Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik innebär det inget problem tt dder ett ntl bråk. Eempel. 5 + 5 + 5 + 5 0 5 Aningen besvärligre blir det då nämnrn är olik. Med lite träning och med nämnre som inte är llt för stor bör mn kunn hitt en gemensm nämnre. Minst jobb blir det om mn hittr den minst gemensmm nämnren, MGN. Eempel 3. 3 + 3 + 5 3 + 3 3 3 + 5 = +9+0 3 Här bestämde vi oss för den gemensmm nämnren, som för övrigt är den minst möjlig. Multiplicerr mn ll nämnrn får mn 3 = 7, som också duger, br tt det blir lite rbetssmmre Eempel. 3 + 3 + 5 3 + 3 8 8 + 5 +5+0 38 7 7 3 Som synes blir det smm resultt efter förkortning. Vi höjer svårighetsgrden en ning Eempel 5. 3 + 3 + 3 3 8+3 Först tr vi oss n täljren och summerr de två bråken. Vi skriver, för tt vr tydlig, som. Vi hr nu ett dubbelbråk, där multiplicerr täljren med den inverterde nämnre. Hur sk mn förstå det sist steget? Eempel. Jg hr en tårt. Min vänner får vr sin bit som motsvrr 8 tårt. Hur mång vänner hr jg? 8 8 8 Håkn Strömberg KTH STH
Svr: Jg hr vänner. Visst kn mn krångl till det ännu mer! Eempel 7. ( 3) + 5 5 9 + 9 + 5 9 + 0 3 3 3 3 +70 3 733 3 3 Även om det är tänkt tt en uppgift v denn typ sk löss ekt, kn mn h hjälp med tt koll svret på räknedosn. Ett sist eempel på ritmetisk uttryck Eempel 8. 5 + 3 3 5 + 3 5 5 3 3 3 +5 0 8 3 9 0 5 9 0 5 8 00 57 5 Nu över till lgebrisk uttryck. Här kommer vi normlt inte tt vslut beräkningrn med ett tl utn hr som mål tt förenkl det givn uttrycket. Vi börjr enkelt Eempel 9. Med prenteser inblndde Eempel 0. +3b+ b 3 +b 3( b) (+b+)+(b ) (3 3b) (+b+8)+(b ) 3 3b b 8+b 8 3 3b Att multiplicer in innn mn plockr bort prentesern är en god vn. Eempel. (+b) +( b) b ( +b+b )+( b+b ) b +b Kvdreringsreglern är br tt känn till. Mer om potenser kommer senre i kursen. Lite svårre blir det när vi blndr in bråk Eempel. + 3 + 9 9 9 + 3 3 3 + 9 9+3+ 3 9 9 Mn måste förstås hitt en gemensm nämnre för tt komm vidre. Eempel 3. 3 + 3 + 3 + 3 + ++ 3 + Nu blndr vi in fler vribler Eempel. Så ett dubbelbråk Eempel 5. b b b b b b b b b b b b b b b b Håkn Strömberg KTH STH
Här sk mn förkort så långt mn kn Eempel. Här måste mn bryt ut innn mn kn förkort Eempel 7. 3 b+3b +b c b 3 c b c b 3b(+b) +b 3b Här strtr nu mängdträning. 0 uppgifter i stignde (?) svårighetsgrd Lä. Förenkl så lång möjligt (+b) 3(b+) ( b)+( b) Lä. Förenkl så lång möjligt (+b)( b)+3(b )(b+) Lä 3. Förenkl så lång möjligt (+b+)( b )+(b+) Lä. Förenkl så lång möjligt + Lä 5. Förenkl så lång möjligt ( 3) (+)( ) Lä. Förenkl så lång möjligt (+b) +( b) Lä 7. Förenkl så lång möjligt 9 3 ++8 Lä 8. Beräkn ekt och förkort så långt möjligt 7 5 + 3 5 Håkn Strömberg 3 KTH STH
Lä 9. Beräkn ekt + Lä 0. Beräkn den ekt skillnden melln uttrycken ( 5 + 7 ) 9 3 3 9 5 + 7 9 3 3 9 Lä. Förenkl så lång möjligt (+b) ( b)(+b) +b Lä. Förenkl så lång möjligt ( 3) 3 3 3 Lä 3. Förenkl så lång möjligt 3 Lä. Förenkl så lång möjligt 8b b+9b Lä 5. Förenkl så lång möjligt y y 3 y+y 3 +y ( +y) 3 y Lä. Förenkl så långt möjligt b b b + b + (+b)+b Lä 7. Förenkl så lång möjligt Håkn Strömberg KTH STH
Lä 8. Förenkl så lång möjligt 3 ++ Lä 9. Förenkl så lång möjligt ++ Lä 0. Förenkl så lång möjligt b + b + b b Lä Lösning. (+b) 3(b+) ( b)+( b) (+b) (3b+3) ( b)+( b) Svr: b 3 Lä Lösning. +b 3b 3 +b+ b b 3 ( b )+3(b ) ( b )+(3b 3 ) b +3b 3 b Svr: b Lä Lösning 3. (+b+)( b )+(b+) ( b +b b b+ b )+(b +b+) Svr: Lä Lösning. b +b b b+ b +b +b+ + + + + (+) (+)( ) (+) Svr: Lä Lösning 5. ( 3) (+)( ) +9 ( + ) Svr: 3 9+3 Lä Lösning. +9 + + 3 9+3 (+b) +( b) ( +b+b )+( b+b ) +b ( +b ) +b Svr: +b Håkn Strömberg 5 KTH STH
