1 Rörelse och krafter

1 Röelse och kafte 101. Man bö da vinkelätt mot vektyget. Kaften F beäknas då genom att momentet M = F! l " F = M l Sva: 40 N = 110 0,45 N = 44 N 10. a) Maximalt moment få Ebba i de ögonblick då kaften ä vinkelät mot pedalveven. Då ä momentet M = F l = mg l = 45 9,8 0,18 Nm = 80 Nm b) Nä pedalveven ä paallell med kaften, dvs. då tampan ä i sitt öve elle sitt nede läge ä momentet noll. Sva: a) 80 Nm b) 0 Nm 103. a) Om kaften ä vinkelät mot stången ä momentamen 0,50 m och M = F l = 10 0,50 Nm = 5,0 Nm b) Om kaften ä paallell med stången ä momentamen noll. Kaften utöva inget vidande moment. Momentet M = F l = 10 0Nm = 0 Nm c) Om vinkeln mellan kaft och stång ä 30 o, kan man lämpligen dela upp kaften i två komposante, F 1 som ä vinkelät mot stången och F som ä paallell med stången. Se figu. Momentet ä då M = F 1 l = = F sin 30 o 0,50 Nm = 10 sin 30 o 0,50 Nm = =,5 Nm Sva: a) 5,0 Nm b) 0 Nm c),5 Nm 104. En kopp ä i jämvikt om esultanten till alla på koppen vekande kafte ä noll och de sammanlagda momenten med avseende på vilken momentpunkt som helst ä noll. Detta buka kallas kaftjämvikt esp. momentjämvikt. 105. Man klämme åt i tångens ända med kaften 0 N och momentamen ä 0,15 m. Då vids tången med momentet M = F! l = 0!0,15 Nm = 3,0 Nm. Detta moment vide tången även i den anda änden dä momentamen endast ä l 1 = 0,015 m. Kaften dä ä F 1, dä M = F 1! l 1 " F 1 = M l 1 = 3,0 0,015 N = 00 N 106. Vi da med en linjal en lodlinje, dvs. en linje akt nedåt fån tyngdpunkten. I lådona A och C komme denna linje att hamna till vänste om det hön dä lådona vila. Dessa lådo komme däfö att falla åt vänste. I låda B komme lodlinjen att hamna till höge om detta hön. Den lådan komme alltså att falla åt höge. Sva: Låda B 107. Axel sitte,5 m fån mitten och Gustav sitte (,5 x) m fån mitten. Axels tyngd ä m A g = 16g och Gustavs tyngd ä m G g = 4g Axel vide gungan motus och Gustav vide medus. Vid jämvikt gälle momentlagen: 16g!,5 = 4g! (,5 " x) 40 = 60 4x 4x = 0 x = 0,83 Sva: Gustav ska sätta sig 83 cm fån gungans ände. 108. a) Vi låte O vaa momentpunkten. De enda kafte som ha moment med avseende på punkten O ä: 1) Dynamometekaften som ä 3,5 N. Den vide motus och momentamen ä 0,4 m. ) Stavens egen tyngd som ä 0,00g. Tyngden vide medus och ha momentamen 0,5 m. 3) Stenen med massan m ha tyngden mg. Denna tyngd vide medus och ha momentamen 1,0 m. Staven ä i momentjämvikt. Momentlagen ge att summan av alla moment motus ä lika med summan av alla moment medus. 3,5!0,4 = 0,00g!0,5 + mg!1,0 m = 3,5!0,4 " 0,00g!0,5 g!1,0 = 3,5! 0,4 " 0,00! 9,8! 0,5 = kg = 0,046 kg = 43 g 9,8!1,0 b) Det veka också kafte i punkten O. Staven ä i kaftjämvikt. Summan av alla kafte ä lika med noll. Uppåt veka kaften fån dynamometen 3,5 N. Nedåt veka stavens tyngd 0,00! g = 0,00!9,8 N = 1,964 N och stenens tyngd 0,046! g = 0,046!9,8 N = 0,418 N Resultanten av dessa ä (3,5 1,964 0,418) N = 1,118 N iktad uppåt. Kaften i O måste således vaa 1,118 N (iktad nedåt.) Sva: a) 43 g b) 1,1 N Sva: 00 N Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

109. Tyngdpunkten ligge 4,5 m fån balkens ända. Om mannen stå på balken och gå ut mot höga änden på balken tills han ä på avståndet x fån denna ände, tippa balken. Vi välje betongblockets höga hön som momentpunkt. Balkens tyngd ha momentet 500g!1,5 = 500! 9,8!1,5 Nm = 7365 Nm motus. Om mannen ställe sig längst ut på höge sida ha hans tyngd momentet 80g! 3,0 = 80!9,8!3,0 Nm = 357 Nm medus. Moment fån mannen ä således minde än momentet fån balken och det ä ingen isk att det välte. Om mannen istället gå ut mot vänsta änden på balken ä isken stöe att det välte. Vi välje nu betongblockets vänsta hön till momentpunkt. Anta att det välte då mannen befinne sig på avståndet x fån balkens vänsta ände. Momentamen ä då (4,0 x) och momentet ä 80g!(4,0 " x) motus. Balkens tyngd ha momentamen 0,5 m och momentet 500g!0,5 = 50g medus. Vi sätte dessa lika. 80g! (4,0 " x) = 50g 30! 80x = 50 80x = 70! x = 70 80 m = 0,875 m 15g! l = mg! sin 60 o! l 15 m = sin 60 o kg = 7 kg! Sva: 7 kg 111. a) Vi välje punkten O som momentpunkt. De kafte som vide flaggstången ä dels dess egen tyngd 60g, dels också kaften F fån linan. Båda dessa ä utitade i figuen nedan. Låt flaggstångens längd vaa l. Flaggstångens tyngdpunkt befinne sig mitt på stången, dvs. på avståndet l/ fån O F vide motus. Momentamen ä betecknad l 1. Tyngden vide medus. Momentamen ä l. Tigonometi ge att l 1 = l!cos30 o l = l! sin 30o Sva: a) Han kan gå ända ut till höga änden utan att balken välte b) Han kan gå till 87 cm fån balkens vänsta ände, men gå han länge ut så välte den. 110. Låt balkens massa vaa m och dess längd l. De kafte som ha moment med avseende på momentpunkten A ä balkens egen tyngd 15g som veka mitt på balken och som vide balken medus och spännkaften i epet som ä lika med viktens tyngd mg. Denna spännkaft ä iktad snett uppåt höge. Vi dela upp den i en vetikal kaft F 1 och en hoisontell kaft F. F ha inget vidande moment på balken. F 1 vide motus och ha momentamen l, medan tyngdkaften 15g ha momentamen l. Momentlagen ge F! l 1 = 60g! l F! l! cos30 o = 60g! l! sin 30o sin 30 o F = 60g!!cos30 o = 30!9,8! tan 30o N = 170 N b) Resultanten till två kaftena F = 170 N och 60g = 60 9,8 N = 589 N ä F R. F R bestäms med Pythagoas sats. F 1 = mg!sin 60 o F = mg!cos60 o Balken ä i vila. Momentlagen ge F R = 589 + 170 N = 613 N Eftesom det åde kaftjämvikt måste det veka en lika sto med motiktad kaft på flaggstången i punkten O. c) Det ä Ungens flagga. Sva: a) 170 N b) 610 N c) Ungen Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

