Kursombud sökes!

Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem, som mycket komplexa, är viktiga och därför flitigt förekommande.

En kund (= ett jobb) kan exempelvis vara: - ett IP-paket i Internet som ska betjänas av en router, - ett mobilsamtal som ska betjänas av ett mobilnät, - ett http-paket som kommer till en webbserver.

Betjäningssystem, eller kösystem, märks sällan men de finns i nästan alla data- och telekomrelaterade tillämpningar. Detta innebär att de är rätt dimensionerade. Vi märker dom via långa väntetider eller då vi blir utslängda.

Vi vill använda en realistisk beskrivning (modell) av verkliga kösystem. Vår modell skall även beskriva att kösystemen arbetar i realtid. Om vi har en felaktig modell så kommer vi förstås att dra felaktiga slutsatser om kösystemets verkliga prestanda och egenskaper.

Löpande exempel: Ett kösystem med 5 köplatser (=buffert) samt 1 betjänare (=server/processor). Till detta kösystem kommer en följd av jobb (kunder). Exempelvis anrop till en server i ett nätverk. Vi inför nu parametern λ, och antar att λ jobb kommer till kösystemet i medel per sekund. Parametern λ kallas ofta för ankomstintensiteten.

I de flesta tillämpningar har vi ingen möjlighet att veta de exakta ankomsttidpunkterna för de olika jobben (kunderna). Därför betraktar vi då ankomsttidpunkterna som slumpmässiga. Den stokastiska modell vi kommer att använda överensstämmer mycket väl med gjorda mätningar.

När ett jobb kommer till kösystemet händer ett av följande: Om inga andra jobb finns i kösystemet så påbörjas betjäning direkt vid ankomst. Jobbet placeras i kön om minst 1 jobb finns i systemet och om systemet ej är fullt. Jobbet avvisas (spärras) om systemet är fullt (dvs 5 i kön och 1 i betjänaren).

När ett jobb är färdigbetjänad lämnar det kösystemet, och betjänaren tar sig an nästa jobb i kön. I den här kursen behandlas framförallt situationen först till kvarn får först mala, dvs jobb som väntar i kön kommer att betjänas i den ordning som de anlände till kön.

Kundernas betjäningstider varierar i de flesta tillämpningar, ty kunderna har i regel olika betjäningsbehov. Därför betraktar vi då även kundernas (jobbens) betjäningstider som slumpmässiga. En relevant parameter är betjäningstiden i medel som i kursboken har den generella beteckningen

Betrakta nu följande beskrivning av kösystemet (dvs kön + betjänaren): N=ANTAL JOBB (KUNDER) I KÖSYSTEMET. Vid en godtycklig tidpunkt t så finns det N=0, N=1, N=2, N=3, N=4, N=5, eller N=6 jobb i kösystemet. N=0 innebär att systemet är tomt. N=1 innebär att kön är tom och att betjänaren arbetar med ett jobb. N=2 innebär ett jobb i kön och ett i betjänaren... N=6 innebär att systemet är fullt, dvs 5 jobb i kön och ett i betjänaren. OBS! När N=6, dvs då systemet är fullt, kan inga nya jobb (kunder) komma in i systemet, de spärras (avvisas)! Dessa 7 möjliga värden för N kallar vi kösystemets möjliga TILLSTÅND!

Vid en ankomst: Om systemet är i tillstånd 2 då en jobbankomst sker så övergår systemet till tillstånd 3. OBS! Om systemet är fullt (dvs är i tillstånd 6) då en ankomst sker, så spärras (avvisas) jobbet. Vid en färdigbetjäning: Om systemet är i tillstånd 5 då ett jobb blir färdigbetjänat (och därmed lämnar systemet) så övergår systemet till tillstånd 4. I den så kallade TILLSTÅNDSGRAFEN har vi därför övergångar mellan närliggande tillstånd. λ-parametern är relaterad till ankomstprocessens egenskaper. µ-parametern är relaterad till betjänarens egenskaper. Samtliga övergångar i tillståndsgrafen sker i de flesta tillämpningar vid slumpmässiga tidpunkter.

Exempel på några viktiga frågeställningar: Hur många jobb blir färdigbetjänade per sekund i medel (genomströmningen)? Hur lång tid kommer jobb att befinna sig i kösystemet i medel? Hur stor andel jobb spärras i medel? Hur stor del av tiden används betjänaren i medel? Vilken buffertstorlek (antal köplatser) är lämplig?

Vi måste veta sannolikheten att kösystemet är i tillstånd k, för k=0,1,2,3,4,5,6. Denna sannolikhet betecknas med P(N=k)= =sannolikheten att N=k, k=0,1,2,3,4,5,6 Diskreta stokastiska variabler N ovan är ett exempel på en diskret stokastisk variabel. Dess frekvensfunktion är P(N=k)=. Den andel av tiden, i medel, då kunder spärras är Den andel av tiden, i medel, då betjänaren används är lika med

En mycket viktig parameter är medelvärdet av N som ofta betecknas med E(N). E(N)= Summan löper över alla k som har Ex: Om N betecknar antalet prickar på en ideal tärning så är E(N)=1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6=3.5 Om C=A+B, där A och B är två stokastiska variabler så gäller alltid att E(C)=E(A+B)=E(A)+E(B).

Medelvärdet av en stokastisk variabel A betecknas således ofta med E(A). Variansen för A mäter spridningen kring medelvärdet och betecknas ofta med V(A). Genom att utveckla kvadraten får vi följande alternativa formel:

Om X och Y är två händelser så kallas P(Y X) en betingad sannolikhet, och P(Y X)=P(Y,X)/P(X)=sannolikheten att Y inträffar om vi vet att X har inträffat. Om X och Y är oberoende så är P(Y X)=P(Y), vilket då ger att P(Y,X)=P(Y)P(X). Om A betecknar antalet prickar på en tärning så är P(A=6)=1/6 och P(A=4 A>3)=1/3 P(A=5 A>3)=1/3 P(A=6 A>3)=1/3 Medelvärdet av A, betingat på att A>3, blir =4/3+5/3+6/3=5.

