6. Determinanter Innan vi sl r fast en deçnition av begreppet determinant, beh ver vi vissa f rberedande f rklaringar En permutation av talen ;;n r en uppr kning èj ;;j n è av dessa samma tal i n gon ordning. M ngden av alla permutationer av ;;n betecknar vi med S n. Observera att en permutation ç = èj ;;j n è ocks kan uppfattas som en funktion ç k 7! çèkè =j k med indexet k som argument och talet j k som funktionsv rde. Exempel 6.. B de è2; ; 4; 3è och è4; 3; ; 2è r permutationer av talen ; 2; 3; 4. En inversion f rekommer vid èi; kè èoch èk; ièè i en permutation ç = èj ;;j n è om f r tv index i och k med iékg ller j i éj k,dvs. om talen j i och j k kommer i omv nd storleksordning. Det totala antalet inversioner i ç =èj ;;j n è r tèçè = èèk é med j éj k è + èèk é2 med j 2 éj k è++ èèk én, med j n, éj k è Permutationen ç r j mn om tèçè r ett j mnt tal och udda om tèçè r udda. Exempel 6.2. Om ç =è4;3;;2è s r tèçè =3+2+=5, dvs. ç r en udda permutation. L t nu A =èa ij è vara en n=n-matris. Deçnition 6.. En element r produkt i A r en produkt av n element ia, vilka alla tagits ur olika rader och kolonner. Exempel 6.3. Om A = @ a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 A s r t.ex. a 2 a 2 a 33 och a a 23 a 32 element ra produkter i A. Deçnition 6.2. Determinanten av matrisen A =èa ik è r summan detèaè =X ç2sn èçèa j a 2j2 a njn ; èd r ç =èj ;;j n èèav alla de n! element ra produkterna i A f rsedda med tecknet èçè =è,è tèçè =ç ; om ç r en j mn permutation,; om ç r en udda permutation.
9 Bj rkfeltçbjon Oftast anv nder man beteckningen f r determinanten detèaè. Exempel 6.4. Matrisen a a 2 a n a 2 a 22 a 2n,,,, a n a n2 a nn A =ç a a 2 ç a 2 a 22 har de tv element ra produkterna a a 22 och a 2 a 2. Den f rsta av dessa f r ett positivt tecken, eftersom permutationen è; 2è r j mn, medan den andra f r ett negativt tecken, eftersom permutationen è2; è r udda. Allts r detèaè = a a 2 a 2 a 22 = a a 22, a 2 a 2 Exempel 6.5. F r en 3=3-matris A = @ a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 A har vi 3! = 6 element ra produkter att best mma tecknet f r Element r produkt èçè a a 22 a 33 + a a 23 a 32, a 2 a 2 a 33, a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 + a 3 a 22 a 3, T.ex. f r den element ra produkten i rad tv ett minustecken, eftersom permutationen è; 3; 2è r udda. Tecknen i denna tabell kan sammanfattas i Sarrus regel Upprepa As tv f rsta kolonner efter A @ a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23A a a2 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 De tre produkter som bildas av element p en è t h gerè snett ned tg ende diagonallinje genom denna rektangel av tal, r de element ra produkter som f r plustecken èt.ex. huvuddiagonalen i Aè medan de tre produkter, som bildas av element p en snett upp tg ende diagonallinje, r de element ra produkter som f r minustecken. Kom ih g att Sarrus regel bara g ller f r 3=3-matriser.
