TENTAMEN 7-Dec-8, HF6 och HF8 Moment: TEN (Linjä lgeb, hp, skiftlig tentmen Kuse: Anls och linjä lgeb, HF8, Linjä lgeb och nls HF6 Klsse: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plts: Cmpus Flemingsbeg Läe: Nicls Hjelm, Eik Melnde och Amin Hlilovic Eminto: Amin Hlilovic Betgsgänse: Mpoäng = Fö betg A, B, C, D, E, F kävs, 9, 6,, espektive 9 poäng Hjälpmedel på tentmen TEN: Utdeld fomelbld Miniäkne ej tillåten Kompletteing: 9 poäng på tentmen ge ätt till kompletteing (betg F ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skiv endst på en sid v pppeet Skiv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på vje bld, (speciellt tdligt på omslget, eftesom tentom sknns och utomtiskt koppls till nmn/pesonnumme som finns på omslget Inlämnde uppgifte skll mkes med kss på omslget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denn tentmenslpp få ej behålls utn lämns in tillsmmns med lösning Fullständig lösning skll pesentes till ll uppgifte ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift (p (p Beäkn en v den pllellogm som spänns upp v vektoen (,, och b (,, b Beäkn volmen v den pllellepiped som spänns upp v vektoen u (,,, v (,, och w (,,6 Uppgift (p Följnde ekvtionssstem ä givet Fö vilket väde (vilk väden på h sstemet i oändligt mång lösning ii ekt en lösning iii ingen lösning? Uppgift (p Bestäm vståndet fån punkten A=(,, till plnet 9 b Bestäm vståndet fån punkten O=(,, till linjen (,, ( t, t, t V god vänd
Uppgift (p Lös följnde olikhet (med vseende på 5 ( 5 Uppgift 5 (p (p Lös mtisekvtionen XA XB C D (med vseende på X dä A, B, C Tips: Fktoise vänsteledet i ekvtionen, D b (p Lös mtisekvtionen MY YN F (med vseende på Y dä M, N, F 5 Uppgift 6 (6p i (p Bestäm Re( och om i b (p Bestäm ll lösning till ekvtionen i Ange lösning på bi fom c (p Ekvtionen 6 5, h en lösning i Bestäm ll lösning 6 Uppgift 7 (p En kopp K bestå v två homogen kube K och K vs knte ä pllell med ln i ett koodint sstem Den stöe kuben K h ett hön i oigo O=(,, och vje knt h längden = dm Den minde kuben K ä plcet på den stöe kuben så tt ett hön ligge i punkten (,, (se figuen Vje knt O i den minde kuben h längden b= dm Kuben ä gjod v ett homogent mteil med densiteten kg / dm Bestäm msscentum till koppen K Tips: Låt T och T v tngdpunkten fö delkopp K och K med motsvnde msso m och m Om O beteckn oigo och T msscentum då gälle OT ( m OT m OT dä m m m m b= dm = dm Lck till!
FACIT Uppgift (p (p Beäkn en v den pllellogm som spänns upp v vektoen (,, och b (,, b Beäkn volmen v den pllellepiped som spänns upp v vektoen u (,,, v (,, och w (,,6 Pllellogmens e ges v A b A (,, (,, e e e (,, (,, ( 8 Sv : Pllellogmens e ä (e b Volmen v pllellepipeden ges v deteminnten fö den mtis som utgös v dvektoen u, v och w V 6 6 6 Sv b: Pllellepipedens volm ä (ve Rättningsmll: Koekt vektopodukt ge p Allt koekt =p b Koekt uppställning v deteminnten ge p Allt koekt =p Uppgift (p Följnde ekvtionssstem ä givet Fö vilket väde (vilk väden på h sstemet
i oändligt mång lösning ii ekt en lösning iii ingen lösning? Sstemet b A h ekt en lösning om det( A Vi beäkn det( A : 8 det( A A Vi löse däefte ekvtionen 8 8 det( A och d slutstsen tt sstemet h ekt en lösning då Då löse vi ekvtionssstemet med Gusselimintion Ekvtionen på nedest den, skn lösning Sv: i Fllet oändligt mång lösning kn inte föekomm i denn uppgift ii Ekvtionen h ekt en lösning då
iii Ekvtionen skn lösning då Rättningsmll: Koekt deteminnten D 8 ge p Däefte + poäng fö vje koekt del i, ii och iii Uppgift (p Bestäm vståndet fån punkten A=(,, till plnet 9 b Bestäm vståndet fån punkten O=(,, till linjen (,, ( t, t, t Enligt fomelbld h vi tt sökt vstånd, d, ä: 9 6 9 b En iktningsvekto till linjen ä,,och en punkt på linjen ä,, (vilken fås nä t= Enligt fomelbld h vi tt sökt vstånd, d, ä:,,,,,,,,, 9,6 Rättningsmll: p fö vje del Uppgift (p Lös följnde olikhet (med vseende på 5 ( 5 Vi beäkn föst deteminnten: D 6 8 5 ( 5 Deteminntens nollställen ä och
Olikheten D < dvs 6 8 kn vi lös med hjälp v en tbell elle diekt med hjälp v gfen till 6 8 Fån gfen se vi tt D < om (, (, Sv: (, (, Rättningsmll: Koekt deteminnten ge p Allt koekt= =p Uppgift 5 (p (p Lös mtisekvtionen XA XB C D (med vseende på X dä A, B, C, D Tips: Fktoise vänsteledet i ekvtionen b (p Lös mtisekvtionen MY YN F (med vseende på Y dä M, N, F 5 Bte vi ut X åt vänste i VL få vi XA B sätt nu o ch Vi beäkn och vi h XG så X Sv X= b Note tt vi inte kn nvänd smm metod som i -delen eftesom vi kn inte fktoise uttcket MY YN, (mtisen Y ligge påå olik sido i temen MY och YN b Sätt, vi få då tt VL kn skivs som
fö tt dett skll stämm med mtisen i HL få vi lltså följnde ekvtionssstem som vi löse med hjälp v Gusselimineing 5 5 5 Dämed Sv b Rättningsmll Koekt invesmtisen b b b Koekt till d c d 5 ge p Allt koekt =p ge p Allt koekt =p Uppgift 6 (6p i (p Bestäm Re( och om i b (p Bestäm ll lösning till ekvtionen i Ange lösning på bi fom c (p Ekvtionen 6 5, h en lösning i Bestäm ll lösning Lösning i i i 6i i i 5 5i i i i i i 5 Häv Re( och Sv Re( och Rättningsmll Koekt i ge p Allt koekt =p i b i e Häv k e i( k, k,, e i cos i sin i
e i( 7 7 cos i sin 6 6 (it tig cikeln cos i sin = 6 6 i i( cos sin cos sin e i i = 6 6 6 6 Sv b i, i, i i Rättningsmll b Koekt k e i( k, k,, ge p Allt koekt =p Lösning c : Ekvtionen 6 5, h eell koefficiente och en lösning i Däfö ä i också en lösning till ekvtionen Polnomet i vänsteledet ä dämed delbt med ( i( i Polnomdivision ge ( 6 5 /( 5 (kontolle själv Fån ekvtionen 5 få vi (med pq-fomeln två n lösning: i och i Sv c: i, i, i, i Rättningsmll c Koekt till podukten ( i( i ge p Allt koekt =p 6 b= dm Uppgift 7 (p En kopp K bestå v två homogen kube K och K vs knte ä pllell med ln i ett koodint sstem Den stöe kuben K h ett hön i oigo O=(,, och vje knt h längden = dm Den minde kuben K ä plcet på den stöe kuben så tt ett hön ligge i punkten (,, (se figuen Vje knt O i den minde kuben h längden b= dm Kuben ä gjod v ett homogent mteil med densiteten kg / dm Bestäm msscentum till koppen K Tips: Låt T och T v tngdpunkten fö delkopp K och K med motsvnde msso m och m Om O beteckn oigo och T msscentum då gälle = dm
OT ( m OT m OT dä m m m m Kuben ä homogen Dett medfö tt des tngdpunkte ligge i mitten v espektive kub: T (,, och T (,,5 Kubens msso: ( m V m 8, m 6, m 86 (kg K:s msscentum: OT 7 7 6 7 7 7 (8(,, 6(,,5 (,, (,, 9 9 7 7 7 Sv: K:s msscentum ä (,, 9 9 Rättningsmll Koekt till (8(,, 6(,,5 ge p Allt koekt =p