11. a) Sekundvisaen gå ett vav på tiden 60 s. Vinkelhastigheten ä! =! T =! ad/s = 0,10 ad/s. 60 b) Acceleationen a = ω = 0,10 0,0 m/s = 0, mm/s Sva: a) 0,10 ad/s b) 0, mm/s 113. På bilen veka två kafte i vetikal led, bilens tyngd mg och nomalkaften F N. I a) ä mg > F N. Den esulteande kaften mg F N ä iktad nedåt. mg F N ä en centipetalkaft. I b) ä mg < F N. Den esulteande kaften F N mg ä nu en centipetalkaft iktad uppåt. 115. En kub böja glida nä fiktionskaften inte ä tilläckligt sto fö att hålla en kuben i en cikelbana. Maximal fiktionskaft ä F f = µ! F N = µ! mg. Nödvändig centipetalkaft ä F c = 4! m T. Fiktionskaften ä centipetalkaft. µ! mg = 4! m T " µ! g = 4! T Vi se att massan ä oväsentlig. En tung kub och en lätt kub glide samtidigt om deas avstånd till centum ä lika stoa. A och C glide samtidigt. Vi se också av fomeln att om avståndet ä mycket stot, komme inte fiktionskaften att äcka till. Det innebä att A och C glide iväg föe B. Sva: Föst glide A och C (samtidigt), sist glide B 116. a) En kaft som ä iktad in mot ett centum. b) Ja, den esulteande kaften på en satellit som ketsa king joden ä tyngdkaften. Den ä centipetalkaft. 117. v ha enheten! " # m $ s % & m = enheten fö acceleation. m s m = m m ' s = m, vilket ä s 114. I punkt A svänge bilen i en cikulä sväng. Acceleationen ä iktad in mot centum. Samma gälle i punkt C. Dä ä kuvadien baa hälften så sto. Acceleationen bli då dubbelt så sto enligt a = v. I punkt B kö bilen akt fam med konstant fat. Dä acceleea den alltså inte. ingen acceleation 118. a) 1600 vav/minut innebä 1600 = 6,7 vav/s. 60 Vinkelhastigheten ä! =! " f =! " 6,7 ad/s = 168 ad/s. b) Tummans adie ä 0,30 m = 0,15 m. Acceleationen a c =! " = 168 " 0,15 m/s = 411 m/s Sva: a) 170 ad/s b) 400 m/s 119. Medelhastigheten v = 500 m/s = 14,7 m/s. 34,03 Den esulteande kaften i kuvan ä F c = mv Sva: 650 N = 75!14,7 5 N = 648 N Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

10. Kaften på elektonen bestäms med Coulombs lag. F = k! q! q Elektonens och vätekänans (potonens) laddning ä q. Elektonens massa m = 9,1 10 31 kg. Denna kaft ä en centipetalkaft. Vi kan däfö skiva k! q! q = mv v q = k! m! q " v = k! m! = = 9,0!10 9 (1,6!10 "19 )! 9,1!10 "31!5,3!10 "11 m/s =,!106 m/s Sva:, Mm/s 11. Omloppstiden T = 10 8 s = 1,5 s Centipetalkaften på stenen ä F c = 4!!! m T = 4!!1,5!0,50 1,5 N = 9,47 N = a) Då spannen och stenen ä i sitt öve läge, veka två kafte på stenen, dels dess tyngd mg och dels nomalkaften F N1. Båda dessa ä iktade nedåt och utgö tillsammans centipetalkaften. F N1 + mg = 9,47 F N1 = 9,47 mg = (9,47 0,50 9,8) N = 7,0 N b) Då spannen och stenen ä i sitt nede läge ä nomalkaften F N iktad uppåt och tyngden nedåt. Resulteande kaft ä F N mg = 9,47 F N = mg + 9,47 = (0,50 9,8 + 9,47) N = 11,9 N Sva: a) 7 N b) 1 N 1. a) Om bilen ska klaa loopen måste den esulteande kaften vaa en centipetalkaft mv. På bilen veka två kafte, dess tyngd mg och en nomalkaft F N. Båda dessa kafte veka nedåt. F N + mg = mv F N = mv! mg = 0,00!3,0 = ( " 0,00! 9,8) N = 4,0 N 0,30 Att nomalkaften ä 4,0 N visa att bilen ä i kontakt med banan och alltså klaa loopen. b) Nomalkaften ä 4,0 N och tyngden ä mg = 0,00 9,8 N =,0 N Detta ä de enda två kafte som veka på bilen i loopens högsta punkt. Sva: b) Nomalkaften 4,0 N och tyngden,0 N 13. Jodens massa ä M = 5,97!10 4 kg och månens massa ä m = 7,35!10 kg Medelavståndet mellan joden och månen ä = 3,84!10 8 m Gavitationskaften mellan joden ä månen ä F = G! M! m = = 6,67!10 "11! 5,97!104!7,35!10 Sva:,0 10 0 N (3,84!10 8 ) N =,0!10 0 N 14. Keples tedje lag ge att T 3 ä konstant fö alla planete i våt solsystem. Vi jämfö då omloppstiden och avståndet till solen fö Uanus och joden. T U 3 = T j U 3 j T T j! U 3 U = = T j!(19! j ) 3 = T 3 j 3 j!19 3 j T U = T j! 19 3 = T j!83 I å på Uanus motsvaa alltså 83 å på joden. Sva: 83 15. a) ISS befinne sig på avståndet = (3,85 10 5 + 6,36 10 6 ) m = 6,745 10 6 m fån jodens centum. Omloppstiden ä T = 9 minute = 9 60 s = 550 s Låt m vaa ymdstationens massa och M jodens massa. Gavitationskaften ä centipetalkaft och vi få G! m! M Vi löse ut G. G = 4!! 3 T! M = 4! m! T = 6,63!10 "11 Nm /kg = 4!!(6,745!10 6 ) 3 550!6,0!10 4 Nm /kg = Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