Determinanter 9 Egenskaper hos determinanter En n=n-determinant ger upphov till n! element ra produkter. Om n r stort èja, redan om n =4èinneh ller deçnitionsuttrycket f r en determinant alltf r m nga termer f r att det skall l na sig att anv nda detta d man r knar ut determinantens v rde. De egenskaper hos determinanter som vi nu skall h rleda utg r i sj lva verket r kneregler som kommer att ge oss eçektiva metoder att r kna ut determinanter ç b de stora och sm.. En n=n-matris och dess transponerade matris har samma determinant detèa T è = detèaè Bevis. D man bildar en element r produkt, tar man exakt ett element urvarje rad och kolonn. Allts ger A och A T upphov till precis samma element ra produkter. Det terst r f r oss bara att f rklara varf r dessa element ra produkter f rses med samma tecken. Iengodtycklig element r produkt a j a njn i A kan vi byta ordningsf ljd p faktorerna s att den kan tolkas som en element r produkt f r A T a j a njn = a k a kn n D r permutationerna ç i 7! j i och ç r 7! k r varandras inversa funktioner, ç = ç,. En inversion f rekommer i ç vid èi; lè om och endast om l, i och çèlè, çèiè har olika tecken, dvs. om och endast om çèlè, çèiè l, i = j l, j i l, i é Denna kvot r negativ om och endast om den inverterade kvoten r negativ, ç èj l è, ç èj i è j l, j i = l, i j l, j i é ; och detta g ller precis d det f rekommer en inversion i ç vid èj l ;j i è. Permutationerna ç och ç inneh ller allts lika m nga inversioner och ger upphov till samma tecken. í Anm rkning. P grund av egenskap har rader och kolonner i en determinant samma st llning. D rf r kan r knereglerna 2 till 6, som vi nedan formulerar f r kolonner, utan vidare formuleras ocks f r rader. 2. L t A =èa ai ak anè vara en matris och l t A vara den matris som uppkommer d kolonnerna ai och ak byter plats i A. D r detèa è=,detèaè En motsvarande regel g ller vid ombyte av rader. Bevis. L t ç =èj ;;j i ;;j k ;;j n è beteckna en en godtycklig permutation och l t ç vara den permutation som uppst r d j i och j k byter plats i ç. Vi kan visa att tèçè, tèç è=ualltid r ett udda tal. D rf r r detèaè =X èçèa j a iji a kj k a njn ç2sn X = ç 2Sn,èç èa j a kj k a iji a njn =, detèa è
92 Bj rkfeltçbjon Resonemanget r litet komplicerat men vi terger det f r fullst ndighetens skull. Bevis f r att u r udda Bara inversioner av typerna èè j i éj l ; iélék; è2è j l éj k ; iélék; kan uppkomma eller f rsvinna d j i och j k byter plats i ç. L t I vara m ngden av alla heltal l mellan i och k och s tt n = èèl 2 I med j i éj l è; m = èèl 2 I med j l éj k è; n 2 = èèl 2 I med j i éj l è; m 2 = èèl 2 I med j l éj k è Antalet inversioner f r ndras med u = n, n 2, pga. att j i çyttas till andra sidan av j l, u 2 = m, m 2, pga. att j k çyttas till andra sidan av j l, u 3 =, pga. att j i och j k byter plats. Eftersom n + n 2 = m + m 2 = èk, iè, r konstant, s f r ndras u och u 2 med stegl ngden 2 d n ; n 2 respektive m ; m 2 ndras. S ledes r antingen u och u 2 b gge udda èd èk, iè, r uddaè eller b gge j mna èd èk, iè, r j mntè. Men d r ju u + u 2 alltid j mnt och den totala f r ndringen av antalet inversioner u = u + u 2 + u 3 = u + u 2 alltid udda. í 3. Om tv kolonner èeller raderè r lika i matrisen A, s r detèaè = Bevis. Om A =è ai ak è och ai = ak, s r enligt regel 2 detèaè = detè ai ak è =,detè ak ai è =,detèaè och d rmed detèaè =. í N sta egenskap f ljer direkt ur deçnitionen p en determinant och kr ver d rf r inget bevis 4. Om en kolonn èeller radè inneh ller en gemensam faktor, s kan denna faktor çyttas ut ur determinanten detèa çai anè=çdetèa ai anè Exempel 6.6. I nedanst ende determinant tar vi ut faktorn 2 ur f rsta raden och faktorn 3 ur andra raden och f r v rdet 2 2 4 3 3 6 9 8 =23 2 2 9 8 eftersom de tv f rsta raderna blir lika èregel 3è. =23=;
