Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Onsdag /0 008, kl. 08.30-.30 i V-huset. Examinator: Mats Granath, 77375, 0708938077, mats.granath@physics.gu.se Hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Termodynamiska tabeller (utdelade), ett A4 blad ( sidor) med egna anteckningar, Chalmersgodkänd räknare. Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 0 poäng. Poäng från dugga och inlämningsuppgift kan ge maximalt 8 extra poäng. För godkänt kräs 30 poäng. Lösningar: Finns på kurshemsidan efter tentans slut. Rättningsgranskning: Fredag 7/ kl.45-3.00, hos examinatorn, rum O709B. Uppgift Saren till dessa behöer inte motieras..5 poäng per uppgift. A) En gas komprimeras adiabatiskt men inte kasistatiskt. Då gäller för ändringen a gasens entropi: a) S = 0 b) S > 0 c) S < 0 B) För ett system id konstant tryck och temperatur gäller att följande storhet minimeras i jämikt: a) F = E TS b) S = k r P r ln P r c) G = E + PV TS d) H = E + PV C) En klassisk idealgas tillförs ärme id konstant olym. Vad gäller för förändringen a gasens entalpi, H = E + PV? a) dh = C p dt b) dh = C dt c) dh = d Q d) dh = (3/)RdT D) För en ideal kantgas ges änteärdet a antal partiklar i tillstånd r med energi ǫ r a n r = /(e β(ǫr µ) ± ). Vad måste gälla om gasen ska kunna beskrias som en klassisk idealgas. a) µ < 0 och µ k B T b) µ < 0 och µ k B T c) µ > 0 och µ k B T d) µ > 0 och µ k B T
Uppgift Vibrationerna runt jämiktsaståndet hos en diatomär molekyl kan beskrias som en harmonisk oscillator i en dimension, med energiniåer ǫ r = hω( + r) där kanttalen r är heltal r 0 och ω är konstant. a) Härled ett utryck för änteärdet a ibrationsenergin ǫ då molekylen befinner sig i en gas id temperatur T. (5p) Klassiskt kan energin för en harmonisk oscillator skrias ǫ kl. = m (ẋ + ω x ) där x är aikelsen från minimum a den harmoniska potentialen och m är molekylens reducerade massa. b) För den klassiska oscillatorn gäller ekipartitionsprincipen (likafördelningslagen). Skri ner änteärdet a energin ǫ kl. id temperatur T. (p) c) Den klassiska gränsen a ett kantmekaniska systemet karakteriseras a att energiniåerna ligger tätt i förhållande till temperaturen. Visa att lösningen för energin i a) reduceras till lösningen för energin i b) i den klassiska gränsen. (3p) Uppgift 3 Pi T i T f i f En mol a en klassisk idealgas med ärmekapacitet C = (3/)R är i jämikt i en cylinder id ett tryck P i = 0.MPa och temperatur T i = 7 o C (300K). Gasen tillåts expandera mot ett yttre tryck = 0.MPa tills mekanisk jämikt uppnås id tryck P f =. Cylindern är isolerad så att expansionen kan anses ara adiabatisk. a) Beräkna gasens ursprungsolym V i. (p) b) Beräkna gasens slutolym V f och sluttemperatur T f. (5p) c) Beräkna ändringen i gasens entropi S = S f S i. (3p)
Uppgift 4 Hasatten har en ungefärlig concentration a salt k = 0.0, ds för ett isst antal N attenmolekyler finns (för små k) N s = kn saltjoner. Saltlösningen ökar attnets entropi iket minskar gibbs fria energi, ilket i sin tur höjer kokpunktens temperatur id giet tryck. Uppgiften är att beräkna höjningen a kokpunkten T för saltatten i jämförelse med färskatten. Vi definierar mixningsentropin S mix = k B n ln(v/n) för n partiklar i olym V, ilket är den del a entropin som är releant för detta problemet. Ändringen i gibbs fria