HH/SET/BN FEM, Projekt 1 FEM M2 & Bio ht07 lp2 Projekt P Grupp D Allmänt Lös uppgifterna nedan med FEM. De är nivågrupperade efter önskat betyg på teoridelen. - Omarkerade uppgifter är obligatoriska och utgör underlag för betyg. Icke nöjaktiga redovisningar lämnas för komplettering. - Uppgifter för överbetyg är markerade med () respektive (5). Icke nöjaktiga redovisningar lämnas ej för komplettering, det vill säga de bedöms slutgiltigt vid första inlämningstillfället. Skriv klart och tydligt. Motivera väl! Tänk på att skriva så att fler än ni själva förstår vad ni menar. Rita alltid tydliga figurer där noder, element och deras numrering framgår! Detta är speciellt viktigt i de uppgifter där ni själva väljer numrering. Vi gissar aldrig utan låter er komplettera!! Förutsättningar Välskriven rapport i Mathematica inlämnas senast sista övningstillfället i vecka 50! Glöm inte namn och personnummer! Lycka till! Även i detta projekt ska ni använda er av er talföljd s 0,,s 10. Kom ihåg att krafter och förskjutningar är vektoriella storheter, det vill säga i förhållande till den definierade positiva riktningen ska de matas in med tecken och levereras sedan med tecken av det ekvationssystem ni löser. OBS! För hantering av randvillkor, både enkla och MPC, skall straffmetod tillämpas. Använd a =10 10 som penalty factor. Uppgifter 1a. Se fig! Ett skruvförband består av en skruv med mutter som precis passar i en hålcylinder. Denna har längden 60 + s 1 mm samt inner- och ytterradierna 10 + s 2 mm respektive 20 + s mm. Den mittersta tredjedelen har dock innerradien 15 + s mm. Låt slutligen gängan ha stigningen s 5 mm och skruva in ett varv på muttern. Bestäm sedan deformation, töjning och spänning både i skruven och hålcylinderns tre delar om elasticitetsmodulen i skruven är s 9 ÿ 10 5 N ê mm 2 och s 10 ÿ 10 5 N ê mm 2 i hålcylindern!
HH/SET/BN FEM, Projekt 2 1+s 2 2. Bestäm elementstyvhetsmatrisen e = N N Ÿ s1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ AHxL ÅÅÅÅÅÅÅÅ x för ett linjärt element där arean AHxL på tvärsnittet varierar x x isoparametriskt med ändvärdena = i j s y z. k s {. Bestäm elementlastvektorn e = Ÿ 0 s 1 N ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x H ÅÅÅÅÅÅÅÅ N x ÿ N L2 x för ett linjärt element. b. Två stänger sitter fast i en fritt ledad stel balk, se figur. Bestäm förlängning, töjning och spänning i stängerna. Låt elasticitetsmodulen vara s 9 ÿ 10 5 Nêmm 2 i stången närmast gångjärnet och s 10 ÿ 10 5 Nêmm 2 i den andra. Övriga mått i mm, mm 2 och N. Obs! flytta inte kraften, utan låt den angripa i en ensam "virtuell" nod som sedan kopplas med MPC. 5c. En balk med styckvis konstant tvärsnitt sitter inspänd i två väggar enligt figur. Låt material och yttröghetsmoment vara EI 1 = 10 + s 1, EI 2 = 7 - s 2 och EI = 5 + s samt längderna L i = 7 + s i+. Vid de två tvärsnittsändringarna angriper, med positiv riktning enligt figur, lasterna M = s 7-0. respektive F = 0.7 + s 8. Använd e som finns i kompendiet uppgift.5.12. Sök sedan förskjutning d och rotation j vid lasterna. 6 a. En konsolbalk med material och yttröghetsmoment EI = 5 har längden s 1 + s 2. På avståndet s 1 från väggen finns ett fjädrande stöd med fjäderkonstanten k = 10 s 0. Vid stödet angriper lasterna F 1 = 0. + s 1 och M 1 = s 1-0. och vid ytteränden lasterna F 2 = s 2 och M 2 = 0.5 + s 2. Använd e som finns i kompendiet uppgift.5.12. Sök sedan förskjutning d och rotation j vid såväl stöd som ytterände. Jämför med F = s 5 vid ytteränden som enda last de två extremfallen k = 0 och k Ø med vad elementarfall ger. Det räcker att jämföra d vid ytteränden.
