TATA42: Tips inför tentan

Relevanta dokument
TATA42: Tips inför tentan

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

Inför tentamen i Analys I och II, TNA008

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

Teorifrå gor kåp

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 21, 27/1 2010:

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Sidor i boken

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

13 Generaliserade dubbelintegraler

Lösningsförslag envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Tillämpning av integraler

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

SF1625 Envariabelanalys

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

Generaliserade integraler

Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

ENVARIABELANALYS, DEL 2 TOMAS SJÖDIN

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

24 Integraler av masstyp

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

9. Bestämda integraler

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

Föreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.

Tentamen i Envariabelanalys 2

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

9. Vektorrum (linjära rum)

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab

9 Dubbelintegralens definition

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Sidor i boken , , 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

Numeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Linjära ekvationssystem. Repetition av FN3 (GNM kap 4.

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Integraler och statistik

KTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 29 augusti, 2008, kl

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x

TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

Grundläggande matematisk statistik

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Mer om generaliserad integral

Repetition, Envariabelanalys del

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Sfärisk trigonometri

Envariabelanalys, del 2

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

Topologi och konvergens

Addition och subtraktion

Transkript:

TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så llt mteril som förekommer där kn så klrt dyk upp på tentn. Dessutom ingår de kurser som räkns som förkunskper även här, vilket innebär tt ni förvänts kunn hnter verktyg även från tidigre kurser. Fokus är också på uppgifter som är v krktären godkänt (med ett pr exempel som knske är för högre betyg mrkerde med ). Längd, re och volym Pln re (till exempel melln kurvor). Även på polär form! Kurvlängd för funktioner på formen y = f(x) och prmeterform x = x(t) och y = y(t). Kom ihåg bågelementet ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt. Rottionsre och rottionsvolym för rottioner kring linjer x = och y = b. Kom ihåg skiv- och rörformler och även Pppos-Guldin som hjälpmedel. Viktigste steget är tt få upp korrekt integrler i denn kurs. Rottioner kring sned xlr. Även tyngdpunkter i,2 och 3 dimensioner behöver kunn beräkns. Kom ihåg tt det går tt nvänd Pppos-Guldin bklänges för tt hitt - och 2-dimensionell tyngdpunkter. Mclurin- och Tylorutvecklingr Lär er de s.k. stndrdutvecklingrn (för e x, cos x etc) och även formeln som gäller för ll snäll funktioner kring godtycklig punkt x = : f(x) = f() + f ()(x ) + f () 2 (x ) 2 + + f (n) () (x ) n + O((x ) n+ ). n! Med = 0 erhåller vi Mclurinutvecklingen. Om Tylorutveckling kring x = sökes, försök introducer en vribel t = x så tt t 0 då x. Skriv om f(x) i vribeln t och utveckl m..p. t (nvänd gärn elementär Mclurinutvecklingr här). john.thim@liu.se

Tillämpningr med rest på ordo-form f(x) Gränsvärden för kvoter: lim. Utveckl f(x) och g(x) och nge resten på ordo-form. x 0 g(x) Börj med nämnren och utveckl sedn täljren så du kommer förbi först termen i nämnren. Gränsvärden mot oändligheten, oft lim x ( f(x) g(x) ). Bryt ut det som dominerr och hitt ny vribler som går mot noll då x (tex t = /x). Anpss mot polynom, spec. för tt( hitt symptoter eller nnt beteende mot oändligheten. Till exempel hitt och b så lim + x2 x b ) = 0. Bryt ut det som dominerr ur x roten och Mclurinutveckl i ny vribel! Avgör om sttionär punkter är mximum eller minimum. Utveckl funktionen och studer beteendet som dominerr. Vd händer när mn flyttr sig lite från den sttionär punkten? Tänk cos x = x 2 /2 + O(x 4 ) = x 2 (/2 + O(x 2 )). Om mn flyttr sig lite från x = 0 blir tillskottet negtivt eftersom /2 dominerr O(x 2 ) i prntesen. En mxpunkt lltså! Restterm på Lgrnges form Uppsktt fel i Mclurinutvecklingr (eller Tylor) i ndr punkter än br väldigt när origo. Vnlig exempel: Funktionsvärden i en viss punkt, ex. cos 4. Vis olikheter som exempelvis tt sin x (x x 3 /3!) x 5 /20. Uppsktt numeriskt värde på integrl där vi inte hr någon känd primitiv funktion: utveckl integrnden och uppsktt felet över hel integrtionsområdet. Polynomet är enkelt tt integrer och med tillräckligt mång termer är felet litet! Differentilekvtioner Linjär ekvtioner v ordning ett Skriv om på formen y (x) + f(x)y(x) = g(x) med konstnt fktor frmför y. Integrernde fktor: e F (x) där F (x) = f(x). Multiplicer med denn och VL blir ( e F (x) y(x) ) och HL blir g(x)e F (x). Integrer och lös ut y. Seprbl ekvtioner Kom ihåg tt här ingår definitionsmängden för lösningen i svret! Dett är det störst smmnhängnde intervll där funktionen är C. Tekniken är seprtion v vribler: g(y) dy ˆ ˆ dx = h(x) g(y) dy = h(x) dx. Se upp vid divisioner! Kn dyk upp lösningr eller ge problem i definitionsmängder (y respektive x). 2

