Geometri och Trigonometri

Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner och formler. Summan av vinklarna i en triangel är alltid 8. Vi definierar två typtrianglar. Definition 5. Typtriangel. Denna har vinklarna 3, 6 och 9. Typtriangel. Denna har vinklarna 45, 45 och 9. Sats 5. För typtriangel gäller att sidorna har förhållandet: : 3: För typrtiangel gäller att sidorna har förhållandet: ::. Definition 5.3 Vi definierar begreppet area påföljande sätt. För arean A hos en rektangel med sidorna a och b gäller att A = ab. Vi kräver dessutom att arean hos ett sammansatt geometriskt föremål ska vara summan av delarnas area.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI c c a a 3c a Figur 5.: Typtriangel respektive. Sats 5.4 Beteckna höjden i en triangel med h, samt basens längd med b. Då gäller för arean A att: A = h b. Bevis: Vi gör ett geometriskt bevis. Beteckna arean med A.Vibör visa att A = bh/. Ta två identiska trianglar med basen b och höjden h. Se figuren nedan. Sätt den ena uppochner på den andra, så attettparallellogram fås. Detta har arean A, eftersom det består av två trianglar som vardera har arean A. Klipp loss den ena sidofliken, längs höjden på den ursprungliga triangeln och foga den till den andra kanten. Vi har nu fått en rektangel med kantlängderna b och h. Dessareaär summan av arean av dess delar, så A = bh A = ab. h h h b b b

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 3 Sats 5.5 Pythagoras sats. Antag att a och b är längderna av kateterna och c är längden av hypotenusan i en rätvinklig triangel. Då gäller att a + b = c. c b a Figur 5.: Pythagoras sats: a + b = c. Bevis: Vi gör igen ett geometriskt bevis. Ta fyra rätvinkliga trianglar med katetlängderna a och b och låt hypotenusans längd vara c. Vi bör visa att a + b = c. Placera ut de fyra trianglarna i en kvadrat så, att de räta vinklarna blir kvadratens hörn. Då har denna stora kvadrat arean (a + b)(a + b) =(a+b). Den stora kvadraten består av en mindre kvadrat, som har kantlängden c och således arean c, och fyra trianglar som vardera har arean ab/. Klart att totala arean hos den stora kvadraten ska vara densamma som summan hos dess delar. (Se figuren nedan.) Vi skriver upp detta. (a + b) = c +4 ab a +ab + b = c +ab a + b = c

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 4 a b b c c a a c c b b Figur 5.3: Figuren till beviset för Pythagoras sats. a Definition 5.6 Likformiga figurer är identiska, så när som på attdeär olika stora. (Vi tillåter rotation.) Vi definierar längdskalan k som förhållandet mellan längden hos motsvarande delar i figurerna. Eventuella motsvarande vinklar är lika stora och om figurerna har area, så är förhållandet mellan areorna k. Sats 5.7 En cirkel med radien r har omkretsen O resp arean A: O =πr och A = πr Talet π, förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter, är irrationellt och har närmevärdet 3, 4593.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5 5. Vinklar och vinkelenheten radian Studera figuren med en cirkel inritad nedan..5.5.5.5 Figur 5.4: Grafen av cirkeln med mittpunkt i origo och radien. Denna cirkel kallas allmänt för enhetscirkeln. Denna cirkel, med radien och mittpunkten i origo kallas enhetscirkeln. Eftersom r = är omkretsen av cirkeln π. När vi mäter storleken av en vinkel vore ett naturligt sätt att ange hur lång bågen inuti vinkeln är. Definition 5.8 Storleken av en vinkel i radianer (betecknas rad) är mätetalet för längden av motsvarande båge i enhetscirkeln. 3 π Figur 5.5: Vinkeln π. Detta är den sträcka av enhetscirkelns periferi som 3 finns mellan vinkelbenen.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 6 Vi har att 36 =πrad,så = 36 πrad. Detta ger oss följande samband mellan radianer och grader: α 36 = t π där t är vinkeln i radianer och α är samma vinkel i grader. Exempel 5.9 Hur många grader är 3 πrad? Lösning: α är okänt i exemplet. t = π rad. Detta ger 3 α 36 = π 6π α = 3 36 =. Exempel 5. Hur många radianer är 5? Lösning: Här är t okänt. Vi får: 5 36 = t π t = 5 8 π = 5π 4 Vinkeln t mätt i radianer anger hur lång väg vi rört oss motsols längs enhetscirkelns periferi (positiv riktning). Vi kommer inte att begränsa denna sträcka till ett varv, så vi kan ha vinklar större än π. Vi kommer även att tillåta negativa vinklar, vilket alltså svarar mot att vi rör oss medsols. Mot varje t R svarar exakt en periferipunkt P på enhetscirkeln. Omvänt svarar varje punkt på enhetscirkeln mot följande (oändligt många) reella tal t + n π n Z. Radianvinkeln t är entydigt bestämd på varvet när, så om vi begränsar oss till vinklar t [, π[, fås att varje P svarar mot exakt t. (Avbildningen från P till t är en bijektion.)