b) Gavitationskaften (tyngdkaften) på astonauten ä F = G! m! M = 6,6!10 "11 80!6,0!104! (6,745!10 6 ) N = 700 N Astonauten och ymdstationen falle lika snabbt mot joden. Sva: a) 6,6 10 11 Nm /kg b) 700 N c) Astonauten och ymdstationen falle lika snabbt mot joden. 18. a) Planeten ö sig i en ellips med stjänan som sin ena bännpunkt. Planeten ö sig i denna bana med sådan hastighet att en ät linje fån planeten till stjänan övesvepe lika stoa aeo på lika långa tide. De makeade aeona i figuen ä lika stoa och det ta lika lång tid fö planeten att öa sig utefte ett sådant omåde. 16. Låt Ganymedes massa vaa M G och Jupites massa M J. Gavitationskaften på Ganymedes ä centipetalkaft. Vi kan sätta dessa båda lika. G! M J! M G = 4! MG! T Vi löse ut Jupites massa och få M J = 4!! 3 G!T = 4!! (1,07!10 9 ) 3 = 6,67!10 "11!(6,18!10 5 ) kg = 1,9!107 kg Sva: 1,9 10 7 kg 17. Vi utnyttja sambandet att T ä konstant, dä T ä 3 omloppstiden och avståndet. Detta gälle lika väl fö måna king joden som fö planete unt solen. Vi beteckna månens omloppstid esp. avstånd med index m och den nya månens med index n. Vi få då: T n 3 = T m n 3 m Vi löse ut n. Vi äkna avstånden i km och tidena i dygn. n 3 = T n! m 3 T m n = T n 1/3 "! 3 % m = 1! (3,84!10 5 ) 3 1/3 " % T # $ m & ' # $ 7,3 km = & ' = 4,!10 4 km Sva: 4, 10 4 km b) Vi beäkna planetens medelavstånd till stjänan. 1,8 +,3 = AU =,05 AU = =,05!1,496!10 11 m = 3,07!10 11 m Låt m vaa satellitens massa och M stjänans massa. Gavitationskaften mellan planeten och stjänan ä centipetalkaft. G! M! m = mv M = v! G = (4,7!103 )!3,07!10 11 6,67!10 "11 kg =,8!10 30 kg c) Solens massa ä ca,0 10 30 kg. Stjänans massa ä ca,8!1030 = 1,4 gånge stöe än,0!1030 solens. Sva: b),8 10 30 kg c) 1,4 19. En föklaing ä att den esulteande kaften på satelliten ä gavitationskaften, som ä centipetalkaft. m ä satellitens massa och M ä jodens massa. G! m! M = m! v Detta kan föenklas till v = G! M Av detta uttyck famgå att om avståndet minska så komme hastigheten v att öka. 130. a) v ox = v o! cos" = 4,0!cos30 o = 3,5 m/s b) v oy = v o! sin" = 4,0! sin 30 o =,0 m/s Sva: a) 3,5 m/s b),0 m/s Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

131. Stenen falle fitt 80 m. Falltiden bestäms med fomeln y = gt! t = y g = "80 9,8 s = 4,04 s Hastigheten i hoisontell led ä konstant. Dess hastighet i x-led ä v x = x t = 30 m/s = 7,4 m/s 4,04 Sva: 7,4 m/s 13. Acceleationen ä iktad akt nedåt. a = g. Hastigheten v ä i vaje punkt iktad som en tangent till kastbanan. Riktningen ges av tan! = 6, 8,5 "! = 36 o Sva: a) 1,7 m öve den punkt dä den kastades b) Hastigheten ä 10,5 m/s i en iktning 36 o snett nedåt. 135. a) På 1,0 s falle kulan (fitt fall) stäckan s = gt 10!1,0 = m = 5,0 m Denna stäcka motsvaa en uta i figuen. På 1,0 s ha kulan öt sig 3 uto i x-led. 3 uto motsvaa 3 5,0 m = 15 m. Hastigheten i x-led, dvs. kulans utgångshastighet va tydligen 15 m/s. b) Efte,0 s ha kulan flyttat sig ytteligae 3 uto i x- led. I y-led ha kulan flyttat sig stäckan s = gt 10!,0 = m = 0 m vilket motsvaa en föflyttning 4 uto. Figuen visa kulans läge efte,0 s. -133. Hastigheten i hoisontell led ä konstant. v x = v o! cos" = 8,0!cos30 o m/s = 6,9 m/s Tiden att nå gaagepoten ä t = x = 3,5 v x 6,9 s = 0,51 s Sva: 0,51 s Sva: a) 15 m/s 134. a) Läget i vetikal led ä y = v o! sin"! t # gt Efte 1,5 s ä bollen på höjden y = 1! sin 45 o 9,8!1,5!1,5 " m = 1,7 m b) Hastigheten i vetikal led ä v y = v o!sin 45 o " gt = 1! sin 45 o " 9,8!1,5 m/s = =!6, m/s Hastigheten i hoisontell led ä v x = v o!cos 45 o = 1! cos 45 o m/s = 8,5 m/s Den esulteande hastigheten ä v, som bestäms med Pythagoas sats. 136. Hastigheten i hoisontell led ä konstant. v x = v o!cos" =! cos 0 o m/s = 0,67 m/s Tiden tills bollen ä famme vid målet ä t = 11,0 0.67 s = 0,53 s Vi beäkna nu va i höjdled bollen befinne sig efte denna tid y = v o! sin"! t # gt Efte 0,577 s ä bollen på höjden y =! sin 0 o 9,8! 0,53! 0,53 " m =,6 m Bollen komme att gå öve målet. Sva: Nej. Bollen gå öve målet. v = v x + vy = 8,5 + 6, m/s = 10,5 m/s Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

