punktformig) o. On ligger km rakt ut fran en punkt P pa den fullstandigt raka stranden och kraftverket ligger pa stranden 10 km fran P. Det kostar 0 000 kronor per kilometer att lagga kabeln i vattnet och 0 000 kronor per kilometer att lagga kabeln langs med stranden. Hur ska kabeln dras for att bli sa billig som mojligt? (B1, 011{04{6, 6) P On Kraftverk 4. Ett ratblocks tre sidor benamns langd, bredd och hojd. Vilka varden kan volmen anta om hojden + bredden = dm och hojden + langden = 8 dm?. Mitt over ett runt bord med radien 1 meter hanger en lampa pa hojden h meter, se gur. Da h varieras ar ljusintensiteten vid bordets kant proportionell mot cos delat med kvadraten pa avstandet till lampan. (Vinkeln denieras av guren.) Hur ska hojden h valjas sa att intensiteten blir som storst? (Demidovich, uppgift 884) lampa α h bordsskiva 1 m 6. Lat P vara en punkt pa kurvan = ln. Genom punkten P drar man rata linjer parallellt med koordinatalarna. Dessa linjer avgransar tillsammans med koordinatalarna en rektangel. Vilka varden kan rektangelns area anta om (a) 1 (b) 0 < < 1.
7. Avstandet fran en punkt (a; b) pa halvcirkeln ( + 1) + = 8, 0 till linjen + = ges av f(a). Bestam funktionen f och rita dess graf.