HH/ITE/BN Dimensionsanalys och Mathematica 1 Något om Dimensionsanalys och Mathematica Bertil Nilsson 2016-08-15 Assume period T Cm Α g Β Γ s 1 kg Α m Β m Γ s 2 s 1 kg Α m Β s 2Β m Γ Identify exponents kg 0 Α m 0 Β Γ s 1 2 Β m Find exponents Solve 0 Α,0 Β Γ,1 2Β Α 0, Β 1 2, Γ 1 2
2 Dimensionsanalys och Mathematica HH/ITE/BN Förord På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till dimensionsanalys med lite användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges. Dimensionsanalys Dimensionsanalys eller enhetsbetraktelse är ett effektivt hjälpmedel för att bekräfta riktigheten eller att hitta fel i formler och uttryck med avseende på enheter, så kallad dimensionskontroll. Men det är också ett mycket kraftfullt redskap vid problemlösning, en direkt studie av de givna storheterna leder ofta direkt till gåtans lösning, så kallad dimensionsbetraktelse. Dimensionsanalys innebär helt enkelt att man studerar vilken dimension de ingående storheterna har. Ordet dimensionsanalys ska inte tolkas som att man enbart betraktar rumsdimensioner (det vill säga meter, kvadratmeter, och så vidare). Man kan lika naturligt hantera vilka andra storheter som helst med dimensionsanalys, under förutsättning att de mäts i konsistenta enheter (i vår värld SIenheter), till exempel vikt, tid och acceleration. Populärt uttryckt så utnyttjar metoden att I en storhetsekvation ska det finnas lika många äpplen och päron på båda sidor likhetstecknet. Ekvationen ska alltså väga jämt över likhetstecknet med avseende på alla olika frukttyper. Dimensionsanalysen vilar tungt på SI-systemet och dess grundenheter. Härledda enheter kokas ned till grundenheter. Prefix struntar man i. Det är brukligt att skriva dimensionen för en enhet som dess symbol inom hakparenteser, t.ex. meter [m], massa [kg]. När det gäller de tre fundamentala enheterna ser man ibland även massa [M], längd [] och tid [T]. Storheter som har dimensionen [1] kallas dimensionslösa. Sedan är det bara att betrakta [ ] som vilken variabel som helst och praktisera dimensionsräkning. Om vi har en summa (eller skillnad) mellan storheter x y z krävs att x y z I övrigt återfaller räknereglerna på vanliga räkneregler för reella tal, exempelvis x yz x y z x Α y Β z Γ x Α y Β z Γ x y z x y z y z 1 x Α yβ z Γ x Α y Β y Β z Γ z Γ De (transcendenta) funktionerna exponentialfunktionen, logaritmfunktionen och de trigonometriska funktionerna måste liksom deras argument vara dimensionslösa, det vill säga ha dimensionen [1]. Sålunda krävs vid t.ex. sin x, cos x, tan x, ln x och x att x 1. Att åtminstone de trigonometriska funktionerna måste vara dimensionslösa förstår vi eftersom de definieras som en kvot mellan längder i en rätvinklig triangel. Dimensionen på derivator och integraler brukar vara förbryllande. Vi har att f f f def x x x 2 f x def f f 2 x x x 2 n f def f f x n x x x x x n f x def f x f x f x 1 x 2 def f x 1 x 2 f x 1 x 2 f x 1 x 2 x n def f x 1 x 2 x n f x 1 x 2 x n Vid derivator är det alltså bara att "förkorta bort alla " och räkna hur många gånger vi har storheten i täljaren respektive nämnaren. För integraler är det produkten av dimensionerna för integranden och de ingående måtten som gäller. Obs! Att dimensionkontrollen är korrekt innebär inte nödvändigtvis att formeln är korrekt, det kan ingå en dimensionslös konstant. Detta var i princip all teori (om vi inte går vidare och fördjupar oss i Edgar Buckinghams Π-teorem ;-). Vi förtydligar med några exempel som förhoppningsvis gör att dimman lättar.
