Approimatia metoder för anals a komplea fsiologiska flöden
Innehåll Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form Balansekationerna på integralform Gränsskikt Smörjfilmsteori
Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form ρ U T t + U L + U L = ρu L p + U L μ + + ρg g L UT t + + = p + μ ρul + + Lg U g Strohaltalet St = fl U = L Renoldstalet Re = ρul Frodetalet UT μ Fr = U gl St + + t = p + 1 Re + + 1 Fr g
Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form St + + t = p + 1 Re + Alternati form: 4α Re t + + = p + 1 Re + Womersletalet α = D πρf μ Renoldstalet Re = ρul μ Strohaltalet St = fl U = L UT
Renoldstal Strohaltal Re St konekti tröghets kraft iskös kraft transient tröghetskraft konekti tröghetskraft Womersletal transient tröghetskraft iskös kraft
Instationär strömning Ungefärliga ärden på Womersletalet: Aorta: 1 Karotis: 4,4 Arteriol: 0,04
Strande ekationer Massans bearande ρ t + ρ = 0 Implsens bearande ρ t + ρ = p + τ + ρ g Dessa kan integreras öer en kontrollolm och m.h.a. Gass sats fås ekationerna på integralform, se boken kap. 4.-4.3
Strande ekationer p g t p g t p g t konekti acceleration Lokal acceleration graitation trckkraft iskös kraft 0 t Massans bearande Implsens bearande
Strande ekationer p g t p g t p g t Naier-Stokes ekationer 0 Massans bearande Implsens bearande
Renolds transportteorem Sstem: En samling materia inom föreskrina gränser. Ingen materia passerar sstemgränsen Massa: dm ss dmv 0 Energi: Impls: ss F de ss dq dw Kontrollolm: Fi eller rörlig och eentellt defomerbar olm genom ilken materia strömmar
Renolds transportteorem Flöde öer en ta da V n Flöde a B: d B = ρβ V n da B = ρβ V n da β = db dm
Renolds transportteorem Sstem id tiden t: Sstem id tiden t+dt: Kontrollolm: Ändring i kontrollolmen nder Dt: B CV t + t B CV t = B ss t + t B ss t t ρβ V n da B CV t + t B CV t t t 0 db ss = B ss t + t B ss t t = db CV + ρβ V n da ρβ V n da db ss = d CV ρβdω + ρβ V n da
Renolds transportteorem db dm Gäller för gocklig, deformerbar kontrollolm db ss d d CV Ändring a B i CV Nettoflöde V ds a B öer Om kontrollolmens olm är konstant (fi kontrollolm) : d CV d CV d d
Renolds transportteorem Massans bearande B = m β = db dm = 1 Inkompressibelt V n da = 0 dm ss = d CV ρdω + ρ V n da = 0 Eempel Q 1 = 1 V n da = 1 πr 1 Q 4 = 4 V n da = 4 πr 4 V n da = Q 1 + Q 4 + Q 5 = 0 Q 5 = V n da = 5 πr 5 5
Renolds transportteorem Implsens bearande B = m V β = db dm = V d m V ss = d CV ρ V dω + ρ V V n da = F Krafter Graitation: F g = ρ gdω = m g CV Trck: F p = Viskösa spänningar: p n da F = n τ da d CV ρ V dω + ρ V V n da = p n da + n τ da + m g
Renolds transportteorem Implsens bearande Kraften på plattan: Eempel ρ V V n da = F = F D = δ Strömlinje U 0 = h 1: V n = U 0 1 CV : V n = Kontinitetsekationen ger F D = ρu 0 1 da + ρ da = ρu 0 hb + ρb 0 δ d ρ V n da = 0 ρb h 0 U 0 d + ρb 0 δ d = 0 U 0 h = 0 δ d F D = ρb 0 δ U 0 d
Bernollis ekation Utgå ifrån implsekationen ρ t + ρ = p + τ + ρ g Antag stationär, förlstfri och isoterm strömning ρ = p + ρ g Längs strömlinje dp + ρd + ρgd = 0 Integrera längs strömlinjen p + ρ + ρg = konstant
Bernollis ekation Strömning genom förträngt rör Trckfördelning längs centrmlinjen Vena contracta Vena contracta
Bernollis tidgade ekation Från energiekationen kan följande ttrck härledas nder antagande att strömningen är: Inkompressibel Endimensionell och att ändringar i potentiell energi kan försmmas Viskösa förlster p 1 p = ρ 1 + ρ l=1 d dl + S E nds
Gränsskiktsekationerna kontinitet Impls i -led Impls i -led + = 0 ρ ρ + + = p + μ + = p + μ + Eftersom gränsskikt är tnna gäller följande: Re = ρu μ 1
Gränsskiktsekationerna Impls i -led ρ liten + liten = p + μ + p 0 mcket liten liten Impls i -led ρ + = p + μ + ρ + = dp d + μ Från Bernolli precis tanför gränsskiktet: dp d = ρu du d ρ + du = ρu d + μ
Gränsskikt Återänd till tidigare eempel, strömning öer plan platta: F D = ρb 0 δ U 0 d Jämför med on Karmans ekation om U=U 0 =konstant (ek. 4.5.17) δ U d + ρ du τ = ρ 0 d 0 δ U d = ρ 0 δ U 0 d F D = τ dd
Alösning Separationspnkt
Alösning
Alösning
Smörjfilmsteori 1 d μ d dp h3 d = 6 h du d U dh d + V (Renolds, 1886)