Signal- och Bildbehandling, TSBB14 Lektionsuppgifter

Signal- och Bildbehandling, TSBB4 Lektionsuppgifter

Innehåll Introduktion Tillkännagivande.................................. Lektionsplanering.................................. Signaler 3 Fourierserier. Filter. Faltning. 4 3 Fouriertransform 7 4 Sampling. DFT. 9 5 z-transformen 6 D signalbehandling. Diskret faltning. 4 7 Olika faltningkärnor. Omsampling. D Sampling. 7 8 Binär bildbehandling 4 9 D korrelation och autokorrelation. Linjära system. 9 Stabilitet. Linjära system. Digitala filter. 33 Svar och lösningsförslag 35

Introduktion Tillkännagivande Detta lektionshäfte har sammanställs och skrivits i L A TEX av Freddie Åström och Maria Magnusson år 3. Det uppdateras 6 av Mikael Persson och Maria Magnusson. Det baserar sig delvis på äldre lektionshäften i ämnet Bildbehandling av Per-Erik Danielsson, Stefan Gustavson, Olle Seger, Maria Magnusson, m.fl. Dessutom baserar det sig på uppgifter från boken Signaler och System av Anders Svärdström. Han har vänligen låtit oss använda uppgifterna här. Lektionsplanering Le Rekommenderat Extra Teori 5, 3,,, 4 förberedelsehäfte fö, förberedelsehäfte 5,, 4, 6, 8, 7, 3 fö 3 5ab,,, 3, 4 5c, 6 fö 3 4,, 4, 5 7, 3, 6 fö 4, 5 5,, 3, 4, 5 fö 6 6,, 4, 6, 8 5, 7, 9,, (3) fö 7 7,, 3, 4, 7ab, 5 8, 7cd, 6 fö 7, 8, 9 8, 4, 3, 6, 7, 5 fö 9,, 4, 5, 7, 8, 9 3, 6 fö b,, 4, 3, 5 ac fö 3

Signaler Aktuella ekvationer: Medelvärde v m och effektivvärde v rms för en periodisk signal v(t), v m = T/+a T/+a v(t)dt, v rms = v T T (t)dt. T/+a T/+a.. Se figur. Ge en formel för signalen v(t) i intervallet t. Beräkna sedan dess medelvärde v m och effektivvärde v rms. v(t) [volt].5.5.5 t [s].. I figuren nedan visas två periodiska spänningar. Bestäm signalernas effektivvärden. T/3 + 3 3 t t= T =.s (a) t t= T =.s (b).3. Bestäm medelvärde och effektivvärde för signalerna: a) x(t) = sin(πt) [volt], b) x(t) = sin(4πt) [volt], c) x(t) = sin(πt) [volt].4. Bestäm periodtiden T för signalerna: a) x(t) = 3 cos(38ω t) + cos(3ω t) b) x(t) = sin(πω t) + sin(ω t) c) x(t) = cos(98ω t) + cos(7ω t).5. Beräkna för de komplexa talen a = 3 + j4 och b = 5 j: a) a + b och a b b) absolutvärdena a och b c) kvoten a b d) a och b kan skrivas på polär form a = a e jϕ, b = b e jφ. Bestäm ϕ och φ. e) a b f) kvoten a b 3

Fourierserier. Filter. Faltning. Aktuella ekvationer: Se formelsamlingen och förberedelsehäftet. För effektivvärdet av en summa av N ortogonala signaler gäller: ν rms = ν rms + ν rms +... + ν rmsn... Se figuren nedan med signalen x(t). A x(t) A T T t a) Ge ett uttryck för x(t) i intervallet T / t T /. b) Bestäm fourierseriekoefficienterna A, A n, B n. c) Bestäm fourierserien för x(t)... Se figuren nedan med den helvågslikriktade cosinussignalen x(t). A x(t) T T T T t a) Ge ett uttryck för x(t) i intervallet T / t T /. b) Bestäm fourierseriekoefficienterna A, A n, B n. c) Bestäm fourierserien för x(t)..3. Se figuren nedan med den halvvågslikriktade cosinussignalen x(t). A x(t) T T t a) Ge ett uttryck för x(t) i intervallet T / t T /. b) Bestäm fourierseriekoefficienterna A, A n, B n. c) Bestäm fourierserien för x(t). 4

.4. Ett idealt lågpass-filter (LP-filter) nollställer alla frekvenser över gränsfrekvensen. Det kan också ge en förstärkning A, vilket innebär att signalen multipliceras med A. Se figur. Signalen x(t) får passera ett idealt lågpassfilter (LP) med gränsfrekvensen f g = khz och förstärkningen A = (= db). x(t) t[ms] x(t) LP y(t) a) Bestäm periodtiden T för x(t). b) Ge ett uttryck för x(t) i intervallet T / t T /. c) Bestäm x(t):s fourierserie. d) Bestäm grundvinkelfrekvensen ω och gränsvinkelfrekvensen ω g och jämför deras storlek. e) Bestäm utsignalen y(t). f) Bestäm utsignalens effektivvärde, y rms..5. a) Är 3 sin(πt) och 5 cos(πt) ortogonala? b) Är 3 sin(πt) och 3 ortogonala? c) Bestäm effektivvärdet för: x(t) = 4 cos(πt) 3 sin(πt) + cos(3πt) sin(3πt) (volt) d) Bestäm effektivvärdet för: x(t) = + sin(πt) +. sin(πt) (volt) Ledning: Effektivvärdet för A sin(kt) och även A cos(kt), där k är ett nollskillt heltal, är A/..6. Ett idealt högpass-filter (HP-filter) nollställer alla frekvenser under gränsfrekvensen. Se figur. Signalen x(t) kommer först till cirkeln med där den multipliceras med sig själv till x(t) x(t). Därefter passerar den det ideala högpassfiltret med gränsvinkelfrekvensen ω. Det gäller att:. x(t) = cos(ω t) + cos(ω t), ω < ω < ω x(t) Idealt HP-filter y(t) 5

a) Bestäm signalen x(t) x(t) och förenkla svaret så att det endast består av enkla cosinus-termer och en konstant. Använd en trigonometrisk formel, tex från förberedelsehäftet. b) Bestäm utsignalen y(t)..7. a) Beräkna faltningen (x h)(t) = där x(t) = e t u(t) och h(t) =. Π(t). b) Beräkna också faltningen (h x)(t) = x(t λ)h(λ) dλ, h(t λ)x(λ) dλ..8. Beräkna faltningen (x h)(t) = x(t λ)h(λ) dλ, x(t) = {, för t, för övrigt, h(t) = {, för t, för övrigt. 6

3 Fouriertransform Aktuella ekvationer: Se formelsamlingen och förberedelsehäftet. 3.. Se figuren nedan med signalen x(t). 3 a) Skriv x(t) som en summa av två förskjutna rektangelpulser. b) Bestäm fouriertransformen X(ω). Använd teorem för tidsskift och linjäritet. c) Bestäm amplitusspektrum X(ω). 3.. Signalen x(t) = e at sin(ω t)u(t) är given. a) Bestäm fouriertransformen X(ω). Använd formelsamlingen direkt. b) Bestäm fouriertransformen X(ω) genom att först bestämma fouriertransformen av e at u(t) och sin(ω t) och sedan använda multiplikationsteoremet. Ledning: δ(ω ω ) F (ω) = F (ω ω ). 3.3. Bestäm fouriertransformen och amplitudspektrum för signalen i figuren. Använd definitionen på fouriertransformen och integrera. 3 3.4. Fouriertransformen för en signal x(t) kan skrivas X(ω) = X(ω) e jφ(ω). Amplitudspektrum X(ω) och fasspektrum Φ(ω) framgår av figuren nedan. 7

a) Komplettera nedanstående uttryck för X(ω),, för ω a, a ω X(ω) = e jπ/ = j, för a ω..., för... b) Bestäm signalen x(t). Använd definitionen på invers fouriertransform och integrera. 3.5. Bestäm fouriertransformen för signalerna i figuren. a) Skriv först x(t) som en rektangel-puls. Använd sedan formelsamlingen direkt. b) Skriv först y(t) som en försjuten rektangel-puls. Använd sedan teorem. c) Skriv först z(t) som en förskjuten och skalad triangel-puls. Använd sedan teorem. 3 4 (a) (b) (c) 3.6. Pulsen x(t) = e t u(t) skall överföras via en ideal kanal (ett lågpassfilter). Ingen förstärkning sker i kanalen. Vilken bandbredd B måste denna kanal ha om minst 8% av pulsens energi skall överföras? Lös nedanstående uppgifter så besvaras frågan. a) Bestäm fouriertransformen X(ω). b) Bestäm energin upp till bandbredden B, dvs B B π X(ω) dω. c) Bestäm totala energin, dvs π X(ω) dω. d) Bestäm bandbredden B så att minst 8% av pulsens energi överförs. 8