HH/SET/BN FEM, Projekt 7. Låt m vara heltalsdelen av 1.5 + s och lös begynnelsevärdesproblemet lo v' HxL + s vhxl = s 5 x m + s 6, x œ @0, 1D mo n vh0l = s 7 HDEL HBVL med Galerkins metod och två lika långa linjära element. Jämför med exakt lösning. Denna hittas för hand (Analyskurs) eller med Mathematica. Plotta sedan båda lösningarna i samma diagram med Mathematica. 8 a.bestäm för det linjära elementet de konsistenta nodlasterna motsvarande den styckvis linjära utbredda lasten phxl. Kontrollera att summan av de konsistenta nodlasterna stämmer med den utbredda lasten. 9 HL. Gör om föregående uppgift för ett kvadratiskt element med mittnoden placerad under lastens brytpunkt. Vad kan det bero på att summan av de konsistenta nodlasterna inte stämmer med den utbredda lasten i detta fall? 10 HL.Bestäm för det linjära elementet de konsistenta nodlasterna motsvarande den styckvis linjära utbredda lasten phxl. Kontrollera att summan av de konsistenta nodlasterna stämmer med den utbredda lasten. 11 HL. Lös ekvationssystemet l o H2 + s 1 L x + s 2 y = s mn o med steepest descent. s x + H2 + s 5 L y = s 6 12 H5L. Använd Mathematica för att lösa uppgift 7 med ett "godtyckligt" antal linjära element. Plotta och jämför hur noggrannheten ökar med antal element. 1 H5L. Lös begynnelsevärdesproblemet lo v' HxL + s 1 vhxl = s 2 SinJ ÅÅÅÅÅ x m s N, x œ @0, 1D o n vh0l = s HDEL HBVL med Galerkins metod och 10 lika långa linjära element. Jämför med exakt lösning. Denna hittas för hand (Analyskurs) eller med Mathematica. Plotta sedan båda lösningarna i samma diagram med Mathematica. 1 H5L. Två motställda konsolbalkar nuddar varandra precis enligt figur. Med hjälp av en fritt pålagd mycket styv balkstump uppbär konsolbalkarna en given last F. Låt material och yttröghetsmoment för konsolbalkarna vara EI = 5. Gör en FE-modell med nod och elementnumrering enligt figur. Låt elementlängderna L i = 2 + s i med reservation för L 5 = L + L - L 2. Låt lasten F = s 7. Utnyttja e som finns i kompendiet uppgift.5.12. Sök sedan förskjutning d och rotation j för de båda fria balkändarna samt vid lasten och vid kontaktpunkterna mellan konsolbalkarna och balkstumpen.
HH/SET/BN FEM, Projekt F F 8 5 5 6 7 6 9 15 H***L. I väntan på våren åkallar vi bilden av en stare som drar upp en mask. Denna kan delas upp i tre delar, BC ovan jord som ligger lite pyrt till, CD som glider mot jord samt slutligen DE som håller sig fast. Vi söker läget av punkten D samt deformationen i masken. Detta är ett typiskt icke-linjärt problem som är lite klurigt och kräver programmering i Mathematica. Låt staren dra med kraften 1+s 0 i masken som har maskelementfjäderkonstanten s 1 I = ÅÅÅÅÅÅÅ EA L e M. Vid fullt utbildad friktion glider maskelementet och känner då av en bromsande friktionskraft s 2 mellan jord och element. Låt nu ett element vara ovan jord och resten under. Börja med ett maskelement under jord. Om erforderlig reaktionskraft för att hålla punkten D kvar är större än friktionskraften kommer den att glida. Gör då masken ett element längre! Fortsätt tills dess att det inte är fullt utbildad friktion i punkten D, då är modellen färdig! Hur många element lång blir din mask? Rita ut förskjutningsfältet i masken. Hur långt flyttas starens näbb under övningen? Tack ska ni ha! Nu är ni väl värda en riktigt...
HH/SET/BN FEM, Projekt 5 God Jul och Gott Nytt År ImHzL 16 1 Granen ur roten ImH "#### z L Roten ur granen 12 10 8 6 2 1 2 - -2 0 2 6 ReHzL ReH "#### z L