Envariabelanalys 2, Föreläsning 4

Relevanta dokument
Dagens ämnen. Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Repetition, Envariabelanalys del

I punkten x = 1 fås speciellt. Taylorpolynomet blir. f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

SF1625 Envariabelanalys

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =

Tentamen i Envariabelanalys 2

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Linjär Algebra, Föreläsning 20

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

Modul 4 Tillämpningar av derivata

1 Föreläsning 12, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

TAYLORS FORMEL VECKA 4

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

Något om Taylors formel och Mathematica

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Till dagarna och finns ett appendix som innehåller ytterligare förklaringar, kommentarer och ett antal lösta exempel

Envariabelanalys 2, Föreläsning 8

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form

Lokala undersökningar

SF1626 Flervariabelanalys

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

Föreläsning 6. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 9 november 2018

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Mer om generaliserad integral

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Tentamen SF Jan Tentamen DEL 1.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

Linjära differentialekvationer av andra ordningen

Föreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.

SF1625 Envariabelanalys

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Läsanvisningar till kapitel 4

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4

II. Analys av polynomfunktioner

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

4 McLaurin- och Taylorpolynom

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

MA2001 Envariabelanalys

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Tel.:

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Tentamen SF e Januari 2016

Lösningsförslag till TATA42-tentan

f (a) sin

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Transkript:

Envariabelanalys 2, Föreläsning 4 Tomas Sjödin Linköpings Universitet

Repetition: Taylors sats Sats Antag att f (x) är denierad och har kontinuerliga derivator upp till och med ordning n + 1 i någon omgivning till punkten a R. Då gäller att f (x) = f (a) + f (a)(x a) +... f (n) (a) (x a) n + O ( (x a) n+1), n! där O ( (x a) n+1) = b(x)(x a) n+1 för någon funktion b(x) som är denierad och begränsad i någon omgivning till a.

Polynomet p n (x) = f (a) + f (a)(x a) +... f (n) (a) n! (x a) n kallas Taylorpolynomet av ordning n till f i a, om a = 0 kallas det Maclaurinpolynomet till f, Genom att studera g(t) = f (a + t) kan vi alltid komma till fallet med Maclaurinutvecklingar.

Exempel 1 Exempel 1: Bestäm Maclaurinutvecklingen av ordning n till f (x) = (1 + x) α (där α R är konstant) med restterm på ordoform.

Exempel 2 Exempel 2: Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning n till f (x) = ln(1 + x).

Repetition: Ordokalkyl Per denition är O(g(x)) på varje plats en funktion på formen b(x)g(x). Nedan är alla ordobegrepp då x a för någon x punkt a. Om f (x) = O(g(x)) och g(x) = O(h(x)) så gäller f (x) = O(h(x)), Om g(x) = O(h(x)) så är O(g(x)) = O(h(x)). Om b(x) är begränsad i någon omgivning till a så gäller O(b(x)f (x)) = b(x)o(f (x)) = O(f (x)), Om g(x) = O(h(x)) så gäller O(g(x)) + O(h(x)) = O(h(x)), O(g(x)) O(h(x)) = O(g(x) h(x)).

Ordokalkyl för x n då x 0 O(x n ) + O(x m ) = O(x n ) om n m, b(x)o(x n ) = O(x n ) om b(x) är begränsad nära 0, O(x n ) O(x m ) = O(x n+m ), O(x m ) x n = O(x m n ) om n m, O(1) är en begränsad funktion i någon omgivning till origo.

Några varningar När vi jobbar med stora ordo blir likhetstecknet i princip ENKELRIKTAT, där vi får gå från bättre till sämre i höger-riktningen. T.ex. O(x 3 ) = O(x 2 ), men O(x 2 ) O(x 3 ). Notera att t.ex. (x 1) 2 inte går mot noll då x 0, så då x 0 betecknar O((x 1) 2 ) bara en begränsad funktion!

Exempel 3 Exempel 3: Beräkna lim x 0 1 + x ln(1 + x) 1 e x. + x 1

Exempel 4 Exempel 4: Bestäm Maclaurinpolynomet till sin(x 2 ) av ordning 9.

Entydighetssatsen för Taylorutvecklingar Sats Om q(x) är ett polynom av högst grad n sådant att f (x) q(x) = O((x a) n+1 ), då är q(x) = p n (x) Taylorpolynomet av ordning n till f i a.

Bevis Utan förlust kan vi anta att a = 0. Om p n (x) betecknar Maclaurinpolynomet till f (x) och vi sätter p(x) = p n (x) q(x), då är p(x) ett polynom av grad högst n sådant att p(x) = (p n (x) f (x)) (q(x) f (x)) = O(x n+1 ). Antag nu att p(x) inte är identiskt noll. Då kan vi skriva p(x) på formen där c k 0. Men nu gäller då p(x) = c k x k + c k+1 x k+1 +... + c n x n, vilket ger motsägelse. p(x) O(x n+1 ) lim x 0 x k = c k = lim x 0 x k = 0, V.S.B.

Exempel 5 Exempel 5: Bestäm Maclaurinutvecklingen till f (x) = 1 1 x av ordning n.

Exempel 6 Exempel 6: Bestäm Maclaurinutvecklingen till f (x) = e sin(x) av ordning 2.

Exempel 7 Exempel 7: Bestäm Maclaurinutvecklingen till f (x) = 2 + x av ordning 2.

Exempel 8 Exempel 8: Avgör om f (x) = e x 3 2x 4 har en lokal extrempunkt i x = 0.

Exempel 9 Exempel 9: Avgör om f (x) = 9x 2 x + 3 har någon assymptot då x.