137. a) Vi beäkna tiden fö kastet. Släggan kastas fån oigo och nä den nå maken ä y = 0,8 m Utgångshastigheten i y-led ä v oy = v o!sin". Läget i y-led beskivs av uttycket y = v! sin"! t # gt o Vi beäkna tiden då släggan nå maken. Vi sätte in kända väden och få!0,8 = 5 " sin 3 o " t! gt Detta ä en andagadsekvation. Vi sätte in g = 9,8 m/s och skive ekvationen på nomalfom. t!,70 "t! 0,163 = 0 Lösningana ä t 1 =,76 s och t = 0,059 s, dä natuligtvis endast t =,76 s ä fysikaliskt imligt. Läget i x-led beskivs av uttycket x = v o! cos"! t Insättning av tiden t =,76 s ge x = 5!cos3 o!,76 m = 58 m b) Stighöjden, dvs. högsta höjden öve utgångsläget ä y max = v o! sin " = 5! sin 3 o m = 8,9 m g!9,8 Högsta höjden öve maken ä (8,9 + 0,8) m = 9,7 m Sva: a) 58 m b) 9,7 m 138. a) Vi kan inte botse fån luftmotståndet. Luftmotståndet ä alltid motiktad hastigheten. Den ä stöe ju stöe hastighet bollen ha. Eftesom bollen släppts fån mycket hög höjd, kan vi äkna med att bollen nå en gänshastighet. Då ä luftmotståndet uppåt lika sto som tyngden nedåt, dvs. båda ä mg, men motiktade. Acceleationen ä då noll. b) Eftesom studsen ä fullständigt elastisk komme bollen att få samma fat efte studsen som den hade stax föe studsen. Luftmotståndet ä däfö lika stot stax föe studsen som stax efte studsen. Föe studsen ä luftmotståndet mg iktat uppåt och efte studsen ä luftmotståndet mg iktat nedåt. Omedelbat efte studsen veka alltså två kafte på bollen, luftmotståndet mg och tyngden mg, båda iktade nedåt. Den totala kaften ä mg och acceleationen ä g. Sva: a) 0 m/s b) g 139. a) Tunnans tyngd ä mg = 00! 9,8 N = 1964 N Momentamen ä 5,0 m och momenten ä då M = F! l = 1964!5,0 Nm = 980 Nm b) Vi låte makfästet vaa momentpunkt. Även i detta fall ä momentamen 5,0 m och kaftmomentet samma som tidigae 980 Nm. Sva: a) 9,8 knm b) 9,8 knm 140. Den esulteande kaften ä en centipetalkaft, dvs. iktad in mot cikelns centum. 141. Vinkelhastigheten! =! T =!,0 Sva: 3,1 ad/s ad/s = 3,1 ad/s 14. 7, km/h = 7, m/s =,0 m/s 3,6 Bil med ban väge m = (05 + 0) kg = 5 kg Fö att klaa svängen kävs en esulteande kaft av F c = mv = Sva: 450 N 5!,0,0 N = 450 N 143. Stenens massa ä m. Spettet påvekas av kaften 600 N och av stenens tyngd mg. Så länge spettet ä i vila ä enligt momentlagen momenten fån dessa kafte lika stoa. 600 N-kaften ha momentamen 1,8 m och stenens tyngd ha momentamen 0, m. Momentet motus ä 600 1,8 Nm och momentet medus ä mg 0,. Momentlagen ge att 600 1,8 = mg 0, 600!1,8 m = g! 0, Sva: 550 kg = 600!1,8 9,8! 0, kg = 550 kg Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

144. Bollen ö sig snett uppåt höge. På bollen veka två kafte, tyngdkaften och luftmotståndet. Tyngdkaften veka akt nedåt. Luftmotståndet veka åt motsatt iktning som öelseiktningen 147. Den lyftande kaften ä F. Tyngden mg veka mitt på bädan och ha momentamen x (se figu). F ha momentamen x. 145. Vinkelhastigheten! =! T som ä konstant. beo baa på omloppstiden Acceleationens stolek ä a c =! " ä konstant eftesom både ω och ä konstanta. Acceleationens iktning ä inte konstant. Den ä hela tiden iktad in mot kausellens centum. Det finns en esulteande kaft på banet. Den ä iktad mot centum. Påståendena a och b ä alltså koekta. Sva: a och b 146. a) v = 90 km/h = 90 m/s = 5 m/s 3,6 Centipetalacceleationen a c = v = 5 80 m/s =7,8 m/s b) På bilen veka två kafte, tyngden mg nedåt och nomalkaften F N uppåt. Nomalkaften ä minde än tyngden eftesom den esulteande kaften ä en centipetalkaft F c iktad nedåt. F c = mv F N = mg! mv = (1500!9,8 " Sva: a) 7,8 m/s = mg F N = 1500! 5 ) N = 3011 N 80 b) 3,0 kn Om man ska kunna lyfta bädan fån maken, så måste den lyftande kaftens moment vaa (minst) lika sto som tyngdens moment. Momentlagen: F! x = mg! x F = mg Sva: 98 N = 0!9,8 N = 98 N 148. Att falla 10 m i ett fitt fall ta tiden t, dä s = gt t = s g =!10 9,8 s = 1,43 s Kalles hastighet i hoisontellt led ä konstant 4,0 m/s och unde fallet ö han sig stäckan x = 4,0!1,43 m = 5,7 m Sva: 5,7 m 149. Tiden det ta fö bollen att nå maken ä lika sto som tidigae eftesom höjden ä densamma. Tiden påvekas inte av vilken hastighet bollen ha i hoisontell led. I hoisontell led ä hastigheten vid vadea slaget konstant. Om bollen komme 0 m vid ett viss slag så komme bollen dubbelt så långt, dvs. 40 m om man slå med dubbelt så sto hastighet. Sva: 40 m 150. Joden gå ett vav unt solen på 1 å. 1 å = 365! 4!3600 s = 31536000 s! =! T =! 31536000 ad/s =,0 "10#7 ad/s Sva:,0 10 7 ad/s Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

