Förändringsfaktor. Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson

Förändringsfaktor 1. Procentens ABC 2 Procentenheter, ppm och promille.13 Prisjämförelser och index finns i statistikavsnittet.. 2. Geometrisk summa med tillämpningar 15 Årliga insättningar..17 Annuiteter 20 Kreditkort med GeoGebra..22 Facit.. 24 Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 1

1. Procentens ABC M atematiken i historien Vid den tiden utfärdade kejsar Augustus en förordning om att hela världen skulle skattskrivas. Det var den första skattskrivningen, och den hölls när Quirinius var ståthållare i Syrien. (Bibeln, Lukasevangeliet 2:1-2) Detta ägde rum omkring år 0, och romarriket under kejsar Augustus behärskade länderna kring Medelhavet samt en stor del av Europa. Romarna utkrävde skatt i de ockuperade områdena. Denna skatt utgjorde en viss bråkdel av vinsten vid en försäljning, till exempel 1/20 eller 1/24. Kejsar Augustus lär ha använt skattesatsen 1/100. Det blev bekvämt att betala med tiondelar och hundradelar. Om man skulle betala 20/100 i skatt så innebar detta helt enkelt att betala 20 mynt av 100 intjänade mynt.. Detta skrev romarna 20 per cento eller 20p100. På 1400-talet hade man övergått till att skriva 20 p c och på 1600-talet kort och gott 20 och hade därmed praktiskt taget kommit fram till vårt moderna skrivsätt 20 %. Procentandelar kan skrivas i tre olika former: 5 Procentform 5% Bråkform 100 Decimalform 0,05 2

Modell Procentens ABC Titta på detta påstående: 5% av 300 kr är lika med 15 kr. Helheten är 300 kr, delen är 15 kr och procenttalet 5%. Om vi vet två av talen kan vi beräkna det tredje. A. Vad är 5% av 300 kr? Vi räknar så här: 0,05 300 = 15. Svar: 15 kr B. Hur många procent är 15 kr av 300 kr? Det får vi på detta sät 15 = 0,05= 5% Svar: 5 %. 300 C. Vi vet att 5% av en summa pengar är 15 kr. Hur stor är summan? Låt summan vara x kr. Vi får ekvationen: 0,05 x=15 som har lösningen 15 x = ; x= 300 Svar: 300 kr. 0,05 I fallet C) kan man även resonera så här: 5 % av summan är 15 kr 15 1 % av summan är alltså kr= 3kr 5 100 % av summan är då 3kr 100= 300kr Alla uppgifter som handlar om procent går tillbaka på någon av dessa tre typuppgifter A-uppgifter En vara kostar 400 kr. Priset höjs med 40%. Beräkna prishöjningen och varans nya pris. Lösning Priset är från början 400 kr. Prishöjningen är 0,40 400 kr = 160 kr Eftersom varan kostade 400 kr och ökade med 160 kr blir det nya priset (400+160)kr = 560 kr Svar: Varans pris höjs med 160 kr. Det nya priset blir 560 kr. 3

Beräkning av nya priset. Direkt metod: Det gamla priset är 400 kr. Efter höjningen är priset 100%+40%=140% av det gamla. Den första termen (100%) motsvarar det gamla priset. Priset efter höjningen blir alltså 1,40 400 kr = 560 kr. Vi kan räkna på liknande sätt vid sänkning med en viss procentandel. Vid sänkning med 40% återstår 100% 40%=60%. När 400 kr sänks med 40% blir resultatet 0,6 400 kr = 240 kr. Om priset går ner med 40% betalar vi 100% 40%=60%. Talen 1,40 och 0,60 kallas (för för)ändringsfaktorer. Vad händer om flera förändringar följer på varandra. Låt figuren nedan illustrera detta: Om ett värde genomgår successiva förändringar så gäller: Ursprungsvärdet Förändringsfaktor ndringsfaktor1 Förändringsfaktor ndringsfaktor2 Förä Förändringsfaktor ndringsfaktor3 = Slutvärdet 4

B-uppgifter Del och helhet. I en klass på 24 elever var 8 flickor. Hur många 8 procent var flickor? Svaret är = 0,333 33%. 24 Jämförelse. Bertil är 165 cm lång. Anders är 15 cm längre än Bertil. Hur många procent längre än Bertil är Anders? Ordet än uttrycker jämförelse, vilket betyder att 15 cm skall jämföras med 165 cm. Det som jämförs med ska stå i nämnaren. Anders är 15 = 9% längre än 165 Bertil. Från ett värde till ett annat. Värdet före ökning (det som ökar) eller minskning (det som minskar inskar) ska stå i nämnaren. Exempel 1: 1 Befolkningstalet på en ort har på några år minskat från 13 000 till 12 000 invånare. Hur stor är minskningen i procent? Befolkningen har från 13 000 invånare minskat med 1000 personer. 1000 Minskningen i procent blir = 0,077 = 7,7%. 13000 Exempel 2: 2 Priset på ett par jeans ökade från 489 kr till 599 kr. Hur stor är prisökningen i procent? Priset ökar från 489 kr med 110 kr. 110 Ökningen i procent blir = 0,225 = 22,5% 489 C-uppgifter Exempel 1 En vara ökar i pris med 15 kr. Det är 5% av det varan kostade före ökningen. Vad kostade då varan? Lösning Priset var x kr före ökningen. Vi vet att 5% av detta pris är 15 kr. Det ger ekvationen 0,05 x =15 som ger x = 300. Svar: Varan kostade från början 300 kr. Exempel 2 Under kampanjvecka för skönlitteratur ger en bokhandel 10% rabatt på alla skönlitterära böcker. En bok får en rabatt på 20 kr. Vad fick man betala för denna bok under kampanjveckan? 5

