ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen Ax + Bxy + Cy + Dx + Fy + G 0 (ekv) där minst en av A,B, eller C är skild från 0 En andragradskurva är mängden av alla punkter vilkas koordinater satisfierar en ekvation av formaten (ekv) För att bestämma typ, och därefter skissera en andragradskurva, väljer vi variabelbyte som diagonaliserar kvadratiska formen Q ( x, y) Ax + Bxy + Cy (dvs skriva på formen k + kv, som inte innehåller blandade termen uv) Detta gör vi i flera steg Först bestämmer vi egenvärden ( λ och λ ), och egenvektorer ( v och v ) till matrisen A B / M B / C Därefter bildar vi matrisen P vars kolonner är ortonormerade egenvektorer f och f Sambandet mellan (x,y) koordinater och de nya (u,v) koordinater ges av xx yy PP uu x p + pv dvs vv y p + pv Vi substituerar x p u + pv y p u + pv i ekvationen Ax + Bxy + Cy + Dx + Fy + G 0 och får en ekvation (utan blandade termen uv) av följande typ λ u + λ v + pu + qv + r 0 Notera att uttrycket Ax + Bxy + Cy förenklas till λ + λv så att vi behöver endast substituera x p u + pv och y p u + pv i det linjära delen Dx + Fy (om den finns i ekvationen) Därefter ritar vi grafen i den nya koordinat systemet vars axlar är parallella med egenvektorerna f och f Uppgift Rita kurvan 9xx + 4xxxx + 6yy 5 Lösning Först diagonaliserar vi kvadratiska formen QQ 9xx + 4xxxx + 6yy Den kvadratiska formen Q representeras av den symmetriska matrisen MM 9 6 Vi bestämmer egenvärden och egenvektorer till M och får λλ 0 och λλ 5 Motsvarande egenvektorer är v och v Sida av 6
Den nya ortonormerade basen är / 5 f / 5 och f / 5 / 5 Basbytesmatris är P / 5 / 5 och sambandet mellan nya och gamla / 5 / 5 koordinater är X PY x y / 5 / 5 / 5 / 5 u v } Notera att uttrycket Ax + + Bxy Cy förenklas till λ + λv Den förenklade ekvationen blir då λ u + λ v 5 dvs 0u + 5v 5 Vi delar med 5 och får ellips u + v eller u + v / kanonisk form) Ellipsens halvaxlar är a / och b (ellipsens ekvation på Vi skisserar ellipsen i det nya koordinatsystemet där nya axlarna är parallella med egenvektorerna v och v Uppgift Rita grafen till x + xy + y + x y Sida av 6
A B / Lösning: Matrisen M har egenvärdet λ och λ 0 med B / C tillhörande egenvektorer v och v Vi normerar vektorerna och får / / P / / x u / / u Variabelsubstitution blir då P, y v / / v dvs x u v och y u + v som vi substituerar i ekvationen x + xy + y + x y och får (notera att x + xy + y blir λ u + λ ) λ + λv + ( u v) ( u + v), eller u + 0v v u v u v v + u Detta är en parabel Vi ritar v + u / basvektorerna f / och f / / v i uv-planet med axlarna som bestäms av ortonormerade Sida 3 av 6
Uppgift 3 Bestäm en ekvation för den ellips ( med centrum i origo) som har halvaxlarna aa / och bb / och som har storaxelritning vv Lösning Vi söker ellipsens ekvation på formen AAAA + BBBBBB + CCyy som vi ska finna genom att bestämma tillhörande symetriska matrisen Om vv är en vektor i axelriktning ( t ex u-axelns riktning) då vektorn vv har samma riktning som den andra axeln ( t ex v-axeln) eftersom v v 0 Den ortogonala basbytes matrisen P är därför P / / / / Den sökta ellipsens ekvation på förenklade formen i uv- systemet är λλ uu + λλ vv ( ) Åt andra sidan uu aa + vv bb ( ) Jämförelse (*) och (**) ger Nu har vi λλ aa ooooh λλ bb 4 Sida 4 av 6
MM PPPPPP / / 0 / +/ / / 0 4 / / ( Vi bryter ut / från första och sista matrisen) 0 3 0 4 3 Alltså M 3 3 Därför XX TT MMMM [xx yy] 3 3 xx yy 3xx xxxx + 3yy Ellipsens ekvation AAAA + BBBBBB + CCyy blir då 3xx xxxx + 3yy Svar: Ellipsens ekvation i xy-koordinatsystemet är 3xx xxxx + 3yy Uppgift 4 Rita kurvan xx + 6xxxx + yy 5 Lösning Först diagonaliserar vi kvadratiska formen QQ xx + 6xxxx + yy Den kvadratiska formen Q representeras av den symmetriska matrisen MM 3 3 Vi bestämmer egenvärden och egenvektorer till M ( λλ) 3 dddddd(mm λλλλ) 0 3 ( λλ) 0 ( λλ) 9 0 ( λλ) 9 λλ ±3 λλ 5 och λλ Motsvarande egenvektorer är vv ooooh vv som vi ortonormerar och får nya basvektorer: ff vv vv / / ooooh ff vv vv / / / / ( Basbytesmatris är P och sambandet mellan nya och gamla / / koordinater är PPPP xx yy / / / / uu vv ) Om vi betecknar nya koordinater med u och v då kan vi skriva Q på följande kanoniska form ( med variabler u,v) : QQ(uu, vv) λλ uu + λλ vv i vårt fall QQ(uu, vv) 5uu vv Alltså kurvans ekvation xx + 6xxxx + yy 5 blir ( i det nya koordinatsystem) Sida 5 av 6
5uu vv 5 som är en hyperbel Vi delar ekvationen med 5 och får uu vv 5 ( eeeeee ) Om vi jämför med hyperbelns ekvation uu aa vv bb ser vi att a och b 5 Hyperbeln skär u axeln i punkterna v 0 u ± Skärningspunkter med v axeln saknas eftersom u 0 v 5 och den sista ekvationen saknar lösning Hyperbeln har två asymptoter ( i det nya koord systemet) dvs vv ± bb aa uu vv ± 5 uu Nu ritar vi nya basvektorer ff / / ooooh ff / och skisserar den / hyperbel som definieras med ekv i det nya koordinatsystemet Sida 6 av 6