4 Sampling. DFT. 4.. En funktion x(t) samplas med perioden T och man får sampelvärdena x(n) = [,,, 5, 9, 7, 6, 3]. Sök värdet på frekvenskomponenten X(k), där k motsvarar vinkelfrekvensen: a) ω = b) ω = π/t c) ω 3 = π/t Ledning : Använd DFT-formeln X(k) = N n= x(n)e jπnk/n. Ledning : Det gäller att f = k/(nt ) och ω = πf. 4.. En signal x(t) samplas i fyra punkter och man får sampelvärdena x(n) = [,,, ]. Bestäm signalens DFT, X(k) = N n= x(n)e jπnk/n. 4.3. Nedan visas fyra samplade signaler {x(n)} och åtta frekvensserier (DFT) {X(k)}. Para ihop de fyra signalerna med motsvarande DFT.. {,,,, }. {.5,.5,.5,.5,.5} 3. {,,,, } 4. {.8,.,,.,.8} a. {,,,, } b. {,.8 + j,. + j.4,. + j.4,.8 + j} c. {,.8 j.,. j.4,. + j.4,.8 + j., } d. {j,, j, } e. {, j,, j, } f. {.5,,,, } g. {, + j.45, + j6.5, j6.5, j.45} h. {,,,, } 4.4. Se nedanstående schema. x(t) sampling xs(t) rekon struktion y(t) Signalen x(t) = sinc (t/) samplas med impulståget k δ(t k/t ) (samplingsavstånd T ) till x s (t). Därefter sker rekonstruktion till utsignalen y(t) genom att x s (t) faltas med h(t) = sinc(t t), vilket är ekvivalent med att X s (f) multipliceras med H(f) = T Π (f/t )). a) Bestäm X(f) och skissa den. Ledning: F [ sinc (t) ] = Λ(f) = { f, f, f > 9

b) Antag att T =, så x s (t) = x(t) k δ(t k). Betäm X s(f) och skissa den. c) Skissa Y (f) = X s (f) H(f) = X s (f) Π (f). Bestäm y(t). d) Antag att T =, så x s (t) = x(t) k δ(t k/). Betäm X s(f) och skissa den. Observera att vi får vikningsdistorsion. e) Skissa Y (f) = X s (f) H(f) = X s (f) Π (f). Bestäm y(t). 4.5. Se nedanstående inspelningsutrustning. (Jämfört med en verklig är den förenklad eftersom ideala filter ingår.) x(t) mikrofon g(t) analogt LP filter sampling y(t) lagring y[n] y(t) h(t) rekonstruk tionsfilter z(t) hogtalare Insignalen x(t) har en fouriertransform X(f) = F[x(t)] enligt figuren nedan. Frekvensinnehållet i intervallet [-,] khz symboliserar önskvärt ljud. Diracpulserna orsakas av en störande signal s(t). X(f) A 3 f [khz] Det analoga lågpass-filtret g(t) har en fouriertransform G(f) = Π(f/4) khz, dvs ett idealt rektangelfilter med gränsfrekvensen khz. Den samplade signalen noteras y(t) och motsvarande diskreta sampel y[n] lagras i en dator. För att sedan kunna spela upp lagrat data används ett rekonstruktionsfilter h(t) = T g(t). a) Vilken är lägsta möjliga samplingsfrekvens f s = /T för att undvika vikningsdistorsion? b) Bestäm störsignalen s(t) vars fouriertransform är diracpulserna på 3 och -3 khz? c) Skissa X(f) G(f), Y (f) och Z(f) = Y (f) H(f). Antag att samplingsfrekvensen är fs = /T = 4 khz. d) Antag att ett sampel upptar utrymmet byte och att inspelningen varar en halvtimma. Hur många byte krävs då för att lagra hela inspelningen? (Vi har inte stereo och ingen kompression.) e) Antag att filtret g(t) kopplas bort. Detta ger en störsignal som adderas på z(t). Vilken? Motivera med resonemang i fourierdomänen!

4.6. Man skall utföra spektralanalys (analysera frekvensinnehållet) på en signal med frekvenser i området [ Hz - khz[. Man studerar förloppet ms och tar under denna tid så många sampel som krävs för att uppfylla förutsättningarna. a) Vilken samplingsfrekvens f s = /T erfordras? b) Hur många sampel samlar man in under tiden ms? Antag att det behövs N multiplikationer för en N-punkters DFT. Antag vidare att det behövs N log N multiplikationer för en N-punkters FFT. Låt N vara en -potens för maximal effektivitet. Hur många reella multiplikationer måste utföras om fouriertransformen bestäms med: c) DFT d) FFT 4.7. I figuren nedan visas en i 8 punkter samplad signal. Bestäm amplituden på frekvenskomponenten X(f) där k motsvarar frekvensen /(4T ) Hz och där T =samplingsavståndet. - - - Ledning : Använd DFT-formeln X(k) = N n= x(n)e jπnk/n. Ledning : Det gäller att f = k/(nt ).

5 z-transformen 5.. Bestäm z-transformen för följande sekvenser och ange konvergensområde. { (/) n för n a) x(n) = för n < { (/) n för n b) x(n) = för övrigt { för n = c) x(n) = för n { för n = d) x(n) = för n 5.. Bestäm z-transformen, X(z) för följande sekvenser: { a n+3 för n 3 a) x(n) = för n < 3 { a n sin(nω) för n b) x(n) = för n < { n e jnω för n c) x(n) = för n < 5.3. Bestäm z-transformen för de sekvenser som erhålls genom sampling med samplingsfrekvensen f s av följande tidskontinuerliga signaler. { för t a) x(t) = för t <, { f s = Hz 3 e t för t b) x(t) = för t <, { f s = Hz te at för t c) x(t) = för t <, { f s = Hz d) x(t) = t för t för t <, f s = 5Hz 5.4. Bestäm signalen x(n) som har följande z-transform. Använd partialbråksuppdelning. X(z) = z ( z)(z ), z >

5.5. Bestäm den inversa z-transformen för följande sekvenser: a) X(z) = +, z > z b) X(z) = z 4 z, z > 3

6 D signalbehandling. Diskret faltning. 6.. D Diskret faltning. Beräkna g(x) = (h f)(x) = λ= f(x) = - - - - och h(x) = -. h(x λ)f(λ), där Centrum (positionen för x = ) är markerad med fet stil. 6.. D Diskret faltning. Beräkna f(x, y) = 3 g(x, y) = (h f)(x, y) = α= β= och h(x, y) = 3. h(x α, y β)f(α, β), där Centrum (positionen för (x, y) = (, )) är markerad med fet stil. 6.3. SVÅR. ÖVERKURS: D fouriertransform av en icke-separabel funktion. Beräkna fouriertransformen av f(x, y) = e 3 x+y. Denna funktion är inte separabel, dvs f(x, y) g(x) h(y), så F (u, v) = G(u) H(v) kan inte användas. Använd istället tekniken F (u, v) = F [f(x, y)] = F y [F x [f(x, y)]], dvs tag först fouriertransformen i x-led (då y betraktas som en konstant) och därefter fouriertransformen i y-led (då u betraktas som en konstant). 6.4. D fouriertransform av en separabel funktion. Beräkna och skissa fouriertransformen av f(x, y) = sinc(x) cos(πy). Ledning: Funktionen 3δ(v ) kan skissas så som i figuren nedan, antingen som till till vänster eller som till höger. v 3δ (v ) u 3δ(v ) 3 u v 4