Lösning Vi vet att 20 kr är 10% av bokens ordinarie pris x kr. Det ger ekvationen 0,10x =20 som ger lösningen x = 200. Priset med rabatten avdragen är alltså (200 20)kr= 180kr Svar: Boken kostade 180 kr med rabatt. Exempel 3 Hyran för en lägenhet ökar med 10% till 2761 kr. Hur stor var hyran före höjningen? Lösning Summan 2761 kr är 110% = 100% +10% där 100% är hyran före höjningen och 10% är höjningen. Vi får ekvationen 1,10x = 2761 som ger x = 2510. Svar: Hyran var 2510 kr före hyreshöjningen. G1.1 Beräkna utan räknare a) 15% av 300 b) 35% av 45 c) 9% av 800 d) 8% av 700 G1.2 Hur många procent är a) 37 kr av 453 kr b) 45 kg av 560 kg c) 0,45 m av 125 m? 6 e) 110% av 36 f) 0% av 3789 g) 1,5% av 25 h) 0,7% av 80 G1.3 Vilken är den procentuella förändringen om ändringsfaktorn är a) 1,32 b) 0,67 c) 0,15 d) 2,67 e) 0,885 G1.4 En säljare som inte ville missa Maria som kund gav 15% rabatt på en sjuväxlad cykel som egentligen kostade 4695 kr. Hur mycket fick Maria betala? G1.5 Hur mycket är 79% av 40 km? G1.6 Hur mycket är 23,2% av 705 liter? Avrunda svaret till hela liter.

G1.7 En radio för 795 kr prissänktes med 25%. Med hur många kronor sänktes priset? Svara i hela kronor. G1.8 En undersökning av Ungdomens nykterhetsförbund visade att 15 butiker av 21 på Södermalm sålde folköl till underåriga. Hur många procent av butikerna sålde folköl olagligt? G1.9 Stefan har en årslön på 228000 kr och betalar 37% i skatt. Hur mycket betalar Stefan i skatt under ett år? G1.10 När en ny väg öppnas får Sirkka 40% kortare väg till jobbet. Avståndet var 14 km då hon körde den gamla vägen. Hur långt har nu Sirkka till arbetet? G1.11 Bea fick 20% rabatt när hon köpte en grafritande räknare. På detta sätt fick hon räknaren 96 kr billigare. Vad fick Bea betala? G1.12 En veteranbil värd 160000 kr ökar i värde med 15%. Bestäm bilens nya värde. G1.13 En tavla ökar i värde med 15% till 161000 kr. Hur mycket var tavlan värd före ökningen G1.14 Man uppskattar att det bara är cirka 3% av de plockbara lingonen och blåbären som plockas i de svenska skogarna. Denna mängd är 10000 ton. Hur många ton plockbara lingon och blåbär finns det? G1.15 I en enkät svarade 34% eller 204 personer Nej på en av frågorna. Hur många hade besvarat frågan? 7

G1.16 Värdet av en aktie ökar på ett år med 25%. Hur mycket är aktien värd efter ökningen om den är värd 180 kr före? G1.17 En fotbollstrupp består av 20 spelare. Fyra av dem är skadade. Hur många procent är skadade? G1.18 På ett företag finns det bland de anställda 450 män och 620 kvinnor. Hur många procent av de anställda är kvinnor? Svara i helt antal procent. G1.19 En bil värd 90000 kr minskar i värde med 10% per år. Bestäm bilens värde efter 2 år. G1.20 Hur många procents rabatt motsvarar erbjudandet i annonsen? G1.21 Invånarantalet i en by minskar med 5,5% per år. 1990 fanns det 940 bybor. Hur många fanns det 3 år senare? G1.22 En aktie värd 390 kr ökar i värde med 6,5% tre dagar i rad. Beräkna aktiens värde efter dessa tre dagar. Avrunda till hela kronor. G1.23 En laborant löser 30 g salt i 155 g vatten. Vilken salthalt får lösningen? Svara i hela procent. G1.24 Antalet kaniner på en ökar med 18% per månad. Vid ett tillfälle fanns det 1500 kaniner på ön. Hur många kaniner fanns det två månader senare? Avrunda till tiotal. 8