HH/ITE/BN Dimensionsanalys och Mathematica 3 Exempel: Enheten för effekt är watt (W). Uttryck dimensionen av denna härledda enhet i grundenheter. Effekt energi tidsenhet W J s Energi arbete kraft väg J N m W J s N m s kg m s 2 m s Kraft massa acceleration N kg m s 2 kg m 2 s 3 Exempel: Hur många m 2 drar din bil? ösningsförslag: Om vi antar att den drar 1 liter/mil har vi följande lilla dimensionskalkyl 1 liter 1liter mil 1dm3 dm, 1 mil 10 km 10 1000 m 1 3 m 10 3 1 1 1 10 000 m 10 000 m 10 3 10 000 m 2 1 10 7 m 2 Detta kan ges en mera konkret geometrisk tolkning, nämligen om bilen drar 1 liter/mil så rullar man hela tiden ut ett "bensinband" efter bilen som är 1 mm brett och 0.1 mm tjockt, ty volymen av detta band per mil blir just 1mm 0.1 mm 1 mil m 0.1 m 1 10 000 m 1000 1000 1000 m 3 1 10 1000 dm 3 1 dm 3 Exempel: Antag vi vet att det finns ett samband mellan hastigheten v mäts i m s, sträckan s mäts i m och tiden t mäts i s. Vilket är detta samband? ösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C, Α och Β är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α och Β måste var dimensionslösa eftersom de är exponenter! v Cs Α t Β m s 1 m Α s Β För att ekvationen ska vara korrekt krävs nu att både [m] och [s] väger jämt. Detta ger ett ekvationssystem som bestämmer Α och Β. Om det inte är entydigt lösbart är vår ansats fel! Börja då om! Här får vi m 1 Α s 1 Β Sambandet är alltså v Cs 1 t 1 C s. I mekaniken får man lära sig att C 1. t Exempel: Sök ett samband mellan kraft F, massa m, acceleration a och väg s. m F ösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C, Α, Β och Γ är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α, Β och Γ måste var dimensionslösa eftersom de är exponenter! F Cm Α a Β s Γ N 1 kg Α m s Β m Γ kg m 1 kg Α m Β 2 m Γ s 2 2Β s kg 1 Α m 1 Β Γ s 2 2 Β s
4 Dimensionsanalys och Mathematica HH/ITE/BN Det inte är så jobbigt att lösa ut de obekanta, men som övning tar vi hjälp av Mathematica. Solve 1 Α,1 Β Γ, 2 2Β Α 1, Β 1, Γ 0 Alltså oberoende av vägen s, så F Cma. I mekaniken får man lära sig att C 1. Exempel: Det hydrostatiska blodtrycket p N m 2 kan antas bero på blodets densitet Ρ kg m 3, höjdskillnaden h m mellan hjärtat och en lägre mätpunkt i kroppen och tyngdaccelerationen g m s 2. Ange ett rimligt uttryck för p så att dimensionerna stämmer. ösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C, Α, Β och Γ är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α, Β och Γ måste var dimensionslösa eftersom de är exponenter! p CΡ Α h Β g Γ N kg 1 2 m m Α m Β m 3 s Γ kg m 2 s 2 m 2 1 kg Α m Γ m Β 3Α m s 2Γ Solve 1 Α,1 2 3 Α Β Γ, 2 2 Γ Α 1, Β 1, Γ 1 kg 1 Α m 1 2 3Α Β Γ s 2 2Γ Alltså p CΡhg. Verkar rimligt, eller...? I fysik får man lära sig att C 1. Exempel: Hastigheten v m s för vattenvågor som går över grunt vatten beror på vattendjupet h m och tyngdaccelerationen g m s 2. Ange ett rimligt uttryck för v så att dimensionerna stämmer. ösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C, Α och Β är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α och Β måste var dimensionslösa eftersom de är exponenter v Ch Α g Β m s 1 m Α m s 2 Β m s Solve 1 Α Β, 1 2 Β m 1 Α Β s 1 2 Β 1 m Α m Β s 2Β Α 1 2, Β 1 2 Alltså v C hg.
HH/ITE/BN Dimensionsanalys och Mathematica 5 Exempel: Tonhöjden frekvensen f Hz för en sträng på en fiol, gitarr eller harpa antas bero på strängens längd m, dess densitet Ρ kg m och spännkraften S N. Ange ett rimligtuttryck för f så att dimensionerna stämmer. ösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C, Α, Β och Γ är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α, Β och Γ måste var dimensionslösa eftersom de är exponenter! f C Α Ρ Β S Γ 1 s 1 m Α kg m Β kg m Γ 1 kg Β 1 m Α s 2 s m Β kg Γ m Γ s 2Γ Solve 0 Β Γ,0 Α Β Γ, 1 2 Γ kg 0 Β Γ m 0 Α Β Γ s 1 2Γ Β 1 2, Γ 1 2, Α 1 Alltså f C S Ρ. Exempel: Genom observationer antog Galilei att periodtiden T s för en matematisk pendel endast beror på det masslösa snörets längd m, tyngden av den punktformade massan m kg och tyngdaccelerationen g m s 2. Ange ett rimligt uttryck för T så att dimensionerna stämmer. m ösningsförslag: Den linjära analysen stämmer bara om den maximala utslagsvinkeln är relativt liten. I annat fall kommer periodtiden att märkbart bero på denna. Vi provar alltså om det finns ett fysikaliskt relevant samband av typen T Cm Α g Β Γ, där C, Α, Β och Γ är godtyckliga dimensionslösa konstanter. T Cm Α g Β Γ s 1 kg Α m s 2 Β m Γ s 1 kg Α m Β Solve 0 Α,0 Β Γ,1 2 Β kg 0 Α m 0 Β Γ s 1 2 Β m Γ 2Β s Α 0, Β 1 2, Γ 1 2 Alltså oberoende av m, så GG var rätt ute; T C g. I mekaniken får man lära sig att C 2Π.
6 Dimensionsanalys och Mathematica HH/ITE/BN Med dimensionbetraktelse kan man alltså snabbt få en djup kvalitativ förståelse kring det problem man studerar. Många frågeställningar och överväganden kan hanteras utan att man har tillgång till den dimensionslösa konstanten C, exempelvis, "Hur ändras periodtiden för pendeln i senaste exemplet om vi gör dubbelt så lång?" Jo, T 2 T C C 2 g g 2 T 2 2 T Ofta bestäms C från någon teoretisk analys eller laboratorieexperiment. Sedan kan även en kvantitativ betraktelse göras. Så Ta för vana att använda dimensionsanalys så ofta du hinner i ditt utvecklingsarbete!!