6.5. 3 st D fouriertransformer. Beräkna fouriertransformen av följande två-dimensionella funktioner, som också visas som approximativa bilder. Skissa även amplitudspektrum för wave och wave. a) spalt: f (x, y) = { b) wave: f (x, y) = 55 c) wave: f 3 (x, y) = 55 55, if x < 5, y < 4,, annars. ( ( )) π + sin 56 5x ( ( ) π + cos 56 x ( x ( y = 55 Π Π 3) 8) ( )) π cos 56 y spalt y wave y wave y Image: x x x Ledning för b): För att underlätta beräkning av wave, skriv om den enligt: wave: f (x, y) = 55 ( ( ) ) π (x) (y) + sin 56 5x (y) 6.6. D fouriertransform av faltningskärna. Nedanstående faltningskärna beräknar ett viktat medelvärde. Centrum är markerat med fet stil. Sätt dirac-pulser på faltningskärnas pixlar och kalla den f(x, y) = g(x, y) + h(x, y). Utnyttja separeringen för att få enklare beräkningar. Antag samplingsavstånd =. Beräkna fouriertransformen! /6 = /6 + /6 6.7. D fouriertransform av sobel-x. Nedanstående faltningskärna kallas sobel-x och beräknar derivatan i x-led. Centrum är markerat med fet stil. Sätt dirac-pulser på faltningskärnas pixlar och kalla den f(x, y) = g(x, y) h(x, y). Utnyttja separeringen för att få enklare beräkningar. Antag samplingsavstånd =. Beräkna fouriertransformen! - - - /8 = /4 - /. 5

6.8. D DFT av faltningskärna. Beräkna DFT:n av nedanstående faltningskärna f(n, m) = g(n, m) + h(n, m). Centrum är markerat med fet stil. Utnyttja separeringen för att få enklare beräkningar. /6 = /6 + /6 6.9. D DFT av sobel-x. Beräkna DFT:n av nedanstående faltningskärna sobel-x. Kalla den f(n, m) = g(n, m) h(n, m) och utnyttja separeringen för att få enklare beräkningar. Centrum är markerat med fet stil. - - - /8 = /4 - /. 6.. D fouriertransform och rotationsteoremet. Uttrycket g(x, y) = sin(πx) beskiver en D sinusvåg och f(x, y) = sin ( π [ x cos π 6 + y sin π ]) = R π/6 [sin(πx)] 6 beskriver en sinusvåg roterad π/6. Beräkna först G(u, v), fouriertransformen för den oroterade sinusvågen, och skissa Im[G(u, v)]. Utnyttja sedan rotationsteoremet och gör en grafisk lösning för att skissa imaginärdelen av fouriertransformen Im[F (u, v)]. Ge till sist en formel för fouriertransformen F (u, v). Ledning: Positiva dirac-pulser kan markeras med en liten punkt och negativa dirac-pulser med ett litet kryss i det imaginära planet. 6

7 Olika faltningkärnor. Omsampling. D Sampling. 7.. Faltningskärnors effekt på bilder. Bilden f(x, y) ska faltas med olika faltningskärnor, A H, se nedan. f(x,y).5 A = - /, B = /5, - C = /, D = /, E = /5, F = -4 /8, G = -, H = 4 /6 Resultatet blir 8 stycken olika bilder. Para ihop bild-bild8 nedan med korrekt faltningskärna A H! bild.5 bild.5.5.5 bild 3 bild 4.5.5 7

bild 5 bild 6.5.5.5 bild 7 bild 8.5.5 7.. D interpolation. Vid interpolationsuppgifterna nedan ska vi använda oss av fyra olika interpolationsfunktioner, närmsta granne interpolation n(x), linjär interpolation l(x), samt två olika cubic spline interpolationsfunktioner, c(x) och c(x), där {, för.5 x.5, n(x) =, för övrigt, { x, för x, l(x) =, för övrigt, { x 3 3 x +, för x, c(x) =, för övrigt,.5 x 3.5x +, för x, c(x) =.5 x 3 +.5x 4 x +, för x,, för övrigt. De olika funktionerna är också illustrerade nedan. närmsta granne interpolation, n(x) linjär interpolation, l(x) x x cubic spline, c(x) cubic spline, c(x) x x 8

Nedan syns en liten D figur med fyra kända sampelvärden och ett okänt, f(.75) =?, som ska interpoleras fram med de fyra olika interpolationsfunktionerna ovan..5 f(x)?.5.75 3 x 7.3. D och D interpolation. Vid interpolationsuppgifterna nedan ska vi använda oss av två olika interpolationsmetoder, närmsta granne och linjär interpolation. Vid närmsta granne interpolation kan rektangel-funktionen Π(x) användas, och vid linjär interpolation kan triangelfunktionen Λ(x) användas, {, för.5 x.5, Π(x) =, för övrigt, { x, för x, Λ(x) =, för övrigt. a) Nedan till vänster syns två kända sampelvärden och ett okänt märkt med?. Interpolera fram detta värde dels med närmsta granne interpolation och dels med linjär interpolation. b) Nedan till höger syns fyra kända sampelvärden och ett okänt märkt med? och beläget på (x, y) = (/3, /3). Interpolera fram detta värde dels med närmsta granne interpolation och dels med bilinjär interpolation. 3? 3 4/3 x 3.5?.7 y x (x,y)=(/3,/3) 9

7.4. Uppsampling en faktor. Omsampling till högre samplingstäthet mha interpolation är en viktig operation inom bildbehandling. För en bild samplad med samplingsavståndet = är sinc(x) den ideala interpolationsfunktionen, se figur nedan. Spatial rymd sinc(x) Fourier rymd Π(u) x u = /( )=/ a) Skissera den linjära interpolationsfunktionen { x, x Λ(x) =, x och dess fouriertransform ovanpå sinc(x) och Π(u) i figuren ovan. b) Vad gäller för funktionsvärdet i x = och x = ± för de båda funktionerna? c) På vilket sätt är fouriertransformen av Λ(x) sämre än Π(u)? d) Bilinjär interpolation är en D variant av linjär interpolation. Den bilinjära interpolationsfunktionen är Λ(x) Λ(y). Försök att skissa 3D-plottar av Dfunktionerna, Λ(x), Λ(y) och Λ(x) Λ(y). Vilken basyta har Λ(x) Λ(y)? e) Nedan till vänster visas en liten 3 3-bild. Interpolera upp den till dubbelt så hög samplingstäthet, dvs. till 5 5-bilden som visas till höger. Omsamplingen ska ske med bilinjär interpolation, Λ(x) Λ(y). Det enklaste är dock att utföra omsamplingen i två endimensionella steg, dvs först med linjär interpolation med Λ(x) i x-led följt av linjär interpolation med Λ(y) i y-led. y y y x 3 x 3 x 4 4 Originalbild Efter uppsampling

7.5. Nedsampling en faktor. Antag att sampelpunkterna i en bild har sampelavståndet och att bilden ska samplas ned så att sampelavståndet blir. Nedsamplingen kan göras en-dimensionellt, först i x-led, sedan i y-led, se figur nedan. ) falta horizontellt med h[n] ) falta vertikalt med h[n] 3) sampla ner, dvs kasta bort varannan Den ideala faltningskärnan för nedsampling är (/)sinc(x/( )). Nackdelen med den ideala faltningskärnan är att den är oändligt lång. Konstruera en approximativ faltningskärna enligt följande metod: Tag den ideala faltningskärnan. Sampla den med avkänning i punkterna k där k är ett heltal. Trunkera den vid x 3, dvs k = 3,,,,,, 3. Detta ger den diskreta faltningskärnan h[n] = [a,, b, c, b,, a]. a) Vad blir h[n]? Dvs ange värdena a, b, c. b) För lågpassfilter är det önskvärt att det lokala medelvärdet bevaras i bilden. h[n] bör därför divideras med ett värde. Vilket? c) En enklare faltningskärna för nedsampling en faktor är baserad på triangelfunktionen vars bredd överenstämmer med huvudloben på (/)sinc(x/( )). Liksom faltningskärnan i b) ska den bevara den lokala medelnivån i bilden. Bestäm denna faltningskärna.