G1.25 I ett hyreshus finns det sammanlagt 20 män, 24 kvinnor och 19 barn. Hur många procent av hyresgästerna är män? Svara med en decimal. G1.26 Olof väger 85 kg och går ner i vikt till 78 kg. Med hur många procent minskar hans vikt? Svara med en decimal. G1.27 I en väljarundersökning sade 83 personer att de tänkte rösta på Folkpartiet. Detta motsvarade 6,9%. Hur många deltog i väljarundersökningen? Avrunda svaret till tiotal. G1.28 En teveapparat sänktes i pris med 22%. Detta innebar att priset sänktes med 1078 kronor. Hur mycket kostade teven utan rabatt? G1.29 Priset på en DVD-spelare sänktes med 20%. Hur mycket kostade DVD:n sedan rabatten dragits av, om den från början kostade 3200 kr? G1.30 År 1994 skördades sammanlagt ca 2,4 miljarder ton spannmål. I Kina blev skörden 445 miljoner ton och i USA 407 miljoner ton. Hur många procent blev skörden i resten av världen? G1.31 Priset på en vara ökar i två etapper, först med 8% och därefter med 5%. Med hur många procent har varans pris stigit totalt? G1.32 Under tre år ökar antalet invånare i en kommun med 3%, 4% och 5%. Med hur många procent har befolkningen ökat totalt under de tre åren? Svara med en decimals noggrannhet. G1.33 En akties värde ökar tre år i rad. Värdeökningarna är 18%, 30% och 11%. Bestäm den totala värdeökningen under de tre åren. Svara i procentform med tre gällande siffror. G1.34 En ishockeyklubba kortas av så att längden blir 123 cm. Detta innebär att längden minskas med 17%. Hur lång var klubban från början? G1.35 Priset på en dator ökar med 11% till 17650 kronor. Vad kostade datorn före prisökningen? 9

G1.36 Värdet av en aktie ökar med 2% per dag tio dagar i rad. Med hur många procent ökar värdet under de tio dagarna? Svara med en decimal. G1.37 Under den starka börsuppgången hösten 1999 var nyheter av följande slag vanliga: Ericsson B gick upp 22 kr till 568. Hur många procent gick därmed denna aktie upp? G1.38 Innehavaren av en klädbutik säljer ut fjolårets plagg för att få plats för nya sändningar kläder. Hon ger 15% rabatt. Efter en tid måste priset sänkas mer för att öka försäljningen. Hon sänker då priserna med ytterligare 15%. Bestäm den totala prissänkningen i hela procent. G1.39 En kommun avfolkas på grund av arbetslöshet. Under en treårsperiod minskar antalet invånare med 5,0%, 6,8% respektive 11%. Med hur många procent har invånarantalet minskat totalt under treårsperioden? Svara med en decimal. G1.40 Under fem dagar ändras en aktiekurs på följande sätt respektive dag: +2,5% 1,9% 1,2% +2,9% 0,7% Hur förändras aktiekursen totalt under de fem dagarna? Svara i procentform med en decimals noggrannhet. G1.41 Bengt avläser en amperemeter och får värdet 10,7 A. Han vet att instrumentet visar ett värde som är 7% större än det korrekta värdet. Hur stor är den verkliga strömstyrkan? G1.42 Värdet av en tavla förändras på följande sätt under en femårsperiod: +21% 9,5% 2,7% 5,0% +19% Hur förändras tavlans värde totalt under de fem åren? Svara i procentform med en decimal. 10

G1.43 Vinsten för den tyska telekoncernen Deutsche Telekom sjönk under en period med 45% till 1,20 miljarder euro. Hur stor var den tidigare vinsten? G1.44 Enligt uppgifter år 2000 är 71% av citrusskörden apelsiner. Det plockades totalt 223 miljarder apelsiner i 100 olika länder. Hur mycket väger skörden av alla citrusfrukter? En citrusfrukt väger i medeltal 200g. G1.45 Assisterad befruktning är ett samlingsnamn för de olika metoder som finns att sammanföra spermier och ägg i syfte att hjälpa ett infertilt par att få barn. Den vanligaste metoden har hittills varit provrörsbefruktning (in vitro-fertilisering, IVF). Under perioden 1991-1993 ökade antalet fullbordade behandlingar med IVF från ca 2 700 till 5 700. Hur stor var den procentuella ökningen? G1.46 Nenad tjänade 5000 kr i veckan. Han fick sedan en löneförhöjning med 8%. Skatten på löneförhöjningen blev 35%. Hur många kronor mer kom han att tjäna i veckan? G1.47 Hur många massprocent syre finns i alkohol C 2H 5OH? Kol har atommassan 12,0 u, väte har atommassan 1,0 u och syre har atommassan 16,0 u. G1.48 I en vanna finns 500 g av en 3-procentig saltlösning. Hur många gram vatten skall avdunsta för att salthalten ska bli 5%? G1.49 Hur mycket ättika med halten 12% ( ättiksprit ) ska blandas med 2 dl ättika med halten 24% ( ättiksyra ) för att blandningens halt ska bli 16%? G1.50 Tre bröder, som är 20, 25 respektive 30 år gamla, skall dela på en lotterivinst på 450 000 kr. Mellanbrodern skall ha 25% mer än den yngste och den äldste 50% mer än den yngste. Hur skall de dela upp vinsten? 11