151. Efte,0 s ha stenen hastighet v y. v y = gt = 9,8!,0 m/s = 19,64 m/s I x-led ä hastigheten konstant 8,0 m/s. Hastigheten v efte,0 s bestäms med Pythagoas sats. v = v x + vy = 8,0 + 19,64 m/s = 1 m/s Sva: 1 m/s 15. a) Vi lyfte plankan i vänsta änden med kaften F. Momentet ä då medus. Momentpunkten välje vi då till bodets höga ände. Momentamen ä då 3,0 m. Plankans tyngd ä 16g. Tyngdpunkten ligge 1,0 m fån bodets höga ände. Tyngden vide plankan motus. Momentlagen: F! 3,0 = 16g!1,0 16g!1,0 16!9,8!1,0 F = = N = 5,4 N 3,0 3,0 b) Vi tycke ned plankan i vänsta änden med kaften F. Momentet ä då motus. Momentpunkten välje vi nu till bodets vänsta ände. Momentamen ä 1,0 m. Plankans tyngd ä 16g. Tyngdpunkten ligge 1,0 m fån bodets vänsta ände. Tyngden vide plankan motus. Momentlagen: F!1,0 = 16g!1,0 F = 16g = 16!9,8 N = 157 N Sva. a) 5 N b) 160 N 153. Kaftena epen ä F 1 esp. F (se figu). Föutom dessa två kafte veka på bäden dess tyngd och tyngden fån fönsteputsaen. Kaftjämvikt åde. F 1 + F = 0g + 60g = 80g F 1 = 80g F = (80 9,8 196) N = 589 N Sva: Kaften i det vänsta epet ä 590 N och i det höga 00 N 154. Fiktionskaften och tyngdkaften ä lika stoa men motiktade. Nomalkaften fån väggen ä en centipetalkaft. 155. Radien i banan ä 5 m. Fö att bilen ska kunna klaa loopen måste den ha kontakt med vägbanan hela tiden. Mest kitiska ögonblicket ä nä den ä i sin öve punkt. Nödvändig centipetalkaft ä F c = mv. Tillgänglig kaft i detta ögonblick ä bilens tyngd mg och nomalkaften F N fån vägbanan. Vi sätte mv = mg + F N. Bilen tappa kontakten med vägbanan om F N = 0. Vi få då den nede gänsen fö bilens hastighet. mv = mg! v = g = 9,8 "5 m/s = = 7,0 m/s = 7,0!3,6 km/h = 5 km/h Sva: 5 km/h Vi låte momentpunkten O vaa den punkt dä kaften F 1 veka. Denna kaft ha då inget moment med avseende på O. F ha ett moment motus med momentamen 6,0 m, tyngden 0g ha ett moment medus med momentamen 3,0 m och tyngden 60g ha också ett moment medus med momentamen 1,0 m. Bädan ä i jämvikt. Momentlagen ge F!6,0 = 0g! 3,0 + 60g!1,0 F!6,0 = 10g 6,0 = 0g = 0!9,8 N = 196 N 156. Tyngdacceleationen ä 1,6 m/s. Vi kalla den "g". Helst bö vi göa en häledning av kastvidden med hjälp av öelselagana. Detta ä gjot i läoboken och vi utnyttja däfö diekt fomeln fö kastvidd. x = v o! sin " g Sva: 50 m = 0! sin(! 45 o ) 1,6 m = 47 m Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

