Reglerteori. Föreläsning 10. Torkel Glad

Relevanta dokument
Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet. Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Amplitudstabilitet hos svängningar

Reglerteori. Föreläsning 8. Torkel Glad

Cirkelkriteriet (12.3)

Exempel: DC-servo med styrsignalmättning DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI. DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar

Reglerteori. Föreläsning 11. Torkel Glad

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 10. Fasplan. Olika typer av jämviktspunkter. Samband linjärt olinjärt: nära jämviktspunkt

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 8. Inversa cirkelkriteriet. Föreläsning 9. Föreläsning 9: Cirkelkriteriet och beskrivande funktion

Olinjära system (11, 12.1)

Analys av jämviktslägen till differentialekvationer

ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI

TSRT09 Reglerteori. Reglerteknik. Vilka är systemen som man styr? Vilka är systemen som man styr? Föreläsning 1: Inledning, reglerproblemet

TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

Frekvensbeskrivning, Bodediagram

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.

TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI

Stabilitetsanalys och reglering av olinjära system

Reglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad

Reglerteknik AK Tentamen

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d

Reglerteori. Föreläsning 12. Torkel Glad

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Övning 3. Introduktion. Repetition

G(s) = 5s + 1 s(10s + 1)

TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI

Nyquistkriteriet, kretsformning

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl

Reglerteknik AK, FRTF05

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Reglerteknik AK, FRT010

Reglerteknik AK. Tentamen 9 maj 2015 kl 08 13

Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Frekvensbeskrivning, Bodediagram

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Reglerteknik I: F6. Bodediagram, Nyquistkriteriet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120

Reglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad

1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

Reglerteknik AK, FRTF05

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)

Figure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)

Egenvärden och egenvektorer

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

Laboration 1. Ekvationslösning

Systemteknik/Processreglering F6

Robust flervariabel reglering

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 10

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.

( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Kurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson

x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

Transkript:

Reglerteori. Föreläsning 10 Torkel Glad

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet Linjärt system G(s) återkopplat med en statisk olinjäritet f(x): f(0) = 0, k 1 f(x) x k 2 Stabilt om nyquistkurvan till G(iω) inte omcirklar eller går in i cirkeln. Im 1 k 1 1 k 2 Re G(iω)

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 3 Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Beskrivande funktion: självsvängningar i denna struktur: G f f representeras av amplitudberoende förstärkning Y f (C), C amplitud hos sinus in Självsvängningsvillkor: G(iω)Y f (C) = 1 Grask representation: Skärning mellan Nyquistkurvan G(iω) och 1/Y f (C). Stabilitet hos svängningen. Metoden är bara approximativ.

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 4 Amplitudstabilitet hos svängningar Indikation på stabil (vänster) respektive instabil (höger) självsvängning Im Im G(iω) G(iω) 1 Y f (C) Re 1 Y f (C) Re

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 5 Amplitudstabilitet forts. Indikation på utdöende (vänster) respektive obegränsat växande (höger) svängningar. Im Im G(iω) G(iω) 1 Y f (C) Re 1 Y f (C) Re

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 6 Fasplan Fasrum: gammalt namn på tillståndsrum Fasplan: tvådimensionellt tillståndsrum Fasplan är lätta att illustrera graskt En hel del kan generaliseras till högre dimensioner

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 7 Beskrivning i två dimensioner ẋ 1 = f 1 (x 1.x 2, u) ẋ 2 = f 2 (x 1.x 2, u) Två saker lätta att beskriva: Banornas lutning: dx 2 /dx 1 = ẋ 2 /ẋ 1 = f 2 (x 1, x 2, u)/f 1 (x 1, x 2, u) Uppförandet nära jämviktspunkter.

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 8 Linjära system. Egenvektorer x 2 egenvektor x 1 ẋ = Ax, x = e λt v Av = λv är lösning

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 9 Tvåtangentnod och sadelpunkt stabil (vänster) och instabil (höger) tvåtangentnod: sadelpunkt:

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 10 Fokus och centrum Stabilt fokus till vänster (instabilt fokus: byt riktning på pilarna) Centrum till höger

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 11 Entangentnod och stjärnnod Stabil entangentnod (instabil: byt riktning på pilarna) Stabil stjärnnod (instabil: byt riktning på pilarna)

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 12 Samband linjärt olinjärt ẋ = Ax har tvåtangentnod, fokus eller sadelpunkt ẋ = Ax + g(x), g(x) / x 0, x 0 har samma kvalitativa uppförande nära origo.

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 13 Elektrisk generator/faslåsningskrets x 1 = φ, x 2 = φ ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 b sin(x 1 ) x 1 fasläge, x 2 derivata fasläge (avvikelser från önskat) foto: Alessio Sbarbaro. Wikimedia

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 14 Fasplan för faslåsningskrets/generator. 4 3 Jämviktspunkten i origo är ett stabilt fokus. Jämviktspunkterna i (±π, 0) är sadelpunkter (röda linjer visar egenvektorerna) 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 15 Jämför med Ljapunovfunktionen V = 1 2 x2 2 + (1 cos x 1 ) 3 V 8 6 4 1 2 2 0 0 10 1 5 0 x1 5 10 2 3 x2

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 16 Instabilitet hos järnvägsfordon Tvärsrörelsen hos lok och järnvägsvagnar blir ibland instabil: (källa: La vie du rail)

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 17 Hjulaxelns fasplan (förenklad modell) d dt [ ] [ λ αv = 2 ɛ 1 θ β αv 2 ] [ ] λ θ där λ är förskjutningen i sidled och θ är axelns vridningsvinkel i horisontalplanet. α, β och ɛ är positiva konstanter. V är hastigheten i rälsens riktning. Vid måttliga hastigheter är diagonalelementen små så att egenvärdena är nästan rent imaginära med imaginärdelar ± β. Realdelarna har samma tecken som 2αV 2 ɛ. Vid låga hastigheter är fasplanet alltså ett stabilt fokus, över gränshastigheten V = 0.5ɛ/α ett instabilt fokus. (1)

Föreläsning 10 Torkel Glad Februari 2018 18 Hjulaxeldynamik, forts. Att titta på en ensam axel är naturligtvis mycket förenklat, men en början. Sedan måste man ta hänsyn till att axlarna sitter i boggier, som bär upp vagnarna, som är hopkopplade till tågsätt Även i mer realistiska fall är slutsatsen densamma: det nns en kritisk hastighet och över den är rörelsen instabil. Utvecklingen mot höghastighetståg har bl a möjliggjorts av att man teoretisk förstår och kan räkna på instabilitetsfenomenen. Man tittar numera på möjligheten att styra hjulaxlarna aktivt i ett återkopplat system.

Tack www.liu.se