Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av det som redovisas i föreläsningarna. Definition av gränsvärde Vi vill studera hur en funktion f : D R uppför sig när variabeln x närmar sig till ett givet reellt tal x 0 D eller när x närmar sig till (eller ). Vi börjar med det sista fallet. Definition.. Låt f : D R vara en funktion och anta att (a, ) D för något reellt tal a R. Vi säger att f divergerar mot då x går mot om för varje C > 0 finns det ω > a så att x > ω f(x) > C. I detta fall skriver vi f(x) = (eller f(x), då x ). Notera att C är ett godtyckligt reellt tal, som vi kan välja som stör som vi vill. Definitionen säger att oavsett hur stör är C > 0 ska f(x) vara större än C om vi låter x bli tillräckligt stör. Till exempel, för f(x) = x har vi f(x) > C för x > C, därför om vi sätter ω = C får vi att x > ω f(x) > C (rita figur). Det följer att Andra viktiga exempel: x =. ln x = +, xα = (α > 0), e x = Notera också att definitionsmängden av f måste innehålla ett intervall av formen (a, ) för att kunna definiera f(x). Till exempel får man inte definiera arcsin x eftersom funktionen arcsin x definieras endast för x [, ]. På liknande sätt får man definiera vad betyder att f divergerar mot när x går mot, nämligen f(x) = (eller f(x), då x )
om för varje C > 0 finns det ω > a så att x > ω f(x) < C. Till exempel, ( x ) = eftersom x > C f(x) < C (rita figur). Notera att f(x), då x om och endast om f(x), då x. På liknande sätt har vi Definition.. Låt f : D R vara en funktion och anta att (, a) D för något reellt tal a R. Då säger vi att f(x) = x (eller f(x) då x ) om för varje C > 0 finns det ω < a så att x < ω f(x) > C. Vi säger att f(x) = x (eller f(x) då x ) om för varje C > 0 finns det ω < a så att x < ω f(x) < C. Nu definierar vi vad betyder att en funktion f har gränsvärdet A då x eller. Definition.3. Låt f : D R vara en funktion och anta att (a, ) D för något reellt tal a R. Vi säger att f konvergerar till A R då x går mot om för varje ε > 0 finns det ω > a så att x > ω f(x) A < ε. I detta fall skriver vi f(x) = A (eller f(x) A då x ). Föregående definitionen betyder att oavsett hur litet är ε kan man välja x tillräckligt stört så att avståndet f(x) A mellan f(x) och A är mindre än ε, d.v.s., A ε < f(x) < A + ε (rita figur). Med andra ord blir f(x) närmare och närmare till A då x blir större och större. Till exempel, x = 0, eftersom /x < ε för x > /ε := ω. Nu visar vi att x + x =. Vi har x + x = x < ε, for x > /ε
På liknande sätt kan man definiera vad som menas med f(x) = A, x nämligen för varje ε > 0 finns ω so att x < ω f(x) A < ε. Andra viktiga exempel arctan x = π, arctan x = π x, x ex = 0. Notera att funktioner behöver inte nödvändigtvis ha något gränsvärde då x ±. Till exempel f(x) = sin(x) varierar mellan och och därmed närmar sig inte till något belopp då x ±. Därför sin x x ± Uppgift.. Bestäm om gränsvärden existerar. existerar inte! x( + sin x) och x( + sin x) Nu definierar vi gränsvärdet av en funktion då x närmar sig till ett visst reellt tal a D, d.v.s., x a f(x). Vi antar först att a är en inre punkt till definitionsmängden D av f, d.v.s., det finns ett öppet intervall I så att a I och I D (rita figur). Då får man närmar sig till a från vänster eller från höger, d.v.s., man kan räkna ut f(x) för x < a med x närmare och närmare till a eller man kan räkna f(x) för x > a med x närmare och närmare till a. Definition.4. Låt f : D R och a D så att a D är en inre punkt i definitionsmängden. Vi säger att f har högergränsvärdet A då x går mot a om för varje ε > 0 finns δ > 0 så att (a, a + δ) D och a < x < a + δ f(x) A < ε I detta fall skriver vi f(x) = A (eller f(x) A, då x a+ ) x a + Vi säger att f har vänstergränsvärdet B då x går mot a om för varje ε > 0 finns δ > 0 så att (a δ, a) D och a δ < x < a f(x) B < ε. I detta fall skriver vi f(x) = B (eller f(x) A, då x a ). x a 3
