Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från kulans centrum. Eftersom en kopparkula är ledande finns hela laddningen vid kulans yta. Laddningsfördelningen, och därmed också det elektriska fältet, blir sfäriskt symmetriskt. Genom att tillämpa Gauss sats på en sfär med radie r kring kulans centrum får vi för r <, då integrationsytan inte innesluter någon laddning, E ds = 4πr 2 E(r) = 0, vilket ger att E(r) = 0 för r <. För r > innesluter sfären laddningen Q, och vi får E ds = 4πr 2 E(r) = Q ε 0 vilket ger att E(r) = Q 4πε 0 r för r >. 2 { 0, om r < ; Svar: Det elektriska fältet E ges av E(r) = Q 4πε 0 r, om r >. 2
2. En tunn stav har laddningen Q jämnt fördelad över längden L. Bestäm potentialen i en punkt på avståndet a från stavens ena ände enligt Fig.. 0 L a Fig.. Laddad stav. Då laddningen är jämnt fördelad över stångens längd ges laddningstätheten av λ = Q/L. Låt l beteckna avståndet från punkten a. Mellan l = a och l = a + L finns på sträckan dl laddningen dq = λdl, som i a ger upphov till potentialen dv = k dq = kλ dl l l där k = /4πε 0. Integration över stavens längd ger potentialen a+l V = kλ a dl l = kλ [ ln(l) ] a+l a = kλln(+l/a) Svar: Potentialen i punkten a ges av V = Q 4πε 0 L ln(+l/a) 3. Två bitar av metallfolie med måtten 2 cm 3 cm isoleras från varandra med en plastfolie och läggs ihop för att konstruera en kondensator. Plastfolien har tjocklek 0. mm och dielektricitetskonstant ε r = 2.5. Beräkna kondensatorns kapacitans. Plattkondensatorns kapacitans ges enligt Physics Handbook av C = ε 0ε r A d där A = 0.02 0.03 m 2 är plattornas area och d = 0 4 m är avståndet mellan plattorna. Detta kan också härledas från definitionen C = Q/V med hjälp av V = Ed och Gauss lag. Vi noterar att E-fältet är försumbart utom mellan plattorna, och tillämpad på en yta som omsluter den ena kondensatorplattan ger då Gauss lag ε 0 ε r AE = Q, och Numeriskt får vi C = Q V = ε 0ε r AE Ed = ε 0ε r A d C = 8.854 0 2 2.5 6 0 4 0 4 F.33 0 0 F = 33pF Svar: Kondensatorns kapacitans blir 33 pf
4. I kretsen i Fig. 2 nedan har alla motstånden resistansen. Beräkna den ekvivalenta resistansen! Fig. 2. Genom att vrida några motstånd kan kretsen i Fig. 2 kan ritas om på formen Fig. 3. Den består alltså av tre parallelkopplade grenar, där två av dem har två motsånd i serie. För den ekvivalenta resistansen eq gäller eq = + + + + = 2 vilket ger eq = 2 Svar: Den ekvivalenta resistansen är /2.
5. En lång rak ledare som bär strömmen 5 A är belägen 5 cm från en annan lång ledare i vilken strömmen är 20 A. Ledarna är parallella, och strömmarna går i motsatta riktningar. Beräkna i vilken punkt på en linje mellan ledarna som magnetiska fältstyrkan är minimal. Beteckna strömmarna I = 5 A och I 2 = 20 A, och avståndet mellan ledarna d = 0.5 m. Amperes lag ger att magnetfältet på avstånde r från en lång rak ledare med strömmen I har styrkan B(r) = µ 0I 2πr Eftersom strömmarna är motriktade har fälten samma riktning mellan ledarna och adderas. Om r är avståndet från I ges fältet i en punkt på linjen mellan ledarna av B(r) = µ 0I 2πr + µ 0I 2 () 2π(d r) Där B har minimum är db dr db dr = µ 0 2π = 0, vilket ger ( I ) r 2 + I 2 (d r) 2 Uttrycket i parentesen ger andragradsekvationen som har lösningen r 2 + r = = 0 2d I 2 /I r d 2 I 2 /I = 0 ( ) d I2 ± I 2 /I I Lösningen med den negativa roten ligger inte mellan ledarna, och är därför ofysikalisk (ekv. () gäller inte). Den sökta minimat ges alltså av r = ( ) d I2 I 2 /I I Numeriskt får vi med I 2 /I = 4 och d = 0.5 m att r = 5 cm. Svar: Fältstyrkan är minimal 5 cm från ledaren med strömmen 5 A.
6. En metallstav, som glider mellan två ledande skenor, dras med konstant hastighet v. Avståndet mellan skenorna är l, och de är ihopkopplade genom ett motstånd med resistans. Vinlelrätt mot skenornas plan finns ett homogent magnetfält B (se Fig. 4). Beräkna effekten som utvecklas i motståndet. B v l Fig. 4. Enligt Faradays lag ges den inducerade elektromotoriska kraften E av E = dφ dt därdetmagnetiskaflödetφ = BA,ochökningenavareanAmellanmotståndet och staven är da dt = lv Detta ger E = Blv och den inducerade strömmen I = E /. Effekten som utvecklas i motståndet blir då P = E I = E 2 = (Blv)2 Svar: Effekten som utvecklas i motståndet är (Blv)2.
7. En tunn konvex lins med brännvidden f = 8 cm ska användas för att avbilda ett föremål i dubbel storlek på en skärm. Hur stort ska avståndet mellan föremålet och skärmen vara? Strålgången vid avbildning av ett föremål med en konvex lins visas i Fig. 5. Den reella bilden blir inverterad, och för dubbel storlek blir förstoringen m = y /y 0 = p/q = 2, vilket ger q = 2p. y 0 q p f f y Fig. 5. Linsformeln ger relationen mellan avståndet p från föremål till lins och avståndet q = 2p från lins till skärm. p + q = p + 2p = f, vilket ger p = 2 3 f och q = 3f. Avståndet s = p+q mellan föremål och skärm blir då s = 9 2 f. Numeriskt får vi med f = 8 cm avståndet s = 36 cm. Svar: Avståndet mellan föremål och skärm ska vara 36 cm.
8. En kort cirkulär spole med 20 varv och radie 6 cm används för att detektera en radiovåg med frekvensen MHz. Vågens magnetfält är riktat längs spolens axel och har amplituden 4 0 0 T. Hur stor amplitud får den emk som induceras i spolen? Spolens tvärsnitsarea är A = πr 2, där r = 0.06 m, och vågens magnetfält, som är vinkelrätt mot arean, kan skrivas B = B 0 sinωt där B 0 = 4 0 0 T och ω = 2πf = 2π MHz. Enligt Faradays lag ges den inducerade elektromotoriska kraften E av E = N dφ dt där det magnetiska flödet Φ = BA och N = 20 varv. Spolens area är konstant, och derivering av magnetfältet ger E = NA db dt = NAB d 0 dt sinωt = NAB 0 ωcosωt Toppvärdet, eller amplituden, blir då E 0 = NAB 0 ω, och numeriskt får vi E 0 = 20π0.06 2 4 0 0 2π 0 6 V = 5.68 0 4 V Svar: Den emk som induceras i spolen blir 5.7 0 4 V.