7.6. Rotation och beräkningshastighet. Ett (grovt) mått på snabbheten hos en metod är att mäta vilket antal multiplikationer som krävs per pixel. Betrakta rotation med bakåtmappning (backward mapping). Antag att positionerna för alla pixlarna är förberäknade. Hur många multiplikationer per pixel åtgår vid följande operationer? a) Bilinjär interpolation (D variant av linjär interpolation). Ledning: Hur stor basyta har Λ(x) Λ(y) enligt uppgift 7.4d? b) Bicubic6 interpolation (D variant av 4-punkters cubic spline). c) D variant av 8-punkters trunkerad sinc ( super resolution ). d) Närmaste granne. 7.7. Rotation och interpolation. Bilden f(x, y ) ska roteras medurs. Uppgiften är att beräkna värdet på pixeln markerad med?-tecken i utbilden g(x, y). 3 4 5 6 3 4 5 6 3 8 3 4 9 9 6 Inbild f(x,y ) 3 4 5 6 Utbild g(x,y)? a) Pixeln markerad med?-tecken är belägen på (x, y) = (, ) i g(x, y). Vilken position motsvarar detta i inbilden f(x, y )? b) Beräkna värdet på pixeln markerad med?-tecken med hjälp av närmaste granne interpolation. c) Använd nu bilinjär interpolation istället. Då är interpolationsfunktionen Λ(x) Λ(y) där { x, for x, Λ(x) =, annars. d) Använd nu interpolation med en liten -punkters cubic spline-funktion istället. Då är interpolationsfunktionen h(x) h(y) där { x 3 3 x +, for x, h(x) =, annars.

7.8. D sampling med vikningsdistorsion, variant Funktionen f(x, y) har en D fourier transform F (u, v) som visas i figuren nedan till vänster. F (u, v) i den skuggade arean och F (u, v) = utanför den skuggade arean. F(u,v) v G(u,v)? v.5.5.5.5 u.5.5 u.3.5.5 Funktionen f(x, y) samplas med ett D impuls-tåg till g(x, y) = f(x, y) δ(x n) δ(y m), dvs samplingsavståndet är = i båda riktningarna. n a) Beräkna fouriertransformen av g(x, y). Låt svaret innehålla ett faltningstecken! b) Skissa G(u, v) i (u, v)-planet ovan till höger! Fick du någon vikningsdistorsion? Markera i så fall ett sådant ställe med en pil! c) Vid vilket samplingsavstånd undviks vikningsdistorsion? d) Förenkla uttrycket för G(u, v) i a) så att det inte innehåller faltningstecken och dirac-pulser, men däremot summatecken och F ( ). m 3

8 Binär bildbehandling 8.. Man kan visa att en kontinuerlig liksidig triangel har formfaktorn PA = P 4πA = 3 3.65, där P är omkretsen och A är arean. π Nedanstående diskreta triangel är en approximation av den kontinuerliga. Beräkna P A för den diskreta triangel och jämför med det kontinuerligt beräknade värdet. Vid beräkning av omkretsen P, använd varianten där sneda steg är tillåtna. 8.. Utför konnektivitetsbevarande krympning till skelett (tunning) på två olika sätt på nedanstående objekt. Det ena skelettet ska vara d (4) -konnektivt och det andra skelettet ska vara d (8) -konnektivt. Börja med att krympa från norr och fortsätt sedan med öster osv. Visa hur figuren tunnas genom att märka pixlarna med aktuell fas. a) Beräkna skelettet med d (4) -konnektivitet. Strukturelementen för d (4) -konnektivitet och krympning från norr ser ut så här: 4

b) Beräkna skelettet med d (8) -konnektivitet. Börja med att krympa från väster och fortsätt sedan med norr osv. Strukturelementen för d (8) -konnektivitet och krympning från norr ser ut så här: 8.3. Se nedanstående figur. a) Utför iteration krympning (erosion) på objektet. Använd strukturelementet d (8) : b) Utför iteration 8-konnektivitetsbevarande krympning av objektet. Visa hur figuren krymper genom att märka vilken fas,, 3, 4 som tar bort vilka pixlar. Detta är strukturelementen för fas, 8-konnektivitetsbevarande krympning: c) Betrakta resultat i uppgift a) och b). Vad är skillnaden mellan de två krympningsmetoderna? 5

8.4. Som ett led i en teckenigenkänningsprocedur behövs tunning (krympning till skelett) i d (4) -metrik. a) Utför tunning till skelett i d (4) -metrik på ovanstående figur. Här ska framgå vilka pixlar som försvinner under respektive fas. Strukturelementen för de olika faserna visas nedan. Fas : Fas : Rotera strukturelementen för fas medsols 9 Fas 3 : Rotera strukturelementen för fas medsols 8 Fas 4 : Rotera strukturelementen för fas medsols 7 b) Konnektivitetsbevarande krympning till punkt kan användas t ex då man vill räkna antalet objekt i en bild. Utför konnektivitetsbevarande krympning till punkt på ovanstående figur. Här ska framgå vilka pixlar som försvinner under respektive fas. Strukturelementen för de olika faserna visas nedan. Fas : Strukturelementen Fas : Rotera strukturelementen för fas medsols 9 Fas 3 : Rotera strukturelementen för fas medsols 8 Fas 4 : Rotera strukturelementen för fas medsols 7 6

8.5. Nedan visas en bild av ett frö och en annan bild av fröets skelett. s(x,y) = = a) Gör en avståndskarta av fröet i d (8) -metrik! b) Kalla skelett-bilden s(x, y) och kalla avståndskartan a(x, y). Beräkna medeltjockleken av fröet genom att använda ( ) x y s(x, y) a(x, y) t = y s(x, y).5. x c) Varför är det en subtraktion med.5 i ekvationen? d) Varför är det en multiplikation med i ekvationen? 8.6. Använd metoden med avståndskarta för att generera kortaste vägen mellan punkt A och B i figuren nedan. De svarta objekten är hinder som är förbundna med 4- konnektivitet. a) Avståndskartan ska genereras i d (8) -metrik och markeras i figuren. b) Beskriv därefter hur kortaste vägen genereras ur avståndskartan samt rita in den i figuren. 7

8.7. Figuren nedan visar ett 8-konnektivt y-format skelett med 8 matchningskärnor som kan hitta förgreningar (3-korsningar) i olika riktningar.,, don t care A) B) C) D) E) F) G) H) a) Vilken/vilka av matchningskärnorna A)-H) matchar på förgreningen vid pilen? b) Skissa ett liknande y-format skelett, fast 4-konnektivt! 8

9 D korrelation och autokorrelation. Linjära system. Viktiga formler för lektionen som inte står i formelsamlingen: Korskorrelation och autokorrelation för periodisk signal: (x y)(τ) = T (x x)(τ) = T T/+k T/+k T/+k T/+k x(t) y(t + τ) dt () x(t) x(t + τ) dt () En periodisk funktion utvecklad i fourierserie och dess autokorrelation: x(t) = A + (x x)(τ) = A + A n cos(nω t φ n ) (3) n= n= A n cos(nω τ) (4) Fouriertransformen av autokorrelationsfunktionen är effekt(täthets)spektrum: F[(x x)(τ)] = X (ω) X(ω) = X(ω) = P (ω) (5) F[(x x)(τ)] = X (f) X(f) = X(f) = P (f) (6) En signals effektivvärde v rms ges av autokorrelationsfunktionen: F[(x x)()] = v rms (7) 9.. Bestäm autokorrelationsfunktionen för signalen ( x(t) = A cos 3t + π ) + B sin (6t). Ledning: Använd formel (3)-(4). 9.. Autokorrelationsfunktionen x x(τ) för en periodisk signal i bandbegränsat vitt brus ges av x x(τ) = 5e τ + 4 cos(4πτ) + 4 cos(7πτ). a) Vilken del i x x(τ) kommer från den periodiska signalen och vilken kommer från bruset? b) Bestäm effektivvärdet v rms,per för den periodiska signalen och för bruset v rms,brus. Ledning: Använd formel (7). c) Ange signalens signal-till-brusförhållande (SNR) i db. Ledning: SNR = log ( S N ) där S = v rms för signalen och N = v rms för bruset. 9