G1.51 Beräkna förändringen av de 100 rikaste svenskarnas förmögenhet med ändringsfaktorer, 1991 2009. G1.52 I presidentvalet i USA 2000 röstade 51 % av de röstberättigade, av dessa röstade 48 % på Al Gore och 48 % på George W Bush. Hur många procent av de röstberättigade röstade på var och en av dessa kandidater? V1.53 Man vet att andelen ljushåriga bland dem som har blå ögon är större än andelen ljushåriga av hela befolkningen: Måste då andelen med blå ögon av de ljushåriga vara större än andelen med blå ögon av hela befolkningen? (Uppgift nr 1 i kvalificeringsomgången den 6 oktober 1999 av Skolornas Matematiktävling arrangerad av Svenska Matematikersamfundet.) 12

Modell Procentenheter Exempel med lösning Vi antar att det görs två opinionsundersökningar i rad för att utröna hur stor del av befolkningen som är positiv till EMU-anslutning. I bägge fallen tillfrågas 2000 personer. I det första fallet var 45% positiva medan i det andra fallet endast 35% var positiva. Minskningen var 10 procentenheter.. (Varför måste -enheter läggas till?) Antalet som var för EMU var vid den första undersökningen 0,45 2000 200 (=900)och vid den andra 0,35 2000 (=700). Minskningen var 900 10% =0,22=22%. Resultatet kan man snabbt få så här: =0,22=22%. 45% Minskningen var alltså 10 procentenheter. Det var i detta fall 22 procent. Teori Promille och ppm (parts per million) 1 För jämförelse mellan tal där procent (= ) ger för små tal kan man 100 använda enheten 1 promille ( ) (= 1 1 ) och 1 ppm (= ). 1000 1000000 G1.54 Arbetslösheten minskade under ett år från 5,5% till 4,5%. a) Med hur många promilleenheter minskade arbetslösheten? b) Med hur många procent minskade arbetslösheten? G1.55 Hur mycket är 9 av 300 g? 13

G1.56 En elevrådsstyrelse på en gymnasieskola består av 5 elever från samhällsvetenskapsprogrammet och 3 elever från övriga program. En SP elev avgår ur styrelsen och ersätts av en elev från HR programmet. a) Hur många procentenheter ökade andelen elever från övriga program? b) Hur många procent ökade andelen elever från övriga program? G1.57 Skriv som ppm a) 0,000005 b) 0,00045 G1.58 a) Hur många ppm är 3 g av 300 kg? b) Hur många promille är 0,14 ml av 35 ml? G1.59 I ett kopieringsrum uppmättes halten ozon till 0,3 ppm. Hur stor volym ozon fanns i rummet? Rummets totala volym var 93 m 3. Svara i ml (1 ml = 1 cm 3 ). G1.60 Ett alkotest visade att en person hade 0,90 alkohol i blodet. Hur mycket alkohol fanns det i blodet om personen hade 4,9 liter blod i kroppen? G1.61 I en guldgruva var guldhalten 3,70 ppm. Hur många kilogram guld kunde man utvinna från 115 ton malm? V1.62 Enligt rörelsen Attac konsumerar 20% av jordens befolkning 80% av jordens resurser. Hur många procent mer förbrukar i genomsnitt personerna i den rika världen av jordens resurser än personerna i den fattiga världen? Prisjämförelser och index finns i statistikavsnittet 14

2.Geometrisk summa med tillämpningar Teori Geometrisk talföljd Låt oss studera talföljder med speciella egenskaper, s k geometriska talföljder. Vi skriver följande räcka av tal 5, 10, 20, 60, 120, 240, 480,. Du har kanske redan upptäckt att det första elementet är 5 (=a) och att det andra elementet fås genom att multiplicera det första med talet 2, (= kvoten =k). Därefter fås varje nytt element genom att multiplicera det föregående med kvoten. Om vi kallar det n-te elementet för an får vi formeln an = a k n-1 för den geometriska talföljden. Elementnummer: 0 1 2 3 4 5 6 n 1 Talföljden: 5 10 20 60 120 240 480.. Talföljden tecknad algebraiskt: a ak a k a k 3 a k 4 a k 5 a k 6 a k n-1 Vad blir summan av de första n elementen? Vi kallar denna summa för s och får: a + ak + a k 2 + a k 3 + a k 4 + a k 5 + + a k n-1 = s Vi multiplicerar sedan alla termer med k och får: ak + a k 2 + a k 3 + a k 4 + a k 5 + + a k n-1 + a k n = ks Om vi subtraherar denna rad med den närmast föregående får vi: a k n a = ks s eller a k n a 1 = ks s 1 Eftersom 5 3-5 1=5(3 1) får vi a(k n 1) = s(k 1) a ( k 1 ) Summan, s, av n termer i en geometrisk talföljd: s = k 1 Det n:e elementet i en geometrisk talföljd: an a = a k a n-1 n 15

Modell Geometrisk talföljd Exempel 1 Vad blir 3 + 21 + 147 + 1029 + 7203? Lösning Enklast är naturligtvis att bara addera termerna, men vi använder formeln för summa. Varje term fås ur föregående genom multiplikation med 7. 3(7 5 1) Alltså k = 7, a = 3, n = 5 och s = = 8403 7 1 Exempel 2 Om jag vet att det 7:e talet i en geometrisk talföljd är 95 och att det 15:e talet är 3950, hur stor är då kvoten i denna geometriska talföljd? Lösning Vår geometriska talföljd har utseendet a, ak,..., ak 6,..., ak 14, Där ak 6 =95, och ak 14 =3950, och vi vill bestämma k. Alltså är 3950/95 = ak 14 /ak 6 =95k 8, vilket medför k=(3950/95) 1/8. G2.1 Sima som har ärvt 230 000 kr placerar dessa på ett riksgäldskonto som har en räntesats på 3,8 %. Hur mycket finns på kontot efter 5 år om 30 % av räntan går till skatt varje år. G2.2 En TV kostar 6990. Johan får 10% rabatt men måste även betala 25% moms. Vilka två ändringsfaktorer påverkar priset Johan skall betala för TV:n. G2.3 En akties värde ökar tre år i rad. Värdeökningarna är 28%, 20% och 12%. Bestäm den totala värdeökningen under de tre åren. Svara i procentform med tre gällande siffror. G2.4 Förändringsfaktorn är användbar när flera procentuella förändringar sker efter varandra. En stor fördel är att något ursprungsvärde inte behövs när den totala procentuella förändringen ska bestämmas. Råvarupriset för bärnsten förändrades på följande sätt under fyra år: +12 %, 7 %, 3 % och +8% Hur stor blir den totala förändringen? G2.5 I ett flersiffrigt tal givet i decimalsystemet byter man plats på hundratalssiffran och entalssiffran. Det nya talet blir exakt 30% mindre än det ursprungliga talet. Vilket var det ursprungliga talet? 16

Fundera på detta Priset på en TV sänks med 20 %. En månad senare höjs priset med 20 %. Kostar TV:n nu mer, mindre eller lika mycket som den gjorde från början? Modell Årliga insättningar Exempel Emilia sätter in 3000 kr vid varje årsskifte (från och med årsskiftet 2001/2002 till och med årsskiftet 2006/2007) på ett konto som ger 3,0 % ränta. Hur mycket finns på bankkontot efter den sista insättningen? Lösning Värdet av alla insättningar är vid årsskiftet 2006/2007 enligt formeln för geometrisk summa: 3000 + 3000 1,03 1 + 3000 1,03 2 + 3000 1,03 3 + 3000 1,03 4 + 3000 1,03 5 kr = 6 3000 1,03 3000 kr = 19405 kr 1,03 1 17

G2.6 Beräkna det 8:e talet i talföljden a n = 5 2,4 n-1 G2.7 Bestäm det 14:e elementet i talföljden 1000, 700, 490, G2.8 Vilken är kvoten till talföljden 2, 6, 18, 54, G2.9 Beräkna det 11:elementet i den geometriska talföljd där a 1 = 10 och k = 1,2. G2.10 Beräkna summan av de 11 första talen i den geometriska talföljd där a 1 = 5 och k = 1, 5. G2.11 Beräkna summan 2600 + 2600 1,029 1 + 2600 1,029 2 + 2600 1,029 3 + + 2600 1,029 4 + 2600 1,029 5 + 2600 1,029 6 + 2600 1,029 7 + 2600 1,029 8 + + 2600 1,029 9 + 2600 1,029 10 G2.12 Mahsa sätter in 4700 kr i början av varje år i ett försäkringsbolag med räntesatsen 3,4 %. Hur mycket finns på hennes konto efter 6 insättningar? G2.13 Ett företag avsätter 0,6 Mkr till en investeringsfond varje årsskifte från och med årsskiftet 1998/1999. Hur stor är investeringsfonden 2006, om fonden väntas förränta sig med 5 %? G2.14 En patient vill bli av med sitt beroende av en medicin. Han trappar ned den dagliga dosen med 30 % varje dag. Hur mycket medicin går åt om han vill att nedtrappningen skall ske på en vecka. Innan han sätter igång med att minska dosen tog han 150 mg varje dag. 18

G2.15 Karin är 25 år och bestämmer sig för att ta en pensionsförsäkring. Av ett försäkringsbolag får hon veta att den garanterat lägsta årliga räntesatsen är 4 %. Hon bestämmer sig för att spara 3 000 kr i början av varje år. Hon tänker göra den första inbetalningen det år hon fyller 26 och den sista inbetalningen det år hon fyller 65. Hur mycket är hennes pensionssparande värt just efter den sista inbetalningen om räntesatsen är 4 %? Skatt på sparandet betalas först när pensionen betalas ut. (NpC vt 98) G2.16 För att en viss medicin ska få avsedd effekt behöver en patient ha 15 mg av medicinen kroppen. Om man ger hela denna medicinmängd på en gång finns risk för allvarliga biverkningar. Patienten får därför små doser medicin med en timmes mellanrum. Efter 10 sådana lika stora doser upphör medicineringen och patienten ska då ha 15 mg av medicinen i kroppen. Hur stora skall dessa doser vara, om man vet att medicinen börjar verka omedelbart och att 16 % av den bryts ner i kroppen per timme? (NpC vt 96) 19

Modell Annuiteter och amorteringar Exempel Den som tar ett lån måste förutom räntan också betala lånebeloppet. Dessa inbetalningar som ofta sker efter en plan kallas amorteringar. Om du har fått ett lån på 10 000 kr och långivaren och du kommit överens om en amortering på 1000 kr per år så får du (om räntesatsen är 9 %) efter första året betala (1000 + 10000 0,09) kr, efter andra året (1000 + 9000 0,09) kr, efter tredje året (1000 + 8000 0,09) kr och så vidare. Du kan nu se att ränta plus amortering minskar från år till år. Varför? Banker tillämpar nu ofta en annan princip: Man gör upp en plan som går ut på att summan av ränta och amortering, annuiteten, är lika stor varje år. Vi beräknar nu annuiteten i exemplet ovan. Lösning Antag att annuiteten är x kr. När den sista annuiteten är betald så skall lånets värde vara lika med de inbetalda Annuiteternas nuiteternas sammanlagda värde. Lånet har efter tio år värdet: 10000 1,09 10 kr = 23674 kr. 20

De sammanlagda annuiteterna har efter tio år värdet x 1,09 9 + x 1,09 8 + + x 1,09 7 + x 1,09 6 + x 1,09 5 + x 1,09 4 + x 1,09 3 + x 1,09 2 + x 1,09 1 + x = 10 10 x 1,09 x 1,09 1 = = x = 15,193x 1,09 1 1,09 1 Alltså får vi ekvationen 15,193x = 23674 vilket ger x = 1558 Annuiteten är 1558 kr V2.1.17 Eddie skall betala tillbaka ett lån på 30000 kr, som han tog årsskiftet 1998/1999, med fem lika stora annuiteter så att den sista annuiteten betalas vid årsskiftet 2003/2004. Hur stora skall annuiteterna vara om räntesatsen är 10,25 %? V2.1.18 Jens sätter in lika stort belopp i början av varje år på ett bankkonto med räntesatsen 3,4 %. Hur mycket sätter han in om det två år efter den tionde och sista insättningen ska finnas 45000 kronor på kontot? Avrunda svaret till hela kronor. V2.1.19 Ett bostadsrättslån på 800 000 kronor ska börja återbetalas två år efter det att lånet tagits. Hur stor ska varje annuitet vara om lånet ska vara återbetalt i och med den tjugonde annuiteten och den bundna räntesatsen är 7,2 %? V2.20 20 Hugo tar ett lån på sitt hus på 750 000 kr. Det skall amorteras med 30 000 kr per år. Räntesatsen är 6,5 %. Hur stor blir den första och den sista inbetalningen (ränta på kvarvarande lån + amortering)? V2.2.21 Hugo betalar i stället sitt lån genom 25 lika stora annuiteter, där den första erläggs efter ett år. Hur stor blir annuiteten? 21

Modell Kreditkort Exempel Johan skaffar ett kreditkort rt den 1 januari år 1 (t ex år 2011). Han köper samma dag en 42'' LED-TV. Hans tanke är att vid varje lönetillfälle, den sista i varje månad, första gången den sista februari år 1, sätta in ett belopp på bankgirot som är knutet till hans kreditkort. Den första mars börjar räntan att ticka med procenten, p, på krediten. Observera att p% i decimaltal blir p/100. Därmed kan man skriva räntefaktorn p (=förändringsfaktorn): (1 + ) 100 (Banken ger högst två månaders kredit. Köp under januari, t ex Johans LED-TV, tickar ränta fr o m den första mars.) p Banken beräknar räntan månadsvis [dvs räntan blir %] vilket 12 p innebär att räntefaktorn är (1 + ) Vi använder variabeln n för 1200 antalet månader som passerat sedan den första mars. Johans skuld efter n månader är 0 (1+ p 1200 ) n K (om han inte gör några inbetalningar). Vi antar att Johan sätter in K kr på bankgirot (knutet till krediten) i slutet på varje månad fr o m månaden med n-värdet = 0 t o m månad n. Enligt 'Modellen - Årliga insättningar' är värdet på dessa insättningar: p n+1 K (1+ ) K 1200 p 1+ 1 1200 Eftersom Johans skuld till banken är: p n+1 K (1+ ) K 0 (1+ p 1200 ) n K 1200 p får detta belopp inte överskrida 1200 kreditgränsen som han har på sitt kreditkort. 22

Om du har tillgång till GeoGebra-programmet: Kredit för simuleringar lös uppgiften V2.22. V2.22 Vi antar att TV:n kostar 19 000 kr samt att Johans kreditgräns är 20000 kr a) När drar banken tillbaks krediten om Johan inte gör några inbetalningar dvs K = 0. b) Räcker månadsinbetalningar på 100 kr? c) 200 kr? d) 300 kr? V2.2.23 Sara har genom hårt arbete sparat ett kapital på 300 000 kr till sin pensionering årsskiftet 2011/2012. Pengarna är placerade på ett konto som ger 5% ränta per år. Naturligtvis tar staten sin vanliga skatt på 30% av räntan vid varje årsslut. Sara hade tänkt att ta ut 30 000 kr per år vid varje års början från och med 2012/2013. Till hur många hela uttag räcker kapitalet. Lös gärna problemet med kalkylprogram. 23

Facit G1.1 a) 45 b) 15,75 c) 72 d) 56 e) 39,6 f) 0 g) 0,375 h) 0,56 G1.2 a) 8,17% b) 8,04% c) 0,36% G1.3 a) +32% b) 33% c) 85% d) +167% e) 11,5% G1.4 [A-uppgift] 0,85 4695 = 3991 kr G1.5 [A] 31,6 km G1.6 [A] 164 liter G1.7 [A] 0,25 795 kr = 199 kr G1.8 [B] 15/21 = 71% G1.9 [A] 84360 kr G1.10 [A] 0,60 14 km = 8,4 km G1.11 [C] 96/0,20 kr = 480 kr Alltså fick hon räknedosan för 480 96 kr = 384 kr G1.12 [A] 1,15 160000 kr = 184000 kr G1.13 [C] 161000/1,15 kr = 140000 kr G1.14 [C] 10000/0,03 ton = 330000 ton G1.15 [C] 600 personer G1.16 [A] 1,25 180 = 225 kr G1.17 [B] 4/20 = 20% G1.18 [B] 620/1070 = 57,9% 24

G1.19 [A] 0,90 0,90 90000 = 72900 kr G1.20 [B] 5700 / (5700 + 135800) = 4,0 % G1.21 [A] 0,945 3 940 = 793 invånare G1.22 [A] 1,065 3 390 = 471 kr G1.23 [B] 30 = 16% 30+ 155 G1.24 [A] 2090 kaniner G1.26 [B] 78/85 = 0,918 Han har alltså gått ner 8,2% G1.27 [C] 1200 personer G1.28 [C] 4900 kronor G1.29 [A] 2560 kr G1.30 [B] [ (2,4 0,445 0,407)/2,4 = 64,5 % G1.31 [A] 1,08 1,05 = 1,134 Priset totalt ökat med 13,4% G1.32 [A] 1,03 1,04 1,05 = 1,125 Befolkningen har alltså ökat med 12,5% G1.33 [A] 70,3% G1.34 [C] 123 / 0,83 =148 cm G1.35 [C] 1,11 x = 17650 x = 15900 kr G1.36 [A] 1,02 10 = 1,219 Aktien har totalt ökat med 21,9% G1.37 [B] 22/546 = 4% G1.38 [A] 0,85 0,85 = 0,7225 Priserna är sänkta totalt 28% G1.39 [A] 21,2% G1.40 [A] 1,025 0,981 0,988 1,029 0,993 = 0,9865 Aktiens totala förändring under fem dagar är +1,5 % 25

G1.46 [C] 10,7/1,07 = 10 A G1.42 [A] +20,5% G1.43 [C] 2,18 miljarder euro G1.44 [C] Hela citrusskörden är 223/0,71 = 314 miljarder st Denna väger 0,2 313 10 9 kg = 6,3 10 10 kg G1.45 45[B] 5700 / 2700 = 2,11 Antalet behandlingar ökade med 111 % G1.46 [A][ 0,08 0,65 5000 = 260 kr 16u G1.47 47[B] = 16/46 = 34,8% 2 12u+ 6 u+ 16u G1.48 [A] Mängden salt är 0,03 500 = 15 g. Antag att x g vatten skall avdunsta. [B] 15 500 x = 0,05 vilket ger 15 = 0,05(500 x) med lösningen x = 200. Det skall avdunsta 200 g salt. G1.49 Antag att det behövs x dl 12% ättiksprit. [A] Mängden ren ättika är 0,12 x + 0,24 2. Den totala mängden är (x + 2) [B] 0,12 x+ 0,48 = 0,16 vilket ger 0,12x + 0,48 = 0,16x + 0,32 förenklat till 0,16 = x+ 2 0,04x med lösningen x = 4 Det behövs 4 dl 12% ättiksprit. G1.50 Antag att den yngste skall ha x kr. [C] 1,50x +1,25x +x = 450 000 3,75x = 450 000 med lösningen x = 120 000 De skall ha 180 000 kr, 150 000 kr och 120 000 kr. G1.52 Eftersom valdeltagandet var 51 % så röstade 0,51 0,48 = 0,24 (=24 %) % på Al Gore och lika många på George W Bush. G1.53 blåa ögon Icke blåa ögon Ljushåriga a b Icke ljushåriga c d Vi vet att a a + b > a + c a + b + c + d Alltså blir svaret ja på frågan. Alltså är även G1.54 a) 10 promille-enhet enheter er b) [B] 1/5,5 = 18% 26 a a + c > a + b a + b + c + d

G1.55 [A] 0,009 300 g = 2,7 g G1.56 [B] Andelen elever från yrkesprogrammen ändras från 3/8 till 4/8, dvs från 37,5% till 50%. a) Andelen ökar med 12,5 procenrenheter 12,5% b) = 0,333.. dvs 37,5% 33% G1.57 a) 5 ppm b) 450 ppm G1.58 a) 3/300000 = 10 ppm b) 0,14/35 = 4 G1.59 0,3 10-6 93 10 6 cm 3 = 28 cm 3 = 28 ml G1.60 Volymen 0,90 av 4,9 liter alkohol = 0,0009 4,9 = 0,00441 l = 4,41 cm 3 (ml). G1.61 Mängden guld är 3,70 10-6 115 10 6 g = 426 g. G1.62 Den rika världen förbrukar 0,8/0,2 (= 4) andelar av resurserna per person. Den övriga världen förbrukar 0,2/0,8 (= 0,25) andelar av resurserna per person Alltså förbrukar den rika världen i genomsnitt [(4/0,25) 1] = 15 gånger mer (= 1500 %) mer än den fattiga delen av världen. 2.1 Efter 5 år har Sima 230000 (1 + 0,038 0,7) 5 kr = 262261 kr 2.2 De två ändringsfaktorerna är 0,9 och 1,25. 2.3 1,28 1.20 1,12 = 1,720 dvs +72,0% 2.4 1,12 0,93 0,97 1,08=1,091 dvs +9,1% 2.5 Värdet av det första antas vara x + 100a + b. Värdet av det andra antas vara x + 100b + a. Alltså är 0,70(x + 100a + b) = x + 100b + a 69a 99,3b = 0,3x 230a 331b = x. Använd nu ett kalkylprogram för att avgöra vilka kombinationer av a och b som ger nollor i både hundratal och ental. Du vet att 230a 331b > 0. Varför? Detta innebär att a > b. a = 9 och b = 0 är det enda talpar som ger en nolla i både hundratals- och entalssiffran, vilket ger x = 2070 och talet 2970. Kontroll: 0,7 2970 = 2079, som är korrekt. 2.6 a 8 = 5 2,4 8-1 =2293 2.7 a 14 = 1000 0,7 13 =9,69 27

2.8 Kvoten är 3 2.9 a 11= 10 1,2 10 = 61,9 2.10 2.11 2.12 2.13 11 5(1,5 1) s = = 855 1,5 1 11 2600(1,029 1) s = = 33130 1,029 1 6 4700(1, 034 1) s = = 30708 (kr) 1,034 1 9 0, 6(1,05 1) s = = 6, 616(Mkr) 1,05 1 2.14 Hans doser är 150 0,70; 150 0,70 2 ; 150 0,70 3 ; 150 0,70 4 ; 150 0,70 5 ; 150 0,70 6 ; 150 0,70(0,70 1) 150 0,70 7 ; Medicinen som åtgår är mg = 321mg 0,7 1 2.15 Värdet av de 40 sparade beloppen är Hans doser är 150 0,70; 150 0,70 2 ; 150 0,70 3 ; 150 0,70 4 ; 150 0,70 5 ; 150 0,70 6 ; 150 0,70 7 ; Medicinen som åtgår är 40 3000(1,04 1) mg = 285078kr 1,04 1 x(0,84 1) 2.16 Antag att doserna skall vara på x mg. Alltså gäller = 15 Ekvationen 0,84 1 har lösningen x = 2,9. Dosernas storlek bör vara 2,9 g 2.17 Lånet har efter fem år värdet: 30 000 1,1025 5 kr = 48867 kr. De sammanlagda x(1,1025 1) annuiteterna har efter 5 år vuxit till = 16,1356 x. Alltså får vi ekvationen 1,1025 1 16,1356x = 48867 vilket ger x = 7965 kr. Annuiteten är 7 965 kr 2.18 Antag att Jens sätter in x kr i början på varje år. Hans insättningar är två år efter den sista värd; x 1,034 2 + x 1,034 3 + x 1,034 4 + x 1,034 5 + x 1,034 6 + +x 1,034 7 + 1,034 x (1,1034 1) +x 1,034 8 + x 1,034 9 + x 1,034 10 + x 1,034 11 = = 12, 4849 x. 1,1034 1 Eftersom de tio insättningarna är värda 45 000 kr får vi 12,4849x = 45 000 vilket ger x = 3604 Jens sätter in 3604 kr tio år i rad 5 7 10 2 10 28