TENTAMEN 8 jan 0 Tid: 08.5-.5 Kurs: Matematik HF90 (6H90) 7.5p Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive 9 poäng.. Komplettering: 8 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F). Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget F på MINA SIDOR. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Börja varje ny uppgift på ett nytt blad, detta gör att rättningen blir säkrare. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med läsningar. Uppgift. (p) Bestäm ekvationen för planet Π som genom punkten A(,,) och linjen L: (, y, z) (,, ) +t(, 0,4). Uppgift. (p) a) Lös matrisekvationen med avseende på X XA BC då A, B och C. Uppgift. (p) Beräkna följande integraler: a) + + d + (p) 4 0 b) ( + 4) d (p) c) e + d. (p) Var god vänd!
Uppgift 4. (p) För vilka värden på parametern a har systemet ( med avseende på, y och z) + y + z + y + az a) eakt en lösning (p) b) ingen lösning (p) c) oändligt många lösningar (p)? Uppgift 5. (p) Bestäm eventuella etrempunkter och asymptoter och därefter rita grafen till funktionen y e Uppgift 6. (p) Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området som definieras av 5 0 <, 0 y < e roterar kring -aeln. Uppgift 7. (p) En kurva i y-planet består av alla punkter vars avstånd till linjen och till punkten F(,0) är lika. Härled kurvans ekvation och rita grafen. Uppgift 8. (p) Beräkna följande gränsvärden a) (p) b) (p) tan(5) > 0 arcsin() 5 ( + ) arcsin > 0 (4 + ) sin. Lycka till!
FACIT Uppgift. (p) Bestäm ekvationen för planet Π som genom punkten A(,,) och linjen L: (, y, z) (,, ) +t(, 0,4). Vi betecknar P (), v (,0,4) och beräknar AP (0,, ) En normalvektor (av oändligt många) till planet Π är r r r i j k r r r r N AP v 0 4i + j k 0 4 Planets ekvation är 4 ( ) + ( y ) ( z ) 0 eller 4 + y z 5 0 Svar: 4 + y z 5 0 Uppgift. (p) a) Lös matrisekvationen med avseende på X XA BC då A, B och C. BC Om och skyld från 0 beräknas inversen med hjälp av formeln. I vårt fall därför gäller: A är inverterbar eftersom det(a) 0 och A. Därför XA BC X BCA
Svar: X Uppgift. (p) Beräkna följande integraler: + + a) d (p) + 4 0 b) ( + 4) d (p) c) e + d. (p) Svar: : + + ( + ) + a) d d + d + + + C + + ln( ) + (p) 4 0 b) + 4) d ( [variabelbyte: 4 dt t ( + 4) 4 4 84 0 t + C + C c) e + d [part. int: u, u uv u v d e + e + d e + e + 4 dt + 4 t 4 d dt d ] 4 + C + v e, v e + ] Svar: a) + ln( + ) + C 4 ( + 4) b) + C 84 c) e + e + + C Uppgift 4. (p) För vilka värden på parametern a har systemet ( med avseende på, y och z) + y + z + y + az a) eakt en lösning (p) b) ingen lösning (p) c) oändligt många lösningar (p)? Lösning; Koefficientmatrisen A 0 0 a ger 4
0 det A 0 a +. a det A 0 a + 0 a a) Därför eakt en lösning om a ii) O m a använder vi Gausseination och får + y + y + y + z ~ y + z ~ y + z ~ + y + z y + z 0 0 Systemet är lösbart med två ledande variabler ( och y) och en fri variabel ( i vårt fal z). (Lösbart system och fria variabler) ( oändligt många lösningar) Svar: a) Eakt en lösning om a b) Fallet ingen lösning kan inte förekomma. c) Oändligt många lösningar om a Uppgift 5. (p) Bestäm eventuella etrempunkter och asymptoter och därefter rita grafen till funktionen y e ASYMPTOTER: Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla och därför har funktionen INGEN vertikal ( lodrät) asymptot. Vi undersöker om funktionen har någon horisontell ( vågrätt) asymptot: e 0 samma resultat för e 0 + Med andra ord är 0 en horisontell asymptot då går mot ±. ( Därmed har funktionen INGEN sned asymptot ) Alltså har funktionen en horisontell asymptot y0 då går mot ± STATIONÄRA PUNKTER: 5
y e 0 om 0 Med hjälp av förstaderivatans tecken Första derivatans tecken: 0 y + 0 y Alltså har funktionen maimum yma om 0. GRAFEN: Uppgift 6. (p) Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området som definieras av 5 0 <, 0 y < e roterar kring -aeln. b 0 0 π π ( ( ) e f d π e d a 0 π Volymen 0 0 0 π Svar: 0 V 6
Uppgift 7. (p) En kurva i y-planet består av alla punkter vars avstånd till linjen och till punkten F(,0) är lika. Härled kurvans ekvation och rita grafen. Låt P(,y) vara en godtyckligt punkt på kurvan. Då gäller Avståndet från P till linjen är d + Avståndet från P till punkten F är d ( ) + y Från d d ger + ( ) + y Vi kvadrerar båda leden och får ( + ) ( ) + y Efter förenkling + 4 + 4 4 + 4 + y Härav 8 y Alltså kurvan är en parabel. Grafen till y / 8. 7
Uppgift 8. (p) Beräkna följande gränsvärden a) (p) b) (p) tan(5) > 0 arcsin() 5 ( + ) arcsin > 0 (4 + ) sin. a) > 0 tan(5) arcsin() 0, L' Hospitals regel 0 5 tan(5) cos (5) arcsin() 5 > 0 > 0 4 5 ( + ) arcsin (4 + ) sin 5 ( + ) arcsin > 0 (4 + ) > 0 sin b) > 0 ( vi delar problemet i två delar ) 4 Anmärkning: Andra gränsvärdet har vi beräknat vi med L Hospitals regel. arcsin > 0 sin 5 0, L' Hospitals regel 0 > 0 4 cos Svar: a) 5/ b) / 8