9.3. Bestäm för signalen x(t) = cos(3ωt) + 5 sin(5ωt + π/6) + sin(7ωt), a) autokorrelationsfunktion x x(τ), b) effektivvärdet v rms. 9.4. Autokorrelationsfunktionen för utsignalen från en viss brusgenerator ges av n n(τ) = e τ volt. a) Bestäm brusets effektivvärde v rms. b) Bestäm brusets effekt(täthets)spektrum P (ω). Ledning: Använd formel (5). c) Bestäm den vinkelfrekvens ω då effekttätheten har sjunkit faktorn /4, dvs P (ω ) P () = 4. Bestäm också motsvarande frekvens f. ( ) t 3.5T 9.5. Signalen i figuren nedan kan skrivas x(t) = Π. T a) Bestäm fouriertransformen X(ω). T T 3T 4T 5T b) Bestäm autokorrelationsfunktionen x x(τ), genom att beräkna F [X (ω) X(ω)], dvs utnyttja formel (5). 9.6. Se funktionerna x(t) och y(t+τ) nedan. Den senare är en halvvågslikriktad sinusvåg. a) Ta fram ett uttryck för y(t + τ) i intervallet [, T ]. b) Beräkna korskorrelationsfunktionen x y(τ) genom att utnyttja formel (). 3

9.7. Papperstillverkning är en komplicerad mekanisk/kemisk process. I figuren nedan matas pappret framåt under processens gång. Man är intresserad av att mäta papprets hastighet v. För detta ändamål har man monterat två fotodetektorer med inbördes avstånd d. papper v A B d Antag att papprets ojämnhet, som fotodetektor A mäter, kan beskrivas med funktionen x A (t) = n(t), där n(t) är bandbegränsat vitt brus. Fotodetektor B mäter då funktionen Det gäller att x B (t) = n(t T ). N(f) = där N(f) är n(t):s effektspektrum. 4 4 + (πf), a) Bestäm korrelationen (x A x B )(t). Ledning: Gå över till fourierdomänen och utnyttja formel (6). b) Skissa (x A x B )(t) ungefärligt och förklara därefter hur man ur (x A x B )(t) och figuren ovan kan erhålla pappershastigheten v. c) Teorifråga: Varför anges N(f) och inte N(f) uppgiften? 9.8. Bestäm impulssvaret h[n] till det system vars överföringsfunktion ges av z H(z) = ( (z.9) z + z + ) = ( ) z. z.9 z +.9z. z + z +.5 Härled gärna även partialbråksuppdelningen som är gjord i formeln ovan. 3

9.9. Överföringsfunktionen för nedanstående pol-nollställediagram ges av H(z) = (z )(z j)(z + j) (z +.75)(z +.5 j.5)(z +.5 + j.5) = (z )(z + ) (z +.75)(z + z +.5) Im z Re z a) Bestäm differensekvationen (ett uttryck bestående av x[n?] och y[n?]). b) Utgående från differensekvationen, bestäm värdena på a, b, c, d, e, f, och g i kopplingsschemat nedan. x(n) D D D a b c d Σ y(n) D D D g f e 3

Stabilitet. Linjära system. Digitala filter. Teorin för denna lektion finns i föreläsning 3 och i slutet på föreläsning... Bestäm överföringsfunktionerna H(z) för systemen med nedanstående differensekvationer. För samtliga system gäller att h[n] = för n <, dvs systemen är kausala. Ange även konvergensområde och vilka som är stabila. a) y[n] = x[n] + 3y[n ] b) 3y[n] = x[n] x[n ] + y[n ] c) y[n] = x[n] x[n ] + x[n ] + y[n ] y[n ].. Se nedanstående differensekvation. y[n] = ay[n ] y[n ] + x[n], n. 4 a) Bestäm systemet H(z). b) Bestäm systemets två poler. c) Bestäm de värden på den reella konstanten a som gör systemet stabilt..3. En tidsdiskret krets är uppbyggd av två delkretsar A och B som sammankopplas enligt figuren nedan. x[n] Σ h A[n] y[n] y[n] h B[n] h B[n] Kretsarnas respektive impulssvar ges av h A [n] =.5 n u[n], h B [n] =.5.5 n u[n]. a) Bestäm överföringsfunktionerna H A (z) och H B (z)! b) Är de båda delkretsarna A och B stabila var för sig? c) Bestäm den sammansatta kretsens överföringsfunktion H(z) = Y (z)/x(z)! d) Är den sammansatta kretsen stabil?.4. Ett digitalt filter har överföringsfunktionen H(z) = z z.8z +.87. 33

a) Bestäm filtrets differensekvation och rita ett blockschema som visar hur denna kan realiseras. b) Bestäm systemets poler och nollställen och skissa pol- nollställediagrammet i z-planet. c) Bestäm frekvensgången genom att sätta H Ω (Ω) = H(e jω ) = H(z). Skissa H Ω (Ω). Vilken typ av filter är det, LP, HP, BP, eller BS?.5. Differensekvationen för ett kausalt linjärt tidsinvariant system ges av y[n] = y[n ] + y[n ] + x[n ]. a) Bestäm systemets överföringsfunktion H(z). Ange systemets poler och nollställen, överföringsfunktionens konvergensområde, samt om systemet är stabilt. b) Beräkna systemets impulssvar h[n]. Ledning: Börja med att partialbråksuppdela H(z). 34

Svar och lösningsförslag. v(t) = { t, t.5 t,.5 t, v m =.5 volt, v rms =.58 volt.. a).5 b).73.3 a) x m = volt, x rms = / volt b) x m = volt, x rms = / volt c) x m = volt, x rms = / = volt.4 a) T = π/(3ω ) b) Signalen är inte periodisk c) T = π/(34ω ).5 a) a + b = 8j och a b = 8 + j6 b) a = 3 + 4 = 5 och b = 3 c) a = a e jϕ b b e jφ = a e j(ϕ φ) 5 = b 3 = 5 3 ( ) 4 d) ϕ = atan =.973 rad = 53 och 3 ( ) φ = π + atan =.9656 rad = 3 5 e) a b = 3 ( 5) + 4 j3 j4 5 = 33 j56 f) a b = a b ej(ϕ φ) = 5 3 ej(.973 (.9656)) = 5 3 ej.899 = 5 (cos(.899) + j sin(.899)) =.378 + j.947 3 35

. a) x(t) = A t, T T t T b) A = och A n = ty signalen är udda. B n = A nπ cos(nπ). c) x(t) = A ( sin(ω t) π sin(ω t) + sin(3ω 3 t) +... ). a) x(t) = A cos(πt/t ), T t T b) B n = ty signalen är jämn. A = A π. A ( π ) A n = π( + n) sin ( + n) A ( π ) + π( n) sin ( n). c) x(t) = 4A ( π + 3 cos(ω t) ) 5 cos(ω t) +....3 a) x(t) = { A cos(πt/t ), t T /4, T /4 t T / b) B n = ty signalen är jämn. A = A π. A ( π ) A n = π( + n) sin ( + n) A ( π ) + π( n) sin ( n). c) x(t) = A π + A cos(ω t) + A 3π cos(ω ot) A 5π cos(4ω t) +....4 a) T = ms {, T / t b) x(t) =, t T / c) x(t) = 4 ( sin(ω t) + π 3 sin(3ω t) + ) 5 sin(5ω t) +... volt d) ω = π/t = π/. = π rad/s ω g = πf g = π = π rad/s ω g = ω vilket ger att vinkelfrekvenser större än ω kommer att nollställas av LP-filtret. d) y(t) = 4 ( sin(ω t) + π 3 sin(3ω t) +... + ) 9 sin(9ω t) volt e) yrms = ( ) 4 ( + 3 π + 5 + 7 + 9 ) y rms = 3. volt.5 a) Ja! Se t ex föreläsning. b) Ja! Se t ex föreläsning. Tänk att 3 = 3 sin(πt). c) x rms = (4 + 3 + + ) x rms = 3.87 volt 36

d) x rms = + +. x rms =.5 volt.6 a) x(t) x(t) = +.5 cos(ω t)+cos((ω ω )t)+cos((ω +ω )t)+.5 cos(ω t) b) y(t) =.5 cos(ω t) + cos((ω + ω )t) +.5 cos(ω t).7 a) Skisser av x och h. -/ / Fall : t /. -/ / Fall : / t / (x h)(t) =. -/ / (x h)(t) = t / e (t λ). dλ = [ e (t λ). ] t =.( / e (t+/) )..7e t Fall 3: / t <. -/ / 37