Lä Lösning 7. Vi löser +8+ = 0 och får 9 3 ++8 9( ) 3( +8+) +8+ = 0 = ± = ±0 = = Vi kn då fktoriser ekvtionen till (+) = 0. Vårt uttryck övergår då till Svr: 3( ) + Lä Lösning 8. 7 5 + 3 9( )(+) 3(+)(+) 3( ) + 5 7 5 + 3 5 7 5 + 5 3 5 3 7+0 5 3 5 3 Svr: 3 Lä Lösning 9. + + 8 8 8 3 7 8 3 8 7 7 Svr: 7 Lä Lösning 0. Här kn mn spr en hel del jobb genom tt tänk till. Om vi betrktr uttrycket som (+b)c d (+bc d) c som leder till 5 9 3 5 5 ( 9 3 3 ) 3 5 3 5 Svr: 5 Lä Lösning. Svr: b Lä Lösning. Svr: 8 +3 ( 3) 3 3 (+b) ( b)(+b) +b 3 ( 3) 3 3 3 3 3( 3) (+3) 3(+3) (+3) (+b)((+b) ( b)) +b 3 ( 3) 9 3 3 9 3 9) +3 b 3 3( 3) ( 3)(+3) 3 8 +3 Håkn Strömberg KTH STH
Lä Lösning 3. 3 3 3 3 3 5 5 5 Svr: 5 Lä Lösning. Svr: (+3b) 3b Lä Lösning 5. 8b b+9b ( 9b ) ( 3b) ( 3b)(+3b) ( 3b) (+3b) 3b y y 3 ( +y) y+y 3 +y 3 y y( y)(+y) y( +y +y) (+y) ( y) y( y)(+y) y(+y)(+y) (+y)(+y) ( y) +y Svr: +y Lä Lösning. b b b + b b b b + (+b)+b b + b b + b b b b +b +b b (+b)+b (+b)+b b b b +b +b (+b)+b ( b)(+b)(+b) (+b) +b ( b)+b Svr: Lä Lösning 7. Svr: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Håkn Strömberg 7 KTH STH
Lä Lösning 8. Svr: ( ) + Lä Lösning 9. Svr: ++ + ( ) Lä Lösning 0. 3 ++ ( ) 3( ++) ( )(+) (+) ( ) + ( )(+) (+) ( )(+) (+) + + ( ) b + b + b b b + b b b + b b b b b b +b +b b b b (+b) b ( b)(+b) b Svr: +b b (+b) b b ( b)(+b) +b b Håkn Strömberg 8 KTH STH
Problem. Lösning: b + b + b b ( b) b+b + b + +b+b ( b ) ( b) + (+b)( b) + (+b) (+b) ( b) (+b) ( b) (+b) + (+b)( b) ( b) (+b) + ( b) ( b) (+b) ( b) (+b) 3 (+b) +(+b)( b)+( b) ( b) (+b) 5 ( +b +b)+( b )+( +b b) b ( b) (+b) ( b) (+b) 7 (b )(b+) ( b) (+b) (b )(b+) (b ) (b+) (b )(b+) b Med hjälp v först och ndr kvdreringsregeln smt med konjugtregeln fktoriserr vi de fyr nämnrn (). Vi föreslår sedn den gemensmm nämnren ( b) ( + b) och förlänger på vnligt sätt sedn bråken för tt erhåll denn nämnre (). I (3), () och (5) rbetr vi sedn med tt reducer täljren, som vi sedn fktoriserr i (). Eftersom ( b) (b ) får vi ing problem med tt förkort uttrycket för tt till sist erhåll Svr: b Figur : Håkn Strömberg 9 KTH STH
Problem. Lösning: b b b b b b b b b b b ( b ) b b b b ( ) ( b)(+b) b 3 b b b ( ) ( b)(+b) ( )b b b ( )(b ) ( ) ( b)(+b) b 5 b b ( b) ( ( b)(+b) b ) b ( b) 7 (+b) Åter ett dubbelbråk. Vi reducerr täljre och nämnre för sig (). Inverterr nämnren och multiplicerr med täljren (). Använder konjugtregeln för tt fktoriser först bråkets täljre (3). Förlänger ndr bråket med ( ) (). Multiplicerr in ( ) i (b ) och får ( b) i (5). Kn nu förkort en del i () och får till slut Svr: (+b) Håkn Strömberg 0 KTH STH
Problem 3. Lösning: +b + b +b +b + b +b +b +b +b +b (+b) +b 3 Två bråk som redn hr smm nämnre kn direkt skrivs på smm bråkstreck (). Efter reducering, lämplig utbrytning () och förkortning återstår Svr: Problem. b+b + b + +b+b ( b ) Lösning: b+b + b + +b+b ( b ) ( b) + (+b)( b) + (+b) (+b) ( b) (+b) ( b) (+b) + (+b)( b) ( b) (+b) + ( b) ( b) (+b) ( b) (+b) 3 (+b) +(+b)( b)+( b) ( b) (+b) 5 ( +b +b)+( b )+( +b b) b ( b) (+b) ( b) (+b) 7 (b )(b+) ( b) (+b) (b )(b+) (b ) (b+) (b )(b+) b Med hjälp v först och ndr kvdreringsregeln smt med konjugtregeln fktoriserr vi de fyr nämnrn (). Vi föreslår sedn den gemensmm nämnren ( b) ( + b) och förlänger på vnligt sätt sedn bråken för tt erhåll denn nämnre (). I (3), () och (5) rbetr vi sedn med tt reducer täljren, som vi sedn fktoriserr i (). Eftersom ( b) (b ) får vi ing problem med tt förkort uttrycket för tt till sist erhåll Svr: b Håkn Strömberg KTH STH