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 7 Exempel 5. Bestäm vinkeln t [, π[ som svarar mot samma periferipunkt som vinkeln t = 37 π. 6 Lösning: Eftersom 37 π kan skrivas som 6 π 6 +( 4) π och π [, π[, 6 har vi bestämt t. t = π 6. Motivering: Om vi dividerar vinkeln med π, såfår vi reda på hurmånga hela varv vi har snurrat, i detta fall 37π/6/π = 37/ = 3 hela / varv. Vi får alltså attt =t 4 π,dåvikräver att t ska vara en positiv vinkel, mindre än ett helt varv.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 8 5.3 Trigonometri - den rätvinkliga triangeln Definition 5. För en spetsig vinkel α, (< π ), i en rätvinklig triangel gäller (jfr figuren): c a α b Figur 5.6: Vinkeln α i den rätvinkliga triangeln med motstående kateten a, närliggande kateten b samt hypotenusan c... 3. 4. sin α = a c cos α = b c tan α = a b = motstående katet hypotenusan = närliggande katet hypotenusan = motstående katet närliggande katet cot α = tan α

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 9 Exempel 5.3 En (spetsig) vinkel i en rätvinklig triangel uppmäts till 5 π Vinkelns närliggande katet uppmäts till 5. cm. Beräkna triangelns övriga delar. Lösning: Betecknar den uppmätta vinkeln med α. Eftersom vinkelsumman i en triangel är π erhålls vinkeln β (jämför figuren): β c a α b β = π Längden hos sidan a erhålls: ( 5π + π ) = π. tan α = a b a = b tan α 8.7. Längden på c är: cos α = b c c = b cos α 9.3. Längden av c kunde vi alternativt ha beräknat m.hj.a. Pythagoras sats: c = a + b 8.7 +5. = 374.69 = c 9.4 Anmärkning 5.4 Minns att ändra till rad påräknaren!!!