157. Låt momentpunkten O vaa ambågsleden. Bicepsmuskeln da motus med kaften F. Momentamen ä 5 cm. Undeamens tyngd 1,5g och stenens tyngd,5g da båda motus med espektive momentamana 15 cm och 35 cm. 160. Jodens ekvatosadie = 6378 km. 4 h = 4 3600 s = 86400 s Vinkelhastigheten! =! T =! 86400 ad/s = 7,3"10#5 ad/s Centipetalacceleationen a c =! " = (7,3"10 #5 ) "6378 "10 3 m/s = 0,034 m/s Sva: 0,034 m/s Momentjämvikt åde. Momentlagen ge (vi ange momentamana i centimete) F!5 = 1,5g!15 +,5g!35 = 110!9,8 F = 110!9,8 5 Sva: 00 N N = 16 N 158. Viktena B och E komme att vida skivan medus, medan viktena D och E vide motus. Vikten A ha inget moment eftesom dess momentam ä noll. Eftesom vi baa ska jämföa momenten medus-motus kan vi äkna i vilka enhete vi vill. Vi låte helt enkelt viktena masso i gam epesentea tyngdkaftena och antalet uto till vänste esp. till höge om mittlinjen epesentea momentamana. B:s moment: 30 (uto) = 60 E:s moment: 80 4 (uto) = 30 Summa moment medus: 60 + 30 = 380 C:s moment: 50 5 (uto) = 50 D:s moment: 150 1 (uto) = 150 Summa moment motus: 50 + 150 = 400 Momenten motus ä alltså stöe än momenten medus. Skivan komme att vidas motus. Sva: Skivan komme att otea motus. 159. Man hänge upp det man vill väga i koken i ena änden av stången. Vikten i den anda änden ha en känd massa. Man hålle i handtaget och skjute detta utefte stången tills man kan hålla stången hoisontellt i vila. Då vet man att viktens moment med avseende på handtaget ä lika stot som momentet fån det man väge. Dess massa bestäms då av avstånden fån handtaget till det vägda och till den tunga vikten. Stången ä gadead i kilogam och fån handtagets läge kan man diekt avläsa massan hos det vägda. 161. I vetikal led falle han 3,0 m. Fö fitt fall utan begynnelsehastighet gälle y = gt! t = y g = "3,0 9,8 s = 0,78 s På denna tid måste han komma öve avinen. Vi anta att han ha konstant hastighet 9,0 m/s i hoisontell led. På tiden 0,78 s hinne han då stäckan 9,0 0,78 m = 7,0 m. Han klaa sig öve. Sva: Ja 16. På plankan veka fya kafte, dess egen tyngd 16g, hundens tyngd 5,0g och de båda nomalkaftena F 1 och F fån bockana. Om F 1 ha ett positivt väde innebä det att plankan ha kontakt med den vänsta bocken, dvs. plankan välte inte. Vi välje momentpunkten O till den punkt dä den höga bocken stå. Kaften F ha då inget moment dä. Momentamana ä makeade i figuen. F 1 och 5,0g vide medus, 16g vide motus. Om momentjämvikt åde gälle momentlagen: F 1!3,0 + 5,0! g!,5 = 16g!1,0 3,5! 9,8 F 1! 3,0 = 3,5g " F 1 = N = 11 N 3,0 Att F 1 > 0 innebä att plankan ha kontakt med den vänsta bocken. Plankan välte inte. Sva: Plankan välte inte. Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

163. Lådan välts king sitt nede höga hön. Det ä momentpunkten. Oska tycke med kaften F i öve höga hönet. Denna kaft ha momentamen 1,50 m och vide medus. Lådans egen tyngd 10g veka i tyngdpunkten som ligge mitt i lådan. Den vide motus och dess momentam ä 0,40 m. y = sin! " x cos! # x g " v o "cos! g! x y = x! tan" # v o! cos " Vi se fån detta uttyck att y som funktion av x ä av fomen y = ax! bx, dvs. en andagadsfunktion vas gaf beskivs av en paabel. Då lådans nede vänsta hön böja lyfta fån golvet gälle momentlagen: F!1,50 = 10g!0,40 F = 10! 9,8! 0,40 1,5 Sva: 310 N N = 314 N 164. Momentpunkten O väljs till den punkt dä bädan vila mot byggans kant,,0 m fån den ytte änden. Anta att John kan gå x m ut på bädan innan den tippa. De kafte som ha moment med avseende på O ä, John tyngd 80g som ha momentamen x, Filips tyngd 5g som ha momentamen 4,0 m och bädans egen tyngd 50g som ha momentamen 1,0 m. Bädans och Filips moment vide motus och Johns moment vide medus. Nä bädan tippa öve gälle momentlagen: 5g! 4,0 + 50g!1,0 = 80g! x 80x = 150! x = 150 80 m = 1,875 m Sva: Om han gå 1,9 m ut så välte bädan. 165. x = v o! cos"! t (1) y = v o!sin"!t # gt () Vi löse ut tiden t fån ekv. (1) och sätte in detta väde i x ekv. (). t = v o! cos" x g! ( x y = v o! sin"! v o! cos" # v o! cos" ) 166. a) I vetikal led ä det fåga om ett fitt fall utan begynnelsehastighet. Kulan falle 100 m. Fö fitt fall utan begynnelsehastighet gälle y = gt! t = y g = "100 9,8 s = 4,5 s På denna tid hinne kulan ös sig stäckan x = 500 4,5 m = 56 m b) Vi beäkna föst tiden som kulan ä i luften. Kulan skjuts ut fån oigo och nä den nå maken ä y = 100 m. Utgångshastigheten i y-led ä v oy = v o! sin". Läget i y-led beskivs av uttycket y = v o! sin"! t # gt t ä tiden då kulan nå maken. Vi sätte in kända väden och få!100 = 500 " sin 45 o " t! gt Detta ä en andagadsekvation. Vi sätte in g = 9,8 m/s och skive ekvationen på nomalfom. t! 7 "t! 0,4 = 0 Lösningana ä t 1 = 7,3 s och t = 0,8 s, dä natuligtvis endast t = 7,3 s ä det enda fysikaliskt imliga vädet. Läget i x-led beskivs av uttycket x = v o! cos"! t Insättning av tiden t = 7,1 s ge x = 500!cos 45 o!7,3 m = 556 m c) Om kulan skjuts ut med tilläckligt hög hastighet komme den att bli en satellit som cikla unt joden. Jodens adie ä 6,4 10 6 m (höjden 100 m kan vi botse fån). Gavitationskaften ä centipetalkaft. G! M! m v = G! M = mv = 6,67!10"11! 6,0!10 4 6,4!10 6 m/s = 8100 m/s Sva: a),3 km b) 6 km c) 8,1 km/s Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