Linjär DE v ordning två och högre Två delr: homogen- och prtikulärlösning. Den homogen hitts genom tt hitt nollställen till det krkteristisk polynomet p(r). En prtikulärlösning hitts genom tt nsätt något lämpligt. Kom ihåg förskjutningsregeln: p(d)e x z(x) = e x p(d + )z(x). Denn förenklr mycket! Kn nvänds ovsett hur högerledet ser ut så länge det är en fktor e x med. Tbell : Anstser för prtikulärlösningr. Högerled Ansts Undntg n x n + n x n + + x + 0 b n x n + b n x n + + b x + b 0 r = 0 rot x(b n x n + b n x n + + b x + b 0 ) r = 0 dubbelrot x 2 (b n x n + b n x n + + b x + b 0 ) r = 0 trippelrot A sin kx + A 2 cos kx B sin kx + B 2 cos kx r = ±ik rot x(b sin kx + B 2 cos kx) r = ±ik dubbelrot x 2 (B sin kx + B 2 cos kx) r = ±ik trippelrot e x, C Be x r = rot Bxe x r = dubbelrot Bx 2 e x r = trippelrot q(x)e x z(x)e x ing undntg 2 A e αx cos βx + A 2 e αx sin βx B e αx cos βx + B 2 e αx sin βx r = α ± iβ rot B xe αx cos βx + B 2 xe αx sin βx r = α ± iβ dubbelrot Om undntgsfllet inträffr försöker vi med nstsen på näst rd. 2 Ger ekvtion för z. Nytt högerled där e x försvunnit. Hitt en lösning till denn ekvtion! Superposition Kom ihåg tt mn kn del upp prtiklärlösning i fler delr. Om HL består v, e.g., e x + 7 kn vi hitt en prtikärlösning y p som mtchr e x och en nnn y p2 som mtchr 7. Den totl fås som y p = y p + y p2. Ekvtioner v Eulertyp Ekvtioner v typen x n y (n) + xy + y = g(x), x > 0, löses genom vribelbytet t = ln x. Integrlekvtioner I denn kurs är tnken tt deriver frm en diffekv. och lös den i stället. Begynnelsevillkor fås genom tt välj någon smrt punkt x = i integrlekvtionen så integrl försvinner (om 3

möjligt). Kom ihåg integrlklkylens fundmentlsts som medför tt om f, g C. d dx ˆ g(x) f(x) Generliserde integrler Om 0 f(x) g(x) gäller tt och y(t) dx = y(f(x))f (x) y(g(x))g (x) g(x) dx < f(x) dx = f(x) dx < g(x) dx =. f(x) Om f, g 0, ll integrler endst är generliserde i x = b och 0 < lim x b g(x) < gäller tt f(x) dx < g(x) dx <. Vid nvändning: bryt ut det som dominerr i f(x) när x = b och räkn ut gränsvärdet för det som blir över: f(x) dx = g(x) f(x) g(x) dx. Motsvrnde sts gäller om generliseringen är i punkten x = (men br en i tget!). Finns eller uppstår problem i fler punkter: del upp integrlen! För konvergens måste ll delr vr konvergent. Om någon är divergent är hel integrlen divergent. Känd jämförelsefunktioner: och ˆ 0 ˆ x α dx < α < dx < α >. xα Serier Teorin är i mång vseenden prllell med den för generliserde integrler, men vi hr br problem i oändligheten och det finns viss ndr skillnder. Till exempel finns inget divergenstest för integrler (behöver inte punktvis gå mot noll för konvergens). Förstå hur konvergens för en serie definiers vi delsummor. Divergenstestet, i.e., om termern inte går mot noll är serien divergent. Skillnd på bsolutkonvergens och konvergens. 4

Jämförelsestsern för 0 k b k respektive tt k /b k L med 0 < L <. Grundprincip för gränsvärdestestet: bryt ut det som dominerr mot oändligheten och betrkt vd som blir kvr. Är gränsvärdet strikt melln 0 och är det den dominernde fktorn som vgör konvergens eller divergens (om positiv uttryck erhålls). Geometrisk serier: Känd jämförelseserier: q k = q k= om q <. Då q är serien divergent. k α < α >. Cuchys jämförelseprincip: om f(x) 0 och f(x) är vtgnde för x är ˆ f(k) < f(x) dx <. Leibniz-serier k= k där k+ och k hr olik tecken för ll k (lternernde) och 2 3 smt k 0 (vtr mot noll). Dess konvergerr lltid! Potensserier Kvot- och rottestet. En serie c k är bsolutkonvergent om Q = lim k c k+ c k eller om Q = lim c k /k <. k Om Q > är serien divergent. Om Q = vet vi inget och inte heller om inget v gränsvärden existerr. Dess test kn även nvänds för vnlig numerisk serier. T frm konvergensrdie för potensserie från kvot- eller rottestet. Testet ger en olikhet v formen Q < där Q innehåller x. Lös ut x för tt hitt R så tt x < R. Se upp om potensserien till exempel br innehåller jämn potenser (x 2k ) eller dylikt. Avgör konvergens när x = R (två fll, x = ±R, sätt in i serien och undersök som numerisk serie!). Termvis derivering och integrering (ok för x < R, konv. rdien för den ursprunglig serien). Utnyttj derivering eller integrering för tt räkn ut numerisk serier som exempelvis Kom ihåg tt x k = x om x <. 5 < k 2 k.

Diffekvtioner Lös differentilekvtioner genom potensseriensts. Lite bökigt men principen är enkel. Se till tt förstå hur serien kn summers om (omindexers) så det blir enklre tt mtch koefficienter. Kom ihåg också tt termer försvinner vid derivering v potensserie. 6