Om båda höger och vänstergränsvärden existerar och är lika, d.v.s., A = B, då säger vi att f konvergerar till A då x går mot a och skriver f(x) = A x a (eller f(x) A, då x a). Exempel. f(x) = sin x. Då är Därför sin x = 0. sin x = sin x = 0. +. Låt Då har vi Alltså f(x) =, x + då x f(x) = (x ) då x < x då x < f(x) =, x men x f(x) existerar inte. f(x) = 9, x + f(x) =, x f(x) =. x + Nu diskuterar vi ett exempel då a inte är en inre punkt. Den vanligaste situationen är när definitionsmängden av f ges av ett intervall och a är en ändpunkt till intervallet. Till exempel definieras f(x) = arcsin x endast för x [, ]. I detta fall har vi arcsin x = π x +, x arcsin x = π men vi får inte definiera x + arcsin x, eftersom arcsin x kan inte räknas ut för x >. På liknande sätt får man inte definiera x arcsin x. De sista fallen som vi diskuterar är hur man definierar () f(x) =, () f(x) =, (3) f(x) =, (4) f(x) = x a + x a x a + x a Vi definierar bara (); att skriva ner de andra definitionerna lämnas som uppgift. Definition.5. Låt f : D R så att (a, b) D för några reella tal b > a. Vi säger att f har högergränsvärdet då x går mot a om för varje C > 0 finns δ > 0 så att I detta fall skriver vi a < x < a + δ f(x) > C. f(x) = (eller f(x), då x a+ ) x a + 4
Till exempel + x =, x = Eftersom höger och vänstergränsvärdena är olika får man inte definiera x. Däremot och därmed x =. + x = x = Uppgift.. Skissera grafen till funktioner /x och / x för x 0. Andra exempel: ln x =, + x π + tan x =, tan x =. x π Räkneregler med gränsvärden Vi presenterar utan bevis en lista av regler som används för att bestämma gränsvärden. I denna list stor f(x) för gränsvärdet av f(x) då x går mot ett reellt tal x 0 eller mot ± (reglerna gäller i alla fall).. Om f(x) = A R och g(x) = B R då är (f(x) + g(x)) = A + B. Om A = B = (resp. A = B = ) då är Till exempel: (f(x) + g(x)) =, resp. (f(x) + g(x)) = (x++sin x) = 0++0 = ; +( +cos x) = + =, x ex +ln x = + =. Viktig: Uttrycket är obestämt! I detta fall behöver man studera gränsvärdet noggrannare (se exempel nedan).. Om f(x) = A R och g(x) = B R då är Om A, B är ± då gäller det att f(x)g(x) = AB. =, = ( ) =, ( ) = 5
Till exempel, +(ln x) x = =, ex cos x = = Viktig: Uttrycket 0 är obestämt! I detta fall behöver man studera gränsvärdet noggrannare (se exempel nedan). 3. Om f(x) = A R, g(x) = B R och B 0 då gäller Dessutom Till exempel x e x ln( + x) = Viktig: Uttrycken 0 0 e ln, och ± ± 4. Om f(x) g(x) h(x) och då gäller också att Exempel: och därmed f(x) g(x) = A B. 0 ± = 0, ± 0 x π 3 Standardgränsvärden = ± sin x tan x = x π cos x =, är obestämt. f(x) = h(x) = A g(x) = A. x x( + sin (x)) x x( + sin x) =. tan x = x π + Vi presenterar utan bevis en lista av standard gränsvärden som involverar elementära funktioner: () = 0, ax för a > () ln x = 0, xα för α > 0 (3) sin x x = (4) e x = x (5) ( + x) /x = e. x α 6
Anmärkningar. Alla gränsvärden ()-(5) har obestämt form. Den geometriska tolkningen av () är att funktionen a x divergerar mot då x snabbare än x α ; på liknande sätt innebär () att x α (α > 0) divergerar snabbare än ln x då x. Gränsvärdet (3) betyder att sin x konvergerar mot 0 då x 0 lika snabbt som x. Gränsvärdet (4) har en liknande tolkning. Gränsvärdet (5) kan användas för att definiera talet e. 7