/ (x h)(t) = e (t λ). dλ / = [ e (t λ). ] / / =.(e (t /) e (t+/) ).9e t Resultatet av faltningen blir sammantaget.33 / / b) Resultatet blir det samma som i a) (testa!).8, för t (x h)(t) = t, för t, för t 38

3. a) x(t) = Π(t.5) + Π(t.5) ( ω ) (e b) X(ω) = sinc jω/ + e jω5/) ( ω ) = sinc e jω3/ cos(ω) π π ( ω ) c) X(ω) = sinc cos(ω) π ω 3. a) X(ω) = a + ω ω + jaω b) F[e at u(t)] = a + jω och F[sin(ω t)] = jπ(δ(ω + ω ) δ(ω ω )). X(ω) = ( ) π a + jω (jπ(δ(ω + ω ) δ(ω ω ))) X(ω) = j ( ) a + j(ω + ω ) ω = a + j(ω ω ) a + ω ω + jaω 3.3 Fouriertransformen ges av vilket ger amplitudspektrum X(ω) = e a (e a e jω e jω ) a + jω X(ω) = e a e a + e a cos(ω) a + ω, för ω a, a ω 3.4 a) X(ω) = j, för a ω j, för ω a b) x(t) = cos(at) πt 3.5 a) x(t) = Π(t), X(ω) = sin(ω/) ω/ ( ω ) = sinc π jω/ sin(ω/) b) y(t) = Π(t /), Y (ω) = e ω/ c) z(t) = Λ((t )/), Z(ω) = e jω sinc ( ω π 3.6 a) X(ω) = b) X(ω) = + jω. + ω, π ( ω ) = e jω/ sinc π ) B B X(ω) dω =... =. π ( ) B arctan. c) Sätt in B = i b) vilket ger totala energin =.5. d). ( ) B π arctan =.8.5 B = 37.77 rad/s = 49 Hz. 39

4. a) X(ω ) = b) X(ω ) = 3 c) X(ω 3 ) = j3 4. X(k) = [, + j,, j]. 4.3 h, f, 3 g, 4 b 4.4 a) X(f) = F [x(t)] = F [ sinc ( )] t = Λ(f). X(f) / f b) Det gäller att X s (f) = X(f) n δ (f n). Därmed kan X s (f) skissas enligt nedan. Xs(f) / f c) Grafisk lösning, där Y (f) = H(f) X s (f) ger att Y (f) = Λ(f) och kan skissas enligt nedan. Inverstransform ger att y(t) = sinc (t/). / H(f) Y(f) f d) Det gäller att X s (f) = X(f) Därmed kan X s (f) skissas enligt nedan. n δ (f ) n. Xs(f) / Summeras till Xs(f) / / f / f 4

e) Grafisk lösning, där Y (f) = H(f) X s (f) ger att Y (f) = Π(f) och kan skissas enligt nedan. Inverstransform ger att y(t) = sinc(t/). H(f) Y(f) / f 4.5 a) Samplingsteoremet ger: khz = 4 khz. b) Tabell ger: s(t) = A cos(π 3 3 t) [s]. c) Funktionerna X(f) G(f), Y (f) och Z(f) = Y (f) H(f) är skissade i figuren nedan. X(f)G(f) A Y(f) A/T f [khz] Z(f) 4 f [khz] A f [khz] d) T = /4 s 3 6/(/4) = 7 = 7 6 sampel 7 6 = 44 6 byte = Svar. e) Figuren nedan visar fouriertransformens utseende efter sampling. Man ser att man får diracpulser på ±khz. Dessa motsvarar signalen A cos(π 3 t) = Svar. 3 4 f [khz] 4

4.6 a) Samplingsteoremet ger att f s khz. Välj samplingsfrekvensen f s = 4 khz. b) T = /(4) s. Antal sampel =./T = 4. c) Välj N = 4. N = 3 6 multiplikationer. d) Välj N = 496. N log N = 496 = 9834 5 multiplikationer. 4.7 X ( ) N = + e jπ(n/4)(/n) + e jπ(n/4)(/n) + e jπ(n/4)(3/n) + 4 e jπ(n/4)(5/n) e jπ(n/4)(6/n) e jπ(n/4)(7/n) = + ( j) + ( ) + (j)+ ( j) ( ) ( j) = 4

5. Transformerna ges av a) X(z) = z z, z > b) X(z) = (z), z > (z) c) X(z) =, Hela z-planet d) X(z) = z, z > 5. Transformerna ges av a) X(z) = z4 z a, b) X(z) = z > a a z sin(ω),, z > a (a z) a z cos(ω) + c) X(z) = z e jω + ze jω (z e jω ) 3,, z > 5.3 Transformerna ges av a) X(z) = z z, z > b) X(z) = 3z z z, z > z e c) X(z) =.5ze.5a (z e.5a, z > e.5a ).4z(z + ) d) X(z) = (z ) 3, z > ( ) n ( ) n + för n + för n 5.4 x(n) =, eller x(n) = för n < för n < ( n för n 5.5 a) x(n) = ) för n < b) se a) 43

6. Faltningen erhålls som f(λ): - - - - h(x λ): - g(x): -6-3 - 6-6 6. g(x, y) = 5 9 9 3 8 3 6.3 F u (u, y) = F x [f(x, y)] = F x [e 3 x+y 3 ] = 3 + (πu) ejπyu = [ ] 6 F (u, v) = F y [F u (u, y)] = F y 9 + (πu) ejπyu = 6 9 + (πu) ejπyu 6 δ(v u) 9 + (πu) 6.4 Separera f(x, y) i två envariabelfunktioner, t ex f(x, y) = sinc(x) cos(πy). }{{}}{{} g(x) h(y) Det gäller för en separabel funktion f(x, y) = g(x) h(y) att dess fouriertransform är F (u, v) = G(u) H(v), där G(u) är den en-dimensionella fouriertransformen av g(x) och H(v) är den en-dimensionella fouriertransformen av h(y). Tabell ger då att F (u, v) =.5 Π(.5u) (δ(v ) + δ(v + )), vilken kan skissas enligt figuren nedan, antingen så som till vänster eller som till höger. v.5.5 u.5 v u 44

6.5 Notera nedan att δ(u, v) = δ(u) δ(v) och δ(u a, v b) = δ(u a) δ(v b). F (u, v) = 55 3 8 sinc(3u) sinc(8v) F (u, v) = 55 [ δ(u, v) + j ( δ(u + 5 )] 5, v) δ(u 56 56, v) [ F 3 (u, v) = 55 δ(u, v) + + ( 4 δ u 56, v ) + 4 ( 56 δ u 56, v + 56 + 4 δ ( u + 56, v 56 ) + 4 δ ( u + 56, v + 56 Nedan visas två olika varianter på skisser för vardera F (u, v) och F 3 (u, v). ) )] F(u,v) v a F(u,v) F3(u,v) v 55/ v a u u a a a a u F3(u,v) 55/ a a v u a=5/56 6.6 Ansätt /6 /6 /3 /6 /6 } {{ } =f(x,y) = /6 /6 /6 } {{ } =g(x,y) + /6 /6 /6 } {{ } =h(x,y) då är ( g(x, y) = 6 δ(y + ) + 6 δ(y) + 6 G(u, v) = ) δ(y ) ( 6 e+jπ v + 6 + 6 e jπ v δ(x) ) På samma sätt erhålls = 3 cos(π v) + 6. H(u, v) = 3 cos(π u) + 6 vilket ger F (u, v) = 3 cos(π u) + 3 + 3 cos(π v) 45