Betrakta nu ankomsterna till kösystemet, den så kallade ankomstprocessen. Vi använder parametern λ, och antar λ ankomster per sekund i medel till kösystemet. Låt A beteckna antalet ankomster under ett tidsintervall av längd Notera att A är en diskret stokastisk variabel. En mycket bra modell är poissonfördelningen:, för k=0,1,2,3, Detta ger att E(A)= =..=λ

Om. vi sätter k=0 i uttrycket ovan, dvs inga ankomster, så ser vi att: P(A=0)= P(nästa ankomst sker efter )= Låt nu den kontinuerliga stokastiska variabeln X betyda tidsavståndet mellan två på varandra följande ankomster. Vi ser från ovanstående samband att: Fördelningsfunktionen blir därför vilket är fördelningsfunktionen för en exponentialfördelad stokastisk variabel.

Tidsavståndet X mellan två på varandra följande ankomster är således exponentialfördelad. Via mätningar har man konstaterat att denna modell mycket väl beskriver verkliga förlopp i många olika tillämpningar. Frekvensfunktionen för X är Efter derivering erhålls Medelvärdet av X: Ankomstintervallets längd, i medel, är således lika med

Betjäningstidens fördelning Låt nu X istället betyda betjäningstiden för ett jobb. I denna kurs kommer vi huvudsakligen att antaga att betjäningstiden är exponentialfördelad med betjäningsintensiteten jobb i medel per sekund. Detta innebär att fördelningsfunktion, frekvensfunktion och medelvärde för betjäningstiden är: Fördelningsfunktionen: Frekvensfunktionen: Medelvärdet: Betjäningstiden, i medel, är således lika med

M är kortnotation för exponentialfördelningen (Markov). Det finns andra fördelningar än exponentialfördelningen som är av intresse. Några exempel är: D betyder konstanta tider (Deterministisk). G betyder Generell fördelning (vilken som helst).

OBS! Formelsamlingen rekommenderas! Exempelvis: Geometrisk serie

Satsen om total sannolikhet ger oss även en alternativ metod att beräkna medelvärdet. Metoden använder betingade medelvärden, se nedan.

Några exempel: z-transformen för OBS! derivering av z-transformen m.a.p. z ger: vilket ger medelvärdet då z går mot z=1!

Låt X beteckna en positiv och kontinuerlig stokastisk variabel med frekvensfunktionen: X kan vara tidsavståndet mellan två på varandra följande ankomster ( som är exponentialfördelad). Laplacetransformen för X är lika med OBS! Derivering av Laplacetransformen m.a.p. s ger: vilket ger E(X) då s går mot s=0!

Vi kan således beräkna medelvärdet på olika sätt: Via definitionen Via betingade medelvärden Via transform

Lösning:

Sannolikheten att nästa ankomst sker inom intervallet är således Om vi nu använder att: så finner vi att denna sannolikhet kan skrivas som: Om vi betraktar ett mycket litet intervall, dvs får vi att sannolikheten blir:

Låt nu X(t) beteckna tillståndet för ett stokastiskt förlopp tid tiden t. Vi förutsätter att X(t) endast kan antaga heltalsvärdena 0,1,2,3,4 X(t) kan exempelvis vara antalet jobb i ett kösystem vid tiden t.

Givet tidpunkterna Då definieras Markovkedjan enligt följande (se sidan 307): Tillståndens värden före tidpunkten påverkar således ej sannolikheten ovan. Vi säger att processen är minneslös.

Generellt gäller: (Sid 308 i Läroboken.) Ger transientlösningen Ger stationära lösningen

Låt oss nu studera så kallade födelse-dödsprocesser lite närmare. Betrakta följande sannolikheter: ( födelse ) ( död ) kallas födelseintensiteten då vi är i tillstånd i. kallas dödsintensiteten då vi är i tillstånd i.

TILLSTÅNDSGRAFEN De stationära tillståndssannolikheterna betecknas som vanligt enligt: Det som återstår nu är att på ett smidigt sätt bestämma dessa sannolikheter.

Generellt sett så varierar tillståndssannolikheterna med tiden, dvs, för att sedan konvergera till den stationära lösningen. Vi är i denna kurs speciellt intresserade av de stationära tillståndssannolikheterna,,,.

TILLSTÅNDSGRAFEN Härledningen i kursboken, kap. 13.6-13.7 (se även 13.10) ger oss följande relation vid stationaritet (se sid 319 i kursboken): Vänsterledet kan tolkas som Flöde ut från tillstånd k, och högerledet som Flöde in till tillstånd k, dvs Flöde ut = Flöde in

TILLSTÅNDSGRAFEN Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :... Snittmetoden kommer vi flitigt att använda för att bestämma tillståndssannolikheterna!

Betrakta nu ett kösystem i tidsintervallet (0,t), samt följande parametrar: är antalet kunder som har kommit till systemet och ej avvisats i (0,t). är antalet kunder som har lämnat systemet och blivit färdigbetjänade i (0,t). är antalet kunder i systemet vid tidpunkten t. Är total tid som alla kunder tillsammans har tillbringat i systemet under intervallet (0,t), se Figur 2.22 på sidan 57! effektiv inintensitet i medel medeltid i systemet för en kund medelantal kunder i systemet Låt nu t gå mot oändligheten, och förutsätt att gränsvärdena existerar. Vi får då Little s sats: