, plan kinematik och kinetik 1. Konstruktionen i figuren används för att överföra rotationsrörelse för stången till en rätlinjig rörelse för hjulet. a) Bestäm stångens vinkelhastighet ϕ& som funktion av ϕ, så att hjulet C får den konstanta hastigheten v. b) Hur varierar vinkelaccelerationen ϕ& & med vinkeln ϕ? v v 3 a) & ϕ sin ϕ, b) & ϕ sin ϕ cosϕ h h. För länksystemet i figuren gäller att punkten A har en hastighet v neråt. Bestäm hastigheterna för punkterna B och C som funktion av vinkeln Θ. v c cos Θ v B, v C v tan Θ b c cos Θ P. Carlsson 1
3. En dubbelstege består av likadana stegar OA och som vardera har längden l. Upptill i A är de förenade med en led. Stegen står på ett horisontellt underlag och ändpunkten O sitter i en fix led. Ändpunkten B börjar att glida. Bestäm farten (absolutbeloppet av hastigheten) hos mittpunkten G då farten vid B är v B. Hur stor är A:s hastighet i horisontell och vertikal led? v G v B 8cos Θ + 1 4cosΘ vb vb v A hor (åt höger), v A vert tanθ (nedåt) 4. Hylsorna A och B glider på en vertikal stång och har under ett tidsintervall farten v A resp. v B. Bestäm hastigheten för punkten C samt vinkelhastigheten ω AC, uttryckt i den givna storheterna v A, v B, b och vinkeln Θ. (e x och e y är enhetsvektorer i x- och y- riktningarna.) va vb va vb vc e x + e y tan Θ ω AC vb v A b P. Carlsson
5. I figuren visas de länkar som förenar en förbränningsmotors cylinder med vevstaken. Sätt Θ &, uttrycken för: upp, med hjälp av de givna storheterna l, r, Θ och ω 0 ( ) a) Leden A:s position b) Leden A:s hastighet c) Länken :s vinkelhastighet ω d) Länken :s vinkelacceleration α (ω förutsätts vara konstant). Under lösningens gång kan det vara lämpligt att införa en hjälpvinkel Φ mellan länken och den punktstreckade horisontallinjen (med dessa beteckningar blir Φ & ω ). I svaren nedan är positiv x-riktning åt höger och vinklar moturs! r a) x A r cos Θ l 1 l r cos Θ b) x& A va rω0 1+ l r 1 sin l rω0 cosθ c) ω l r 1 l r 1 rω 0 d) α l 3/ l r 1 l Θ P. Carlsson 3
6. Hjulet roterar med vinkelhastigheten ω 8 rad/s. Bestäm hastigheten för hylsan vid A vid det tillfälle då Θ 30 o och Φ 60 o. v,40m/s (åt höger) A ( rθ& ( + tan Φ cos Θ) ) v A 7. Bestäm hastigheten för cylindern C vid det läge då vinkeln Θ 45 o, om länken roterar med vinkelhastigheten ω 4 rad/s. v C 1,70 m/s (åt vänster) ( l Θ& ( + tan cosθ) ) v C 1 ϕ där l 1 är längden på den undre länken och ϕ är vinkel mellan övre länk och horisontalplan P. Carlsson 4
8. En kropp kan glida i ett horisontellt spår. Den trycks framåt av en stång, som har vinkelhastigheten ω och vinkelaccelerationen α kring en fix punkt O. Avståndet mellan O och spåret är b. Bestäm kroppens fart och acceleration som funktion av vinkeln Θ. bω v, bα bω a tan Θ sin Θ 9. Punkten A har den konstanta accelerationen a till höger, med start från vila då x i stort sett är lika med noll. Bestäm länken :s vinkelhastighet ω, uttryckt i x och a. ω 4b ax x x P. Carlsson 5
10. Ändan av käppen dras åt höger med hastigheten v samtidigt som den glider ovanpå den fasta halvcylindern med radien r. Bestäm käppens vinkelhastighet ω Θ & som funktion av avståndet x. Θ & v x x r r 11. Beräkna vinkelhastigheten ω för stången som funktion av sträckan x och den konstanta vinkelhastigheten ω 0 för trumman med radien r. rhω0 ω x + h P. Carlsson 6
1. Stången OB glider genom en krage som fritt kan vrida sig kring länken vid A. Om länken CA har en vinkelhastighet ω 3 rad/s, beräkna stången OB:s Θ & ω. vinkelhastighet ω OB då vinkeln Θ 45 o ( ) ω OB ω ( cos Θ cot Φ ) ( 1+ cot Φ) 0,57 rad/s där Φ är vinkeln mellan stången OB och vertikalplanet ( Φ & ω OB ). 13. Den hydrauliska cylindern C ger ändan A av länken en konstant hastighet v 0 i den negativa x-riktningen. Ta fram uttrycken för vinkelhastigheten ω Θ & samt vinkelaccelerationen α Θ & för länken i termer av sträckan x. v0 ω, α L x xv 0 ( L x ) 3/ P. Carlsson 7
14. Vid ett givet tillfälle har toppen av stegen accelerationen a B m/s och hastigheten v B 6 m/s, båda riktade nedåt. Bestäm accelerationen a A för ändan vid A samt stegens vinkelaccelerationen α vid samma tillfälle. a A 0,385 m/s (åt vänster!) α 0,096 rad/s (medurs) 16 m 15. Den jämntjocka balken i figuren har massan m 5 kg. Om linan vid A kapas, bestäm reaktionskraften F O vid O då a) balken fortfarande befinner sig i horisontellt läge samt b) då balken har svängt ner till vertikalt läge. Balken vrider sig friktionsfritt runt O under inverkan av tyngdkraften. a) F O 8,0 N b) F O 91,1 N P. Carlsson 8
16. En jämntjock balk släpps från vila i horisontell position som visas I figuren. Bestäm det värde på x som ger den maximala vinkelaccelerationen α, och bestäm hur stor den motsvarande vinkelaccelerationen α är då. x l 3, α g 3 l 17. Den jämntjocka balken har en massa om 8 kg och svänger i ett vertikalplan runt lagringen vid A. Om Θ & rad/s då Θ 30 o, bestäm den resulterande kraften vid R A i det läget. Obs att balken även har en accelererad rörelse pga. tyngdkraften! R A 56,3 N P. Carlsson 9
18. Den slanka balken i figuren har massan m, längden l och släpps från vila då Θ 0 o. Bestäm horisontell kraft A t och vertikal kraft A n i lagringen vid A då Θ 90 o. A t 0 N, A n,5mg 19. En homogen balk har massan m och längden l. Om den släpps från vila då Θ 30 o, bestäm dess vinkelacceleration Θ & samt den horisontella och vertikala komponenterna av reaktionskraften vid lagringen O omedelbart efter det att balken släppts. Positiva riktningar i svaret: medurs, nedåt och åt vänster. 3g cosθ Θ & l 3 OH mg cos Θsin Θ 4 3 OV mg 1 cos Θ 4 P. Carlsson 10