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5.4 Enhetscirkeln (cos t, sin t) Vi vill undersöka sin för vinkeln t. Vi ritar in en rätvinklig triangel i enhetscirkeln. Eftersom sin t = motstående katet, hypotenusan så fås sint som höjden genom hypotenusan. I enhetscirkeln gäller det att hypotenusan har längden. Vinkeln t svarar mot en periferipunkt (x, y). Höjden är y. Därför gäller det att: sin t = y = y. På motsvarande sätt gäller det för cos t att denna är: cos t = x = x. Definition 5.5 Sinus och cosinus för det reella talet t, definieras i enhetscirkeln med hjälp av motsvarande periferipunkt. sin t = Periferipunktens y-koordinat cos t = Periferipunktens x-koordinat En periferipunkt har koordinaten (cos t, sin t), där t är längden längs med enhetscirkeln.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI Funktionerna sin t och cos t har D = R och V =[,]. Utgående från tidigare införda definitioner på tangens och cotangens erhålls: tan t = y x = sin t cos t och cot t = x y = cos t sin t. Definitionsmängden för tan är alla reella tal, utom de punkter där vi har cos t =. Detta är punkterna (, ) och (, ) på enhetscirkeln. I dessa punkter är t = π + nπ. Det gäller alltså att: { } π D tan t = R\ + nπ n Z. För värdemängden gäller att: V tan t = R. Detta kan man förstå genom att studera den geometriska tolkningen av tangens. (Se figuren nedan.) Eftersom höjden i en triangel inskriven i enhetscirkeln kan tolkas som sin t och basen som cos t gäller följande sats. Sats 5.6 Pythagoras sats tillämpad på enhetscirkeln ger direkt att för varje t R. π sin t +cos t= För tecknet på de trigonometriska funktionerna gäller att: <t< π π π<t<3π 3π sin t + + cos t + + tan t + + För <t< π säger man att vinkeln ligger i den första kvadranten. För <t<πsägs t ligga i den andra kvadranten o.s.v.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI (,tan t) t sin t cos t y Figur 5.7: Tangens för vinkeln t kan uppfattas som y-koordinaten för skärningspunkten mellan den utdragna linjen genom punkterna (, ) och (cos t, sin t) och linjen x =. Detta tack vare, att y/ =sint/ cos t =tant, enligt teorin om likformiga figurer. + + + + + + Figur 5.8: Teckenväxlingarna hos sin t, costrespektive tan t.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 3 Exempel 5.7 Bestäm sin t och cos t då tan t = 3 och t ] π,π[. Lösning: Eftersom sin t cos t =tant= 3 måste det gälla att: sin t = 3cost. Det gäller att Insättning av sin t = 3cost ger sin t +cos t=. 9cos t + cos t = cos t = cos t = ± Eftersom cos t<i det angivna intervallet förkastas den positiva lösningen. Nu gäller det att sin t = 3cost= 3. 5.5 Några rekursionsformler Tidigare har vi konstaterat att: Räkneregler 5.8 För t R gäller att:. sin(t +nπ) =sint t R, n Z.. cos(t +nπ) =cost t R, n Z. 3. tan(t + nπ) =tant t R\{mπ + π/ m Z}. Exempel 5.9 Räkneregel : cos( 7π) =cos(π 8π)=cosπ= Ytterligare gäller följande formler. De finns alla i MAOLSs Tabeller, så det är ingen idé att börja lära sig dessa utantill. Vid tenttillfället har kan man få låna en motsvarande samling trigonometriska formler ifall man inte har tillgång till MAOLs.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 4 Räkneregler 5. Följande ekvationer gäller.. sin(π t) =sint,t R.. cos(π t) = cos t, t R. 3. tan(π t) = tan t, t R \{nπ + π/ n Z}. 4. sin(π + t) = sin t, t R. 5. cos(π + t) = cos t, t R. 6. sin( t) = sin t, t R. 7. cos( t) =cost,t R. 8. tan( t) = tan t, t R \{nπ + π/ n Z}. Dessa räkneregler kan motiveras geometriskt. Från de tre sista räknereglerna och definitionen på udda och jämn funktion ser vi att cos t är en jämn funktion, medan sin t och tant är udda. π t π +t t t Figur 5.9: Räknereglerna kan motiveras med hjälp av denna figur.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5 Exempel 5. Bestäm exakt värde för ( 3π sin 4 Lösning: ( 3π sin 4 ) ). =sin(π 3π 4 )=sinπ 4 =. 5.6 De trigonometriska funktionernas grafer Vi skall se på graferna av funktionerna f(x) =sinx g(x)=cosx h(x)=tanx. Vi har följande egenskaper för f(x) =sinx:. sin =.. sin x är en udda funktion. Detta innebär att den är symmetrisk m.a.p. origo. 3. Kurvan är periodisk med perioden π, dvs. t R : sin(t+π)=sin(t). 4. Kurvan skär x-axeln i x = nπ där n Z. 5. Funktionens största värde är och dess minsta värde är -. Det största värdet antas för x = π +nπ, n Z och det minsta för x = 3π +πn, n Z.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 6.5.5 x= x= π x=π x= 3 π 5 4 3 3 4 5 Figur 5.: Grafen för f(x) =sinx.. Vi har följande egenskaper för g(x) =cosx:. cos =.. cos x är en jämn funktion. Detta innebär att den är symmetrisk m.a.p. y-axeln. 3. Kurvan är periodisk med perioden π. 4. Kurvan skär x-axeln i x = π + nπ där n Z. 5. Funktionens största värde är och dess minsta är -. Maximivärdet antas för x =πn, n Z och minimivärdet för x = π +πn, n Z.,5.5 x= π x= 3 x= π x=π 5 4 3 3 4 5 Figur 5.: Grafen för g(x) =cosx.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 7 Vi har följande egenskaper för h(x) =tanx:. tan =.. tan x är en udda funktion. Detta innebär att den är symmetrisk m.a.p. origo. 3. Kurvan är periodisk med perioden π. 4. Tangensfunktionen är odefinierad för x = π + nπ, n Z 5. och strängt växande mellan dessa x-värden. 3 π π π π π 3 π 4 4 4 4 Figur 5.: Grafen för h(x) =tanx.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 8 5.7 Trigonometriska formler Alla dessa formler finns igen i MAOLs. Följande trigonometriska formler gäller. Välj alltid antingen de övre eller de undre tecknen samtidigt. Om man blandar gäller formlerna inte. Räkneregler 5. Additionsformler:... 3. sin(x ± y) =sinxcos y ± cos x sin y, cos(x ± y) =cosxcos y sin x sin y, tan x ± tan y tan(x ± y) = tan x tan y, där x, y, x ± y mπ + π/ för varje m Z. x, y R x, y R Exempel 5.3 Bestäm sin(x y) då sin x = och cos y =.Detgäller 4 3 att <x,y< 3π. Lösning: Vinkeln x ligger i den tredje kvadranten, eftersom sin x<och vi antar att <x<3π/, dvs. vi utesluter den fjärde kvadranten. Vinkeln y måste på motsvarande sätt ligga i den första kvadranten eftersom cos y>. För att bestämma sin(x y) behöver vi förutom sin x och cos y känna till cos x och sin y. Dessa uträknas ur sambandet: sin x + cos x =. Det gäller alltså att: sin x = ( 4 = cos x = ± ) 5 5 = ± 4 6 = ± 4 Eftersom x ligger i den tredje kvadranten är cos x<: Vidare gäller det att: cos x = 5 4. cos y = ( ) 5 5 3 = sin y = ± = ± 3 9 = ± 3.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 9 Vinkeln y tillhör den första kvadranten, och vi kan sluta oss till att: 5 sin y = 3. Insättning i formeln sin(x ± y) =sinxcos y ± cos x sin y ger: sin(x y) = ( 5 ) 43 5 4 3 = + 5 3 = 5 3. Två vinklar vars summa är π kallas komplementvinklar. Följande regler gäller för dessa: Räkneregler 5.4 För komplementvinklar gäller:.. ( π ) sin α =cosα, ( π ) cos α =sinα, α R α R 3. 4. ( π ) tan α =cotα, α R \{nπ n Z} ( π ) cot α =tanα, α R \{nπ + π/ n Z} π α c a α b Figur 5.3: Räknereglerna för komplementvinkel ses enkelt i denna figur. Exempelvis fås sinα = a/c = cos(π/ α) och tanα = a/b = cot(π/ α).