167. a) Han sikta mot en punkt som ligge (4,00 1,0) m =,80 m öve pistolens mynning. Avståndet till väggen ä 8,00 m. Pistolen ä således iktad uppåt en vinkel α, dä tan! =,80 "! = 19,3 o 8,00 Kulans hastighet i x-led ä v x = v o! cos" = 90,0! cos19,3 o m/s = 84,9 m/s Det ta tiden t tills kulan ä famme vid väggen. t = x = 8,00 v x 84,9 s = 0,094 s b) På denna tid hinne kulan falla stäckan y. y = gt = 9,8!0,094 m = 0,044 m Sva: a) 94 ms b) 44 mm unde den punkt som han siktade på 168. a) F S ä spännkaften i tåden och F R ä den esulteande centipetalkaften. 169. I det nede läget veka två kafte på piloten, hans egen tyngd 90g = 90 9,8 N = 884 N och en nomalkaft F N fån den stol som han sitte på. Nomalkaften ä stöst eftesom den esulteande kaften ä centipetalkaft och iktad uppåt. F N! mg = mv F N = mg + mv = (90! 9,8 + 90! 300 000 ) N = 4934 N Sva: Tyngden 880 N och nomalkaften 4,9 kn 170. Eftesom vi kan botse fån fiktion mellan stege och vägg finns endast fya kafte som veka på stegen. Tyngden 15g, nomalkaft fån maken F N1, fiktionskaft fån maken F f och slutligen nomalkaft fån väggen F N. Tigonometi ge att cos30 o = 0,0! g 0,0! 9,8 " F F S = S cos30 o N =,5 N b) tan 30 o = F R 0,0! g F R = 0,0! 9,8! tan 30 o N = 1,5 N Tådens längd l = 0,80 m Radien få vi med tigonometi. sin 30 o = l = l!sin 30 o = 0,80!0,5 m = 0,40 m F R = 4!! m T T = 4!! m = 4!! 0,40!0,0 s = 1,7 s F R 1,5 Sva: a),5 N b) 1,7 s Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid Tyngdpunkten befinne sig mitt på stegen. Stegen befinne sig i jämvikt, vilket innebä att 15g = F N1 och F f = F N. Vi sätte momentpunkten O i den punkt dä stegen vila mot maken. De enda kafte som ha ett moment med avseende på O ä då F N och 15g. De öviga två kaftena veka ju i O och sakna däfö vidande moment. Stegen nå stäckan y upp mot husväggen. Avståndet fån O till väggen ä x. Dessa bestäms med tigonometi. sin 60 o = y 5,0! y = 5,0 "sin 60o m = 4,33 m cos60 o = x 5,0! x = 5,0 "cos60o m =,5 m F N vide stegen medus och ha momentamen y = 4,33 m. 15g vide stegen motus och ha momentamen x/ = 1,5 m. Momentlagen ge: 1. Röelse och kafte

15g!1,5 = F N! 4,33 F f = F N = 15!9,8!1,5 4,33 N = 4,5 N Satellitens höjd öve jodytan ska då vaa h = (4, 10 7 6,4 10 6 ) m = 3,6 10 7 m = 36000 km Sva: 36000 km Sva: 43 N 171. F ä spännkaften i wien. De kafte som ha ett moment med avseende på momentpunkten O ä dels F, dels också de båda tyngdena 8,5g och 3,0g. De båda tyngdena vide stången medus och kaften F vide motus. F ha momentamen y (se figu), lampans tyngd ha momentamen l (wiens längd) och stångens tyngd ha momentamen l/ (eftesom tyngdpunkten sitte mitt på stången). Tigonometi ge tan 65 o = l l! y = y tan 65 o Momentlagen ge l F! tan 65 o = 3,0g! l + 8,5g! l Vi fökota bot l och löse ut F. F = 10g! tan 65 o = 10! 9,8! tan 65 o N = 11 N Sva: 10 N 17. Satelliten ö sig i en omloppsbana unt joden med omloppstiden T = 4 h = 4 3600 s = 86400 s Gavitationskaften ä centipetalkaft. M ä jodens massa, m ä satellitens massa, ä avståndet till jodens medelpunkt. G! M! m = 4!!! m T 3 = G! M!T 4! = = 6,67!10"11!5,97!10 4!86400 4! = 7,53!10 = (7,53!10 ) 1/3 m = 4,!10 7 m Jodens adie ä 6,4 10 6 m. 173. Fö att följa med joden i dess otation kävs en esulteande kaft som ä centipetalkaft F c = 4!m T. De kafte som veka på ekvaton ä tyngden mg och nomalkaften F N. Resulteande kaft ä F R = mg F N. Vi sätte mg! F N = 4"m T. Om omloppstiden T minska komme den nödvändiga centipetalkaften att öka. Det innebä att nomalkaften F N komme att minska. Till slut komme F N = 0, vilket innebä att den som befinne sig på ekvaton komme att tappa kontakten med maken, dvs. bli avkastad. g vid ekvaton ä 9,78 m/s och ekvatosadien ä 6,38 10 6 m. Vi få mg = 4!m T, vilket ge T = 4! g = 5075 3600 h = 1,4 h Sva: 1,4 h = 4! "6,38"10 6 9,78 s = 5075 s = 174. Tådens längd l =,5 m. Då vikten ä i sitt nedesta läge ä isken stöst att tåden gå av. Vi beäkna vilken hastighet vikten ha i detta läge. Vi använde ett enegiesonemang. Nä vikten släpps komme lägesenegi i utgångsläget att omvandlas till öelseenegi i nedesta läget. Av figuen nedan famgå att höjden minska med (l! l "cos#). Enegipincipen ge att mv = mg!(l " l!cos#) vilket ge mv = mg!(l " l!cos#) (1) Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