6.7 F (u, v) = G(u, v) H(u, v) = ( + cos (π v)) / j sin (π u) 6.8 Sätt M = N och använd F (k, l) = N N f(n, m)e j π N (nk+ml) n= N m= N = N N g(n, m)e j π N (nk+ml) + N N h(n, m)e j π N (nk+ml) 6.9 n= N ( = + vilket resulterar i 6. Tabell ger att G(u, v) = 6 e j m= N n= N m= N π N ( k+l) + π 6 e j N (k+l) + ) π 6 e j N (k+l) ( π 6 e j N (k l) + π 6 e j N (k+l) + ) π 6 e j N (k+l) = 6 ej π N k + 6 e j π N k + 3 + 6 ej π N l + 6 e j π N l F (k, l) = ( ) π 3 cos N k + 3 + ( ) π 3 cos N l F (k, l) = G(k, l) H(k, l) = ( ( )) ( ) π π + cos N l / j sin N k ( j δ(u + ) j ) δ(u ) δ(v) = j δ(u +, v) j δ(u, v), se skiss nedan. Vi vet att om en D-funktion roteras en vinkel φ = π/6 så roteras också fouriertransformen med φ = π/6. Därför kan Im[F (u, v)] skissas enligt nedan. Motsvarande formel är F (u, v) = j ( π ) (u δ + cos 6 = j δ (u + 3, v + ( π )), v + sin j ( 6 δ ) ( j δ u u cos ) 3, v. ( π ) ( π )), v sin 6 6 Im G(u,v) v Im F(u,v) v u u 46

7. A: bild, B: bild3, C: bild7, D: bild, E: bild4, F: bild6, G: bild8, H: bild5 7. Se figur nedan. Den aktuella interpolationsfunktionen är c(x) i figuren, men principen är densamma för de andra tre interpolationsfunktionerna. Interpolationsfunktionen förflyttas till det okända värdets position, x =.75. Där multipliceras samplen med interpolationsfunktionens höjd. Nedan är a) närmsta granne, b) linjär, c) cubic spline variant, och d) cubic spline variant. Närmsta granne interpolation kan också erhållas genom att notera att f() =.5 är den närmaste grannen och därefter bara ta dess värde.5. Linjär interpolation också erhållas grafiskt genom att dra en rät linje mellan f() =.5 och f() =.5. Då ser man att f(.75) =.5..5 f(x).5.75 3 x a)? =.5 n(.75) +.5 n(.5) =.5 +.5 =.5 b)? =.5 l(.75) +.5 l(.5) =.5.5 +.5.75 =.5 c)? =.5 c(.75) +.5 c(.5) =.5.565 +.5.84375 =.34375 d)? = c(.75) +.5 c(.75) +.5 c(.5) +.5 c(.5) = +.5.656 +.5.8679 +.5 (.73) =.386 7.3 a) Se figuren nedan. De aktuella interpolationsfunktionerna är inritade i rött och blått i figuren och har förflyttats till det okända värdets position, x = 4/3. Sedan multipliceras samplen med interpolationsfunktionens höjd. 3? 4/3 3 /3 /3 x 47

nearest neighbor :? = Π(/3) + 3 Π(/3) = + 3 = linear interpolation :? = Λ(/3) + 3 Λ(/3) = /3 + 3 /3 = 5/3 Närmsta granne interpolation kan också erhållas genom att notera att f() = är den närmsta grannen. Linjär interpolation också erhållas grafiskt genom att dra en rät linje mellan f() = och f() = 3. Då ser man att f(4/3) = 5/3. Svar: För närmsta granne interpolation blir värdet och för linjär interpolation blir värdet 5/3.67. b) Se figur nedan. Den närmsta grannen till (/3, /3) är (, ), där värdet är.7. (,) (,).5 3.7 (,) (x,y )=(/3,/3) (,) Den tvådimensionella interpolationskärnan Λ(x) Λ(y) sträcker sig ut till den streckade kvadraten. Här väljer vi dock att utföra den bilinjära interpolationen först D i x-led och sedan D i y-led. Interpolationsfunktionen placeras först horizontellt i punkten (/3, ). Interpolationsresultatet blir 3 Λ(/3) +.7 Λ(/3) = 3 (/3) +.7 (/3) =.3. Interpolationsfunktionen placeras sen horizontellt i punkten (/3, ). Interpolationsresultatet blir.5 Λ(/3) + Λ(/3) =.5 (/3) + (/3) =.7. Interpolationsfunktionen placeras sen vertikalt i punkten (/3, /3). Interpolationsresultatet blir.3 Λ(/3) +.7 Λ(/3) =.3 (/3) +.7 (/3) =.4. Svar: För närmsta granne interpolation blir värdet.7 och för linjär interpolation blir värdet.4. 7.4 a) Skissen blir Spatial rymd Fourier rymd sinc(x) Λ(x) Π (u) sinc (u) x u = /( )=/ 48

b) Funktionsvärdet i x = är och funktionsvärdet i x = ± är, precis som det ska vara för en interpolationsfunktion. c) Fouriertransformen av Λ(x), sinc (u), ger som synes lågpassfiltrering, vilket kan göra den omsamplade bilden suddigare än originalet. Dessutom sträcker sig sinc (u) utanför bandgränsen, vilket kan ge distorsion. d) Se plottarna nedan. e) Basytan för Λ(x) Λ(y) är. y.5.5.5.5.5 3.5.5.75 3.5.5 3 4 x Efter uppsampling 7.5 a) ( x ) sinc samplas i x = [ 3,,,,,, 3 ] h[n] = [ /(3π),, /π, /, /π,, /(3π)]. b) /(3π) + /π + / + /π /(3π) =.944 Filtet h[n] ska divideras med.944. c) [,, ]/4 eller /4. 49

7.6 Antag bildstorleken N N. Rotation kräver N N D-interpolationer, alltså en D-interpolation per pixel. a) Bredden på en n = punkters linjär interpolationsfunktion är sampelavstånd. En bilinjär interpolationsfunktion har en basyta på n n =. Då denna placeras på den önskade interpolationspositionen täcker den n n = = 4 sampel, se figur. Dessa sampelvärden ska multipliceras med interpolationsfunktionen. Det krävs alltså 4 multiplikationer per pixel. sampel avstånd sampel avstånd basyta önskad interpolationsposition b) Generalisera resonemanget i a) till att en n n punkters interpolationsfunktion kräver n n multiplikationer. Följdaktligen kräver bicubic6 interpolation 4 4 = 6 multiplikationer per pixel. c) Generalisering av resonemanget i a) ger 8 8 = 64 multiplikationer per pixel. d) Inga multiplikationer. 7.7 a) Kalla inbilden f(x, y ) och den roterade bilden g(x, y). Då gäller: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x cos α sin α x x cos α sin α x = =. y sin α cos α y y sin α cos α y Punkten (x, y) = (, ) och vinkeln α = insatta i formeln ovan ger (x, y ) (.879,.684). b) Närmaste granne interpolation ger g(, ) = f(, ) = 3. c) Se figuren nedan. Den ger y.879 (.879,) (x,y )=(.879,.684) x (.879,) Λ(.879) =., Λ(.) =.879, Λ(.684) =.36, Λ(.36) =.684, f(.879, ) = f(, ) Λ(.879) + f(, ) Λ(.) = 3, f(.879, ) = f(, ) Λ(.879) + f(, ) Λ(.) = 4, f(.879,.684) = f(.879, ) Λ(.684) + f(.879, ) Λ(.36), f(.879,.684) = 4.36 + 3.684 = 3.36. 5

d) Se figuren ovan. Den ger h(.879) =.4, h(.) =.96, h(.684) =.36, h(.36) =.764, f(.879, ) = f(, ) h(.879) + f(, ) h(.) = 3, f(.879, ) = f(, ) h(.879) + f(, ) h(.) = 4, f(.879,.684) = f(.879, ) h(.684) + f(.879, ) h(.36), f(.879,.684) = 4.36 + 3.764 = 3.36. 7.8 a) G(u, v) = F (u, v).5 n δ(u.5n).5 m δ(v.5m) b) G(u,v) v vikningsdistorsion.5.5.5 u.5 Ja, det blev vikningsdistorsion på flera ställen. Pilen pekar på ett ställe. c) < /.6 d) G(u, v) = F (u, v).5 δ(u.5n).5 δ(v.5m) n m = F (u, v).5 δ(u.5n, v.5m) n m =.5 F (u.5n, v.5m) n m 5

8. Se figur nedan. Den diskreta triangelns omkrets och formfaktor är P = + 4/ 37., PA = P 4πA 37. 4π 64.7 Överensstämmelsen mellan kontinuerligt och diskret beräknade värden är ganska bra. 8. Skelettet med d (4) -konnektivitet visas i grått till vänster och skelettet med d (8) - konnektivitet visas till höger. 8.3 a) Se figuren nedan. De mörka pixlarna är de som är kvar efter krympningen. 5

b) Se figuren nedan. Vissa pixlar är märkta med en siffra som noterar vilken fas pixeln försvinner i. De mörka pixlarna är de som är kvar efter krympningen. 3 3 4 4 4 3 3 4 4 4 3 c) Den konnektivitetsbevarande krympningen bevarar konnektiviteten. Det innebär att ett objekt aldrig kommer att splittas upp i två eller flera. 8.4 a,b) Översta figuren visar vilka pixlar som försvinner under respektive fas, samt det återstående skelettet. Nedersta figuren visar vilka pixlar som försvinner under respektive fas, samt den återstående punkten. 53

8.5 a) b) Medeltjockleken på fröet är t = (( + )/3.5) =.69. c) Subtraktionen med.5 behövs ty om avståndsvärdet är a(x, y), så är avståndet till kanten a(x, y).5. d) Multiplikationen med görs för fröets tjocklek är dubbelt så stor som avståndet från mittlinjen till kanten. 8.6 a) Avståndskartan genereras från punkt A eller B, i figuren nedan i A. b) Starta sedan från den andra punkten, här B, och gå mot lägre värden i avståndskartan. Sätt upp en regel, tex. gå i första hand i, 9, 8, 7 - riktningen och i andra hand i 45, 35, 5, 35 -riktningen. Kortaste vägen kommer att skilja något beroende på vilken regel man väljer. Avståndet i d (8) - metrik blir dock alltid detsamma, här 6. 8.7 a) Endast matchningskärna D) matchar på förgreningen. b) Nedan visas ett exempel på hur ett y-format 4-konnektivt skelett kan se ut. 54

9. ( x(t) = A cos 3t + π ) ( + B sin (6t) = A cos 3t + π ) ( + B cos 6t π ) Svar: x x(τ) = A cos(3τ) + B cos(6τ). 9. a) 4 cos(4πτ) + 4 cos(7πτ) kommer från den periodiska signalen och 5e τ kommer från bruset. b) v rms,per = 4 + 4 = 3 och v rms,brus = 5. ( ) c) SNR = log = 4. db. 3 4 5 9.3 a) x x(τ) = cos(3ωτ) +.5 cos(5ωτ) +.5 cos(7ωτ). b) v rms = 5. 9.4 a) V rms = volt. b) P (ω) = 4 8 + ω c) P (ω ) P () = 8 8 + ω 9.5 a) X(ω) = e jω3.5t T sinc(t ω/(π)). = 4 ω = 73 rad/s f = 757 Hz. b) x x(τ) = F [T sinc (T ω/(π))] = T Λ(t/T ). 9.6 a) b) y(t + τ) = { sin(π(t τ)/t ),, annars. τ t τ + T/, x y(τ) = A T T/ τ = A π cos 9.7 a) Det gäller att sin(π(t τ)/t )dt A T ( ) πτ T τ+t/ T/ sin(π(t τ)/t )dt =... F[(x A x B )(t)] = XA(f) X B (f) = N (f) e jπft N(f) = N(f) e jπft 4 = 4 + (πf) e jπft. Inverstransformering via tabell ger (x A x B )(t) = e t T. 55

b) Korrelationsresultatet (x A x B )(t) = e t T är skissat i figuren nedan. T t Sök efter max(x A x B )(t) = (x A x B )(T ). Pappershastigheten v = d/t. c) Bandbegränsat vitt brus är en stokastisk signal. Man kan inte beskriva dess fouriertransform med en enkel matematisk formel eftersom man inte vet dess exakta utseende utan endast dess statistik. Däremot kan brusets effektspektrum anges med en enkel matematisk formel. 9.8 Skriv om uttrycket så att det passar tabellen: H(z) = ( ) z. z.9 z +.9z z + z +.5 H(z) = ( ) z. z.9.4z z + z +.5 z +.5z z + z +.5 ( H(z) = z )(/ ). z.9 +.8z( / z z( / )(/ ) ) z + z +.5 z + z +.5 h[n] = [ (.9 n + ) n (.8 sin πn πn ) ] cos u[n]. 4 4 9.9 a) Förläng formeln så endast z upphöjt till negativa värden förekommer. H(z) = Y (z) X(z) = (z )(z + ) (z +.75)(z + z +.5) z z ( z )( + z ) = ( +.75z )( + z +.5z ) z + z z 3 Y (z) = = +.75z +.5z +.375z 3 X(z) Multiplicera ihop och gör invers z-transform. Detta ger: z z y[n] +.75 y[n ] +.5 y[n ] +.375 y[n 3] = x[n] x[n ] + x[n ] x[n 3] b) a =, b =, c =, d =, e =.75, f =.5, g =.375 56

. a) H(z) = z. Konvergensområde: z > 3. Ej stabil. z 3 b) H(z) = z. Konvergensområde: z > /3. Stabil. 3z c) H(z) = z z +. Konvergensområde: z >. Ej stabil. (z ). a) H(z) = z z az + /4. b) z = a/ ± (a/) /4. c) 5/4 < a < 5/4..3 a) Tabell ger H A (z) = z z /4 och H B(z) = z z /. b) Ja, de båda delkretsarna är stabila var för sig ty polerna ligger innanför enhetscirkeln. c) Schemat ger y[n] = (y[n] h B [n] + x[n]) h A [n] Y (z) = (Y (z) H B (z) + X(z)) H A (z) Y (z) = Y (z) H B (z) H A (z) + X(z) H A (z) H(z) = Y (z) X(z) = H(z) = H A (z) H A (z) H B (z) z z /4 z z /4 z z / = z(z /) z 3/ z + /4 z(z /) (z.3)(z.9) d) Nej, den sammansatta kretsen är inte stabil ty den ena polen (z=.3) ligger utanför enhetscirkeln..4 a) Förläng formeln så endast z upphöjt till negativa värden förekommer. vilket ger H(z) = Y (z) X(z) = z z.8z +.87 z z = z.8z +.87z, Y (z) (.8z +.87z ) = X(z) ( z ) = y[n].8y[n ] +.87y[n ] = x[n] x[n ] som resulterar i blockschemat: 57

D D D D b) Poler och nollställen fås från H(z) (z )(z + ) (z.4 j.84)(z.4 + j.84). Motsvarande pol- nollställediagram ges då av: c) Att sätta z = e jω ger H Ω (Ω) = H(e jω ) = e jω e jω.8e jω +.87. Välj ut några punkter för att ungefärligt skissa amplitudspektrum H Ω (Ω). Ω H Ω (Ω) ±π/.5 ±π Detta är ett bandpassfilter (BP)..5 a) Efter z-transform erhålls Y (z) = z Y (z)+z Y (z)+z X(z) = Y (z)( z z ) = z X(z). 58

Detta ger överföringsfunktionen H(z) som H(z) = Y (z) X(z) = z z z = z z z, vilket ger ett nollställe i z = och två poler då nämnaren är. Efter lösning av z z = = z, = ( ± 5), fås polerna z = ( + 5), z = ( 5). Eftersom H(z) beskriver ett kausalt system ( högersekvens ), ges konvergensområdet av polen med störst belopp: z > ( + ) 5. Eftersom denna polen ligger utanför enhetscirkeln är systemet instabilt. b) Från a) vet vi systemets överföringsfunktion z H(z) = ( z ( + ) ( 5) z ( ). 5) Partialbråksuppdelning av H(z) ger Då är och H(z) = z A B ( z ( + ) + ( 5) z ( ) 5) ( A z = z ( ) ( 5) + B z ( + ) 5) ( z ( + ) ( 5) z ( ). 5) A + B = = A = B A( 5) + B( + 5) = = B = / 5 = A = / 5, vilket ger H(z) = z/ 5 ( z ( + ) 5) Invers z-transform resulterar i impulssvaret (( ) h[n] = n ( 5 + 5 z/ 5 ( z ( 5) ). ) n ) 5 u[n]. 59