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI Räkneregler 5.5 Formler för dubbla vinklar:.. sin t =sintcos t cos t =cos t sin t =cos t = sin t 3. tan t = (Där respektive uttryck är väldefinierat.) Exempel 5.6 Härled en formel för Lösning: Eftersom vi kan skriva cos x som: gäller det att: sin x. tant tan t cos x =cos( x )= sin ( x ) sin x cos x = ±.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5.8 Trigonometriska ekvationer Vi skall i denna sektion lösa trigonometriska ekvationer. 5.8. Ekvationer av formen f(x) =f(y) I denna sektion löses uppgifter av formen sin x =siny,cosx=cosyoch tanx = tan y. Vi låter x, y vara reella variabler, i detta fall vinklar. Bokstäverna u, v betecknar axlarna i det koordinatsystem där enhetscirkeln är inritad. u står för den vågräta axeln och v står för den lodräta axeln. Allmänt låter vi även n Z. Vi delar in ekvationerna i tre typer. sin x =siny När x och y är två vinklargäller ekvationen sin x = siny om x = y eller π x = y, påvarvetnär. Detta innebär att sin x och sin y har samma v-koordinat. samma v koord. v v π y y u y π+y u Figur 5.4: sinx = siny. Till vänster åskådliggörs att siny = sin(π y) och till höger visas idén med uttrycket på varvet när, dvs. för varje heltal n gäller att sin y =sin(y+πn). Alltså gäller det att: sin x =siny x = y +πn x = π y +πn. Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 5 kapitel.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI cos x =cosy Ekvationen cos x = cosygäller om perferipunkten för vinklarna x och y har samma u-koordinat. Dessa är lika om x = y eller om x = y, påvarvet när. v y y samma u koord. u Figur 5.5: cos x =cosy Det gäller alltså att: cos x =cosy x = y +πn x = y +πn. tan x =tany För ekvationen tan x =tanymåste man först försäkra sig om att båda leden är definierade, d.v.s. att x, y π + nπ n Z. Tangensfunktionen π-periodisk, så att tan x = tan(x+nπ) för varje heltal n. Det faktum att tangensfunktionen är strängt växande (och därför injektiv) i varje intervall med längden π på formen I n = ] nπ π,nπ+ π [, n Z ger för x, y i samma intervall I n att tan x =tany x = y. Med beaktande av π-periodiciteten fås sammanfattningsvis att tan x =tany x = y + nπ.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 3 Exempel 5.7 Lös ekvationen sin x =sin3x Lösning: D = R. Detmåste enligt lösningsformeln för sinusekvationer gälla att x =3x+πn x = π 3x +πn n Z. Vi löser de två fallen separat.. x =3x+πn x =πn x = πn. x = π 3x +πn 4x =(n+)π x =(n+)π/4 Alla x som kan skrivas på någon av ovanstående former (n Z) löser ekvationen, så { n+ L = {πm m Z} π } n Z. 4 Exempel 5.8 Lös ekvationen ( cos x = sin x π ). 4 Lösning: D = R. Denna ekvation är inte på en form som gör att vi direkt kan tillämpa lösningsformeln. Vi kan dock omskriva ekvationen med hjälp av formlerna för trigonometriska funktioner. Detta görs som följer: cos x =sin ( π x ). (komplementvinkel) Minustecknet framför HL i ekvationen fås bort genom att tillämpa att sinusfunktionen är udda. Vi får: ( sin x π ) ( =sin x+ π ) 4 4 Lösningsformeln kan nu tillämpas på den omskrivna (ekvivalenta) ekvationen: ( π ) ( sin x =sin x+ π ). 4 Vi får: π x = x + π 4 +πn π x = π +x π 4 +πn. π x = x + π +π x = π +πn falskt n Z 4 4. π x = π +x π +πn 4x = π +πn x = π + n π 4 4 6 Fall ger inget bidrag, så lösningsmängden blir L = { π 6 + n } π n Z.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 4 Imånga fall kan exemplen kräva uppfinningsrikedom och omskrivningar, som synes. Exempel 5.9 Lös ekvationen: sin x = 3cos x Lösning: Vi har D = R. Denna ekvation kan, under antagande att x π+πn skrivas som sin x cos x =tan x = 3. Eftersom tan π = 3 kan vi skriva detta som 3 Detta ger bidraget tan x =tanπ 3. x = π 3 + nπ x = π 3 +πn. Vi måste ännu undersöka vad som händer ifall x = π +πn. Dåär sin(x/) = sin(π/+πn) = ±och cos(x/) = cos(π/+πn) =. Ekvationen blir alltså ± =, dvs. dessa x löser inte ekvationen. Vi får L = Exempel 5.3 Lös ekvationen: { } π 3 +πn n Z. cos x 3sinx+= Lösning: D = R. Här kan vi försöka oss på en omskrivning. Eftersom vi har att cos x = sin x,så kan vi istället lösa ekvationen Genom variabelbytet t =sinxfås: sin x 3sinx+=. t 3t += Detta är en andragradsekvation som har lösningarna: t = 3 ± 9 4( ) 4 = 3 ± 5 4