I nedesta läget veka tyngdkaften mg nedåt och stäckkaften i tåden F S uppåt. Maximal stäckkaft i tåden ä,6 N. Resulteande kaft ä F S mg. Denna ä en centipetalkaft och vi kan skiva F S! mg = mv Insättning av uttycket fån ekv. (1) ge mg "(l! l " cos#) F S! mg = Radien i cikelöelsen ä = l =,5 m. F S! mg = mg "(1! cos#) cos! = 3mg " F S mg! = 33 o Sva: 33 o = 3# 0,00 # 9,8 ",6 #0,00 # 9,8 = 0,838 175. Eftesom fiktionen ä lika med noll, ä tyngden mg och nomalkaften F N de enda kafte som veka på bilen. Den esulteande kaften F till dessa båda kafte ä en centipetalkaft. (Vinkeln i figuen ä något övediven.) 176. Kastvinkeln ä α = 14 o. Bollens hastighet i x-led ä v x = v o!cos" = 40,0! cos(#14 o ) m/s = 38,8 m/s och i y-led v y = v o! sin" = 40,0!sin(#14 o ) m/s = #9,68 m/s Bollen ä famme vid nätet efte tiden t, dä 6,0 = 38,8! t " t = 6,0 38,8 s = 0,155 s Vi låte bollen slås fån oigo. Efte tiden t befinne den sig då i y-kooodinaten y = v o! sin"! t # gt 9,8 " 0,155 (!9,68 " 0,155! ) m =!1,61 m Bollen befinne sig således 1,61 m unde den punkt fån vilken den slogs, dvs. den ä på höjden (,60 1,61) m = 0,99 m öve golvet. Nätets höjd ä 0,9 m. Bollen passea således nätet 7 cm öve detta. Sva: Ja, den passea 7 cm öve nätet. U den ätvinkliga tiangeln få vi tan! = F mg F = mg tan α Om en bil inte skall glida på isfläcken skall den tillgängliga centipetalkaften F vaa lika med den nödvändiga kaften m v. v = 90 km/h = 90 m/s = 5 m/s 3,6 mg tan α = m v tan! = v g " = 5 = 0,159 #! = 9,0o 9,8 " 400 Sva: 9 o Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 177. Vi botse som vanligt fån luftmotstånd. Vattnet sputas med hastigheten 8,0 m/s i en iktning snett uppåt med vinkeln α. Hastigheten komposantuppdelas i x- och i y-led. v ox = 8,0! cos" v oy = 8,0!sin" Vattnet sputas 5,0 m i hoisontell led på tiden t, dä 5,0 5,0 = 8,0!cos"! t # t = 8,0!cos" Efte denna tid ä vattnet nee vid maknivån, dvs. y = 0 m y = 8,0!sin"! t # gt Insättning av tiden t ge 5,0 0 = 8,0!sin"! 8,0!cos" # g! ( 5,0 8,0!cos" ) 0 = 5,0! sin" cos" # 5g 18!cos " 5g 18!cos" = sin"!sin"! cos" = 5g 64 sin! = 5g 5" 9,8 = = 0,767 64 64 (Obs. fomeln sin! = "sin! "cos! )! = 50 o elle! = (180 o " 50 o ) = 130 o! = 5 o elle! = 65 o 1. Röelse och kafte

Paabeln beskivs matematiskt av en andagadsfunktion. Ekvationen 0 = 8,0! sin"! t # gt ge två olika lösninga fö tiden t, vilket medfö olika väden på vinkeln α. Sva: 5 o elle 65 o 178. a) Stötens längd ä x = 17,5 m. Utgångshastigheten ä v o. Denna hastighet komposantuppdelas i v ox esp. v oy. v ox = v o!cos 45 o v oy = v o!sin 45 o Med oigo i kastaens hand vid utkastet få vi att kulan landa i punkten med koodinatena (17,5,,0). Låt t vaa tiden fö kastet. I x-led gälle: x = v ox t 17,5 = v o cos 45 o t t = 17,5 v o!cos 45 o I y-led gälle: y = v oy t! gt Insättning av y =,0 och vädet fö tiden t ovan ge:!,0 = v o "sin 45 o 17,5 " v o "cos 45 o! g "( 17,5 v o "cos 45 o )!,0 = 17,5! g "17,5 v o g!17,5 = 17,5 +,0 = 19,5 v o v o = g!17,5 19,5 9,8!17,5 v o = m/s = 1,3 m/s 19,5 b) Tyngdacceleationen g på en himlakopp med massan M och aden ä enligt gavitationslagen g = G! M. Data om månen hämtas i fomelsamling. g månen = 6,67!10 "11 7,35!10! (1,738!10 6 ) m/s = 1,6 m/s Vi låte kastaen kasta med utgångshastigheten v o = 1,3 m/s och att g endast ä 1,6 m/s. Kastvinkeln ä fotfaande 45 o. Vi beäkna tiden fö kastet med y = v oy t! gt.!,0 = v o " sin 45 o " t! g " t t! v o sin 45o " t!,0 " = 0 g g Denna andagadsekvation ha lösningana t 1 = 10,98 s och t = 0, s, dä endast t 1 = 10,98 s ä ealistiskt. Obs. att vi ha äknat med g = 1,6 m/ s. Kastvidden ä x = v ox!t = 1,3!cos 45 o!10,98 m = 96 m Sva: a) 1 m/s b) 96 m 179. Flaggstångens längd ä l. Man da med kaften F. Se figu. Denna kaft ha momentamen OC. med avseende på momentpunkten O. sin 30 o = OC! OC = l "sin 30 o l Tyngden 100g ha momentamen OA. Vinkeln AOT ä 75 o. Den ä yttevinkel till tiangeln DOB. Vinkeln ATO ä således (90 o 75 o ) = 15 o. sin15 o = OA! OA = l l/ "sin15o Momentlagen ge F!OC = 100g!OA F! l!sin 30 o = 100g! l!sin15o sin15 o F = 100! 9,8!! sin 30 o N = 54 N Sva: 50 N Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte

180. Eftesom joden enligt antagandet ä ett homogent klot ä gavitationskaften på henne lika sto öveallt. F J = G! m! M = 6,67!10 "11 m!5,97!104! (6,37!10 6 ) N = 9,81! m Nä hon stå på maken påvekas hon av F J och av nomalkaften F N. Eftesom joden otea ä inte dessa båda kafte exakt lika stoa. På ekvaton ä F J F N en centipetalkaft iktad nedåt. F N = F J! 4! m T = (m " 9,81 4! "6,37 "106 " m (4 "3600) ) N = = m!9,81" m!0,034 = m! 9,78 Hennes tyngd på ekvaton jämföt med vid polen ä 9,78! m 9,81! m = 0,997 Sva: Hon känne sig 0,3% lättae. Faenkel, Gottfidsson, Jonasson och Gleeups Utbildning AB Detta mateial ingå som en del i Impuls webb Mateialet få skivas ut, kopieas och användas unde giltig licenstid 1. Röelse och kafte