Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning Kända och okända funktioner Pelle Matematikcentrum Lunds universitet 1 april 2019
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning lösn av diffekv frågor lösningar till diffekv Vilka egenskaper för en lösning till en ordinär diffekvation kan man läsa av från ekvationen?
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning lösn av diffekv frågor Ordinär diffekv y + y = 0, y + x y = 0, y + x 2 y = 0,... Finns lösningar? Hur många? Var (för vilka x) finns de? Hur reguljära? Kan man beräkna lösningarna? Vad menas med att beräkna en lösning?
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Existenssats Sats För varje par av reella tal (a,b) R så med y(0) = a och y (0) = b så finns det precis en lösning y(x) C 2 (R) till varje differentialekvation. Det finns alltså oändligt många lösningar. Varje lösning är minst två gånger deriverbar för att funktionen ska gå att stoppa in i ekvationen. Lösningarna finns för alla x.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Hårlyftningsargument (Boot-strap argument) Sats Varje lösning är oändligt många gånger deriverbar ( C (R)). Bevis. y = y, y = x y, y = x 2 y,... HL går att derivera två gånger. VL som är y går att derivera två gånger. y går att derivera 4 gånger. HL går att derivera 4 gånger. Osv.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Linjära diff ekv Differentialekvationerna är linjära, dvs om y 1 och y 2 är lösningar så är även y 1 + y 2 och ky 1 lösningar. Kontroll: { y 1 + x y 1 = 0, y 2 + x y 2 = 0 ger (y 1 + y 2 ) = x y 1 x y 2 = x(y 1 + y 2 ) och (ky 1 ) = ky 1 = kx y 1 = x(ky 1 ). Slutsats Lösningarna bildar linjärt rum.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Linjära rum, bas Kan välja bas för lösningarna. u(x) är den lösning som uppfyller u(0) = 1, u (0) = 0. v(x) är den lösning som uppfyller v(0) = 0, v (0) = 1. Om y(x) är en lösning med y(0) = a, y (0) = b så gäller y(x) = au(x) + b v(x). Kontroll: HL(0) = au(0) + b v(0) = a, HL (0) = au (0) + b v (0) = b, och entydighet. Slutsats Av alla oändligt många lösningar räcker det att studera u och v.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Taylorutvecklingar f (x) = N k=0 f (k) (0) x k + f (N+1) (ξ ) k! (N + 1)! x N+1 Kan beräkna taylorutvecklingar av u och v. Enklast för y + y = 0. Derivera ekvationen, får y + y = 0, y (4) + y = 0, y (5) + y = 0,... u(0) = 1 och u (0) = 0 ger u (0) = u(0) = 1, u (0) = u (0) = 0, u (4) (0) = 1 osv
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Värden Sats u(x) = k=0 ( 1) k (2k)! x 2k Serien har oändlig konvergensradie så den gäller för alla x. Kan beräkna värden u(1) = k=0 ( 1) k (2k)! = 1 0! 1 2! + 1 4! 1 6! + 1 8! 1 10! +... = 1 1 2 + 1 24 1 720 + 1 40320 1 3628800 +... = 0,5403023027...
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning existens regularitet linjäritet taylor värden derivata Derivata och primitiv Om y löser y + y = 0 så gäller y + y = (y ) + y = 0 dvs y löser också diffekvationen. Speciellt är u en lösning med u (0) = 0 och u (0) = 1. Då måste u (x) = 0 u(x) + ( 1) v(x) = v(x). Pss är v en lösning med v (0) = 1 och v (0) = 0 alltså v (x) = u(x). Slutsats u har derivata v och primitiv v + C.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Additionsformler u(x + z) =? Sätt y(x) = u(x + z). Då blir y (x) = u (x + z) och y (x) = u (x + z) = u(x + z) = y(x), dvs y löser diff ekv och kan därmed skrivas u(x + z) = au(x) + b v(x) där a = y(0) = u(z), b = y (0) = u (z) = v(z). Slutsats u(x + z) = u(x)u(z) v(x)v(z)
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Graf Lättare om första ordningens diff ekv. Knep! Sätt Då är m = u, n = u. m = u = n, n = u = u = m, och alltså { m = n, m(0) = 1, eller på matrisform ( ) m = n ( 0 1 1 0 n = m, n(0) = 0, )( m n ), ( ) m(0) = n(0) ( ) 1. 0
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Fasdiagram
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Storlek av (m,n) (Vi ser x som en slags tid i fasdiagrammet!) Studera S = (m,n) 2 = m 2 + n 2 = u 2 + v 2. Hur varierar S med x? S = (u 2 + v 2 ) = 2uu + 2vv = 2u( v) + 2vu = 0. S varierar inte. S(x) = S(0) = u(0) 2 + v(0) 2 = 1 2 + 0 2 = 1.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Diagram Följer att 1 m(x) 1 och 1 n(x) 1.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri Hastighet (m,n ) Studera fart 2 = (m,n ) 2 = n 2 + m 2 = v 2 + u 2 = S = S(0) = 1. Samma fart 1 hela tiden. Nu beskriver x både var vi är på kurvan och hur lång kurvan är. 1 x u(x) 1 u är periodisk u(x + P) = u(x) där P är omkretsen av enhetscirkeln.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning additionsformler fasdiagram periodicitet geometri TIllämpning i geometri Likformiga trianglar ger c a 1 x 1 x u(x) u(x) c u(x) = b Alltså u(x) = b c där sättet att ange vilket x kallas att mäta vinkeln i radianer.
Inledning Egenskaper Fler egenskaper Sammanfattning Sammanfattning Diffekvationen bestämmer helt lösningens egenskaper. Vad som är en känd funktion beror på sammanhanget Genom att studera t ex y x y = 0 får man nya lösningar som man kan beräkna primitiv och derivata av, osv. Dessa lösningar kallas Airyfunktioner. Lösningarna till y 1 x y + (1 n2 x 2 )y = 0 kallas Besselfunktioner.