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5 t = t =. Lösningen t = förkastas eftersom sin x. Vibehöver nu lösa ekvationen sin x = =sinπ 6. Vi får alltså följande lösningar: x = π 6 +πn x = π π 6 +πn x = π 6 +πn x = 5π 6 +πn Då D = R fås { π } L = 6 +πn n Z 5.8. Arcusfunktionerna { } 5π 6 +πn n Z. Det är inte tillräckligt att kunna lösa ekvationer av typen f(x) = k,där f är en cosinus, sinus eller tangensfunktion och k är en konstant, enbart i de (orealistiska) fall där k råkar hittas i någon tabell. Vi ska se hur man hittar numeriskt närmevärde till lösningen för godtyckliga k. Vi definierar för detta ändamål arcusfunktionerna. Vi vet ju att sinusfunktionen inte är injektiv på R, menomvidäremot begränsar oss till x [ π/,π/], så är sinx injektiv. På detta intervall antar sin x alla värden i [, ]. Vi har alltså att sinusfunktionen är en bijektion, och således inverterbar, från [ π/, π/] till [, ]. På motsvarande sätt är cosinusfunktionen en bijektion från [,π] till [-,]. Tangensfunktionen är en bijektion från ] π/,π/[ till R. Se figurerna.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 6.5 π f(x)=sin x π.5.5.5.5.5 Figur 5.6: Sinusfunktionen blir injektiv, om vi begränsar den till intervallet [ π/,π/]. Dess värdemängd är fortfarande [, ]. π π f(x)=cos x.5.5.5.5.5 3 Figur 5.7: Cosinusfunktionen är en bijektion från [,π] till [-,].