energi per attenmolekyl mellan salt och färskatten ges a g = T( Sf mix Ss mix ), där f står för färskatten och s för saltatten och S mix ger mixningsentropiförändringen när en attenmolekyl tas bort. a) Beräkna skillnaden i mixningsentropi Sf mix mellan system med olym V och N attenmolekyler och system med olym V δv och N attenmolekyler där δv = V/N. (p) b) Beräkna skillnaden i mixningsentropi Ss mix mellan system med olym V, N attenmolekyler och N s saltmolekyler och system med olym V δv, N attenmolekyler och N s saltmolekyler. (δv = V/N) Förenkla uttrycket genom att anända k = N s /N. (3p) c) Vid konstant tryck gäller dg = sdt så att för en liten temperaturförändring kan i anta g = s(t 0, ) T. Beräkna entropin per attenmolekyl i mättad attenånga id atmosfärstryck = 0.MPa med hjälp a releanta tabellerade ärden. (p) d) Hur mycket höjs temperaturen i kokpunkten id atmosfärstryck? (3p) Uppgift 5 Figuren är en skiss a ett T-s diagram a en ideal Rankinecykel för ett kraftärmeerk. Arbetsmediet är atten i stationärt flöde. Processen har följande steg: - arbete tillförs isentropiskt ia en pump som komprimerar ätska från lågt tryck P = 7.5kPa till högt tryck P = 5MPa. -3 ärme tillförs id konstant tryck (P 3 = P ) i en ånggenerator. 3-4 arbete tas ut isentropiskt med hjälp a en ångturbin. 4- spillärme tas ut id konstant tryck (P 4 = P ) i en kondensor. a) Baserat på placeringen a punkterna i diagrammet, beskri i ilken fas attnet är i punkterna,, 3 och 4. (Tex mättad gas, komprimerad ätska, etc.) (p) Följ flödet från punkt till 4 och beräkna eller skri ner följande storheter: b) Temperaturerna T, T, T 3, T 4. (p) 3
T 3 gas ätska gas + ätska 4 s c) Ångans kalitet x i punkt 4. (Ds. massandelen gas.) (3p) d) Verkningsgraden η för ärmeerket. (3p) Uppgift 6 Betrakta en paramagnetiskt isolator som har en magnetisk jon med spinn-/ per kemisk enhet a materialet. (Ds. per mol a materialet finns N A magnetiska joner.) Jonerna har magnetiskt dipolmoment med beloppet µ B = 9.70 4 J/T. Ett sätt att kyla ned ett sådant ämne till låga temperaturer är ia så kallad adiabatisk demagnetisering som går till på följande sätt: () Materialet magnetiseras id låg temperatur T i = K i ett starkt magnetfält B 0 = T och termisk jämikt under dessa förutsättningar uppnås. () Sedan isoleras materialet från omginingen och magnetfältet stängs långsamt a. Denna process kan betraktas som adiabatisk och reersibel. På grund a en sag äxelerkan mellan de paramagnetiska jonerna amagnetiseras inte materialet helt när det yttre fältet stängs a utan ett litet effektit fält B f = 0 B 0 finns kar. (3) Jämikt uppnås för hela systemet id en lägre temperatur T f. a) Visa att ärmekapaciteten och entropin för materialet helt domineras a de magnetiska spin-frihetsgraderna genom att beräkna bidragen till C och S id T = K och B = T från de magnetiska frihetsgraderna och från gitteribrationer. För de senare kan Debyemodellen anändas giet materialets Debyetemperatur T D = 50K. (6p) b) Beräkna materialets sluttemperatur T f efter steg (3). Förklara hur du anänder resultatet från deluppgift a) (4p) 4
Lösning Tenta 080, Termodynamik och statistisk fysik, FTF40 Uppgift A) b B) c C) a D) n r a Uppgift a) Z = r e β hω(/+r) = e β hω/ /( e β hω ), ǫ = ln Z hω = β hω + e β hω b) ǫ kl. = k BT = k B T c) Klassiska gränsen hω k B T Uppgift 3 a) V i = RT i P i =.5 0 m 3 =.5l. Anänd e x = x +... för x ilket ger ǫ = ǫ kl.. b) Adiabatisk, ds. d Q = 0 ger de = d W. Arbete på systemet från omginingen d W = dv och för idealgas gäller de = C dt, ilket ger C (T f T i ) = (V f V i ). Med V f = RT f P f = RT f kan i lösa ut T f = T i (C +R( /P i ))/(C +R) = [C = (3/)R] = (4/5)T i = 50K (T f = 3 o C) och V f = (8/5)V i =.99 0 m 3 = 9.9l c) Beräkna S genom att anta kasistatisk process: d W = PdV och ds = d Q = T de d W dt = C T +P dv = C T T dt T +RdV. Integrerat ger det S = C V ln(t f /T i )+R ln(v f /V i ) = R[(3/) ln(4/5) + ln(8/5)] 0.35R =.J/K Uppgift 4 a) Sf mix /k B = (N ) ln V δv N ln V N N b) = (N ) ln V ( /N) N( /N) N ln V N = ln V N S mix s /k B = (N ) ln V δv N + N s ln V δv N s N ln V N N s ln V N s () = Sf mix /k B + N s ln = Sf mix /k B k V ( /N) N s N s ln V N s = S mix f /k B + N s ln( /N) =
c) Ur termotabeller s = 7.35kJ/kgK, M = 8kg/kmol ilket ger s = sm/n A =. 0 J/K 6k B d) Lösningar från a) och b) ger g = kk B T och c) g g = 6k B T, ger T = kt/6 = 0.47K. Uppgift 5 a) : mättad ätska, : komprimerad ätska, 3: mättad gas, 4: gas och ätska. Följ cykeln: håll reda på arbete eller ärme i arje steg ia h = q + w I : mättad ätska id P = 7.5kPa ger T = 40.9 o C, h = 68.79kJ/kg, s = 0.5764kJ/kgK. I - är entropin bearad. Komprimerad ätska id P = 5MPa har entropi s = 0.5705kJ/kgK s id T = 40 o C. Alltså T T = 40 o C. h = 7.97kJ/kg, ilket ger w pump = h h 3kJ/kg I 3 har i mättad ånga id P 3 = P = 5MPa ilket ger T 3 = 64 o C med h 3 = 794kJ/kg och s 3 = 5.97kJ/kgK. Tillförd ärme q in = h 3 h = 6kJ/kg I 4, mättat tillstånd id P 4 = P = 7.5kPa ilket innebär T 4 = T 40 o C och h 4, = 68.79kJ/kg, s 4, = 0.5764kJ/kgK, h 4,g = 574.8kJ/kg, s 4,g = 8.5kJ/kgK. I 3-4 är entropin bearad ilket ger kalitet ur: xs 4,g + ( x)s 4, = s 3, ds x = (s 3 s 4, )/(s 4,g s 4, ) = 0.703. Arbetet ut ur turbinen blir w ut = (h 4 h 3 ) = (xh 4,g + ( x)h 4, h 3 ) 934kJ/kg b) T T 40 o C, T 3 = 64 o C, T 4 = T c) x 70% d) η = wut wpump q in = 0.36 Uppgift 6 a) För Debyemodellen id låga temperaturer ges ärmekapaciteten (per mol) enligt C = π 4 R( T 5 T D ) 3 = [(T/T D ) = /50].9 0 3 R. Entropin får i ur S = T C (T)dT 0 = T (/3)C 6.3 0 4 R. Paramagnetiska frihetsgraderna beskris ia Z = Z N A med Z = e βµ BB e βµ BB = cosh(βµ B B) ilket ger energi E = ln Z = N β A µ B B tanh(βµ B B) och följaktigen C = E = T R(µ BB k B T ) cosh (µ B B/k B T) = [B = T, T = K] 0.30R. Entropin ges a S = k B ln Z + E/T = R(ln + ln cosh(µ B B/k B T) (µ B B/k B T) tanh(µ B B/k B T)) ilket id B = T, T = K ger S 0.5R.
b) Processen ) är isentropisk och eftersom i enligt a) kan försumma entropin från gitteribrationer innebär det att entropin för spin-frihetsgraderna är konstant, ilket (från ekationen för enropin oan) ger µ BB k B T konstant ds T f = T i (B f /B 0 ) = 0 K. Eftersom ärmekapaciteten också domineras a spinfrihetsgraderna kommer systemet uppnå jämikt ungefär id denna temperatur. (Endast lite relati ärme ages för att gittret ska uppnå jämikt med spinfrihetsgraderna. Mer exakt sluttemperatur T baserat på detta om i antar konstanta ärmekapaciteter: C gitter ger T = (T f C spin 0.06K) + T 0 C gitter )/(C spin + C gitter ) T f + T 0 (C gitter (T T 0 ) = C spin (T T f ) ilket ) = T f + 0.006 = /C spin 3