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 7 _π 5 5.5.5.5.5 Figur 5.8: Tangensfunktionen är en bijektion från ] π/,π/[ till R. _π Det blir meningsfullt att göra följande definition. Definition 5.3 Vi definierar inverserna till sinus-, cosinus- och tangensfunktionerna.. Inversen till sin x betecknas arcsin x och defieras som följer: [ y =arcsinx sin y = x y π, π ]. Inversen till cos x betecknas arccos x och definieras genom y = arccos x cos y = x y [,π]. 3. Inversen till tan x betecknas arctan x och definieras genom ] y = arctan x cos y = x y π, π [. Dessa tre funktioner uttalas arcussinus, arcuscosinus respektive arcustangens.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 8 Sats 5.3 Vi har gjort vår definition så, att. D arcsin =[,] V arcsin = [ π, π ]. D arccos =[,] V arccos =[,π] 3. D arctan = R V arctan = ] π, π [ Alla dessa tre funktioner är (naturligtvis) bijektiva. Se figur. π π,5.5,5,5,5,5 Figur 5.9: Arcussinusfunktionen tillåter oss att lösa ut vinklar i praktiska tillämpningar. Exempel 5.33 Sidorna i en rätvinklig triangel uppmätstill3,4och5cm. Bestäm vinklarna i triangeln. Lösning: Vi vet att en vinkel är rät, dvs. π/ rad. Den längsta sidan måste vara hypotenusan. Kalla den c och få c =5. Kalla de båda kateterna a =3och b =4. Kalla vidare vinkeln som står mot a för α och den sista vinkeln β. Se figuren. Vi har att tan α = a/b, dvs. α = arctan 3/4, 6435 (ca ett tiondedels varv, varför?). Nu kunde vi lätt räkna ut β = π π/ α, men vi använder istället att sin β = b/c, såβ=arcsin4/5,973 (ca /7 varv). Vi kontrollerar ännu att π π/ α, 973 β. OK. Vi svarar alltså π/, arctan 3/4, 6435 och arcsin 4/5, 973.

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 9 3,5 3 π,5,5 _π,5,5,5 Figur 5.: Arcuscosinusfunktionen.,5 _ π,5,5,5 _ π 5 5 5 5 Figur 5.: Arcustangensfunktionen. c=5 β a=3 α b=4 Figur 5.: Triangeln i exempel 5.33. (Inte skalenlig.)

KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 3 Anmärkning 5.34 På miniräknare betecknas arcusfunktionerna ofta med sin, cos och tan. Dåmanlöser trigonometriska ekvationer måste man komma ihåg, att man bara bestämmer en lösning med arcusfunktionerna. Utgående från denna ena lösning kan man ofta sedan bestämma alla lösningar. Exempel 5.35 Lös ekvationen a) sin x = e b) / sin x = e. Lösning: a) D = R, menv sin =[,], såvärdet e, 7 antas aldrig. L = b) D = R \{nπ n Z}, dvs. D består av de punkter där sinusfunktionen är olik noll. Då kan vi skriva om ekvationen enligt följande: sin x = e sin x = ( sin x =sin arcsin ) e e x =arcsin e +πn x = π arcsin e +πn, n Z, ty frågeställningen är att bestämma lösningsmängden, dvs. alla x som löser ekvationen. (arcsin(/e).37673 (rad)) Se figuren. L = {arcsin e } +πn n Z { arcsin e } +(n+)π n Z 6 4 6 4 4 6 8