Determinanter 93 5. En determinant r additiv i varje kolonn èoch radè, detèa ai+a i a nè = detèa ai anè + detèa a i a nè Bevis. skrivas Enligt distributionslagen f r tal kan de element ra produkterna i v nstra ledet a j èa iji + a iji è a njn = a j a iji a njn + a j a iji a njn Regeln f ljer ur detta och deçnitionen p en determinant. í Exempel 6.7. Om vi till mpar regel 5 p rader f r vi att 7 9 5 2 3 2 2 + 7 9 5 3 2 2 = 7 9 5 2+3 + 3+ 2 2 Som en direkt f ljd av reglerna 5, 4 och 3 f s 6. Om i 6= k s r detèa ai anè = detèa ai,çak anè; èi6=kè Anm rkning. Formulerad f r rader s ger denna regel att en determinants v rde f rblir of r ndrat vid anv ndning av èboè det B@ a ai an a B = det @ ai, çak an ; èi 6= kè Om vi s ledes med en f ljd av anv ndningar av èboè kan verf ra en matris A p en upp t triangul r form U, A!! U = B@ u u 22,,,, ; u nn s r detèaè = detèu è=u u 22 u nn. I en triangul r matris r n mligen produkten av diagonalelementen den enda element ra produkt som kan vara olik noll. Alla andra element ra produkter inneh ller minst en nolla. Detta ger oss en eçektiv metod att r kna ut v rdet p en determinant. Reglerna 2 och 4 utg r ju n got modiçerade varianter av èbo2è och èbo3è, s i praktiken har vi Gausselimineringens alla verktyg till v rt f rfogande
94 Bj rkfeltçbjon Exempel 6.8. F r att kunna anv nda det çenklaç pivotelementet çyttar vi i nedanst ende determinant f rst ut den gemensamma faktorn 2 i andra raden och l ter samtidigt de tv f rsta raderna byta plats 3 2 4 6 2 =,2 2 3 3 2 =,è,2èè,3è =,2 2 3,5,8,3,6 2 3 2,5,8 =,6 2 3 2 =,6 2=,2 2 7. En kvadratisk matris A r singul r om och endast om detèaè =. Bevis. Matrisen A kan verf ras p en upp t triangul r matris U med hj lp av enbart èboè och èbo2è. Nu g ller A r singul r èè U r singul r èè n got diagonalelement iu r noll èè detèu è= èè detèaè =; tydetèaè =detèu è, d r vi har ett minustecken om èbo2è har anv nts ett udda antal g nger. 8. Om A och B r n=n-matriser, s r detèabè = detèaè detèbè Determinanter kan allts multipliceras med varandra p samma s tt som man multiplicerar matriser. Bevis. èaè Vi visar f rst att formeln g ller om A r en diagonalmatris. Om s r enligt regel 4 A = detèabè = det @ d @ d b d n bn d n A och A = d d n det B = @ b @ b bn bn A ; A = detèaè detèbè èbè Antag att A r en godtycklig n=n-matris. Om A r singul r, s r ocks A T singul r och f ljaktligen ocks B T A T = èabè T. Nu r b de detèaè = och detèabè = detèèabè T è=enligt regel 7. Formeln g ller allts i detta fall, eftersom b gge leden r noll.
Determinanter 95 Om A inte r singul r, s kan A verf ras p en diagonalmatris D med hj lp av enbart èboè och èbo2è èè A!! D = diagonalmatris ; d r detèaè =detèdè. Det f rsta steget i èè f r i det fortsatta resonemanget representera vilket steg som helst. Om detta r èboè-operationen A = B@ a ai an a B! @ ai, çak s f s med samma basoperation och samma ç, att AB = B@ a B aib anb B! @ an ab aib, çakb anb r det f rsta steget i èè igen en èbo2è-operation A = B@ s f s med ombyte av samma rader AB = B@ ai ak aib akb = A ; ak B! @ = A ; ai akb B! @ aib = A B = A B Precis samma sekvens av basoperationer som i èè, anv nd p produkten AB, leder allts till AB!!DB ; d r det enligt tidigare regler och enligt fall èaè g ller att detèabè = detèdbè = detèdè detèbè = detèaè detèbè Formeln i regel 8 g ller allts generellt f r godtyckliga matriser A och B. í
96 Bj rkfeltçbjon Utveckling efter en rad eller en kolonn Termerna i deçnitionsuttrycket f r en determinant kan grupperas s att varje grupp representer ett element i determinanten multiplicerat med determinanten f r en submatris f rsedd med plus- eller minustecken. Vi illustrerar detta med hj lp av en 3=3- determinant Exempel 6.9. Med hj lp av deçnitionen èeller Sarrus regelè utvecklar vi determinanten samt grupperar ihop de termer som vi nedan har skrivit under varandra a a2 a3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32, a a 23 a 32, a 2 a 2 a 33, a 3 a 22 a 3 =a a 22 a 23 a 32 a 33, a 2 =a A + a 2 A 2 + a 3 A 3 a 2 a 23 a 3 a 33 + a 3 a 2 a 22 a 3 a 32 Det n stsista och sista uttrycket kallas utvecklingen av determinanten efter f rsta raden. Genom att gruppera termerna p annat s tt f r man utvecklingar efter andra rader eller kolonner. Den çsubdeterminant med teckenç som vi i ovanst ende exempel betecknat med A ik kallas kofaktorn èeller komplementetè till elementet a ik. Allm nt f r vi Sats 6.. Om A = èa ik è r en n=n-matris och A ik betecknar den submatris som uppst r d rad i och kolonn k stryks i A, s r detèaè =a i A i +a i2 A i2 ++a in A in utvecklingen av detèaè efter rad i, d r kofaktorerna A ik f s ur A ik =è,è i+k detè A ik è P motsvarande s tt kan detèaè utvecklas efter en kolonn. Tecknet p en kofaktor best ms enklast genom att man kommer ih g att matriselementet l ngst uppe till v nster r associerat med en kofaktor med ett plustecken framf r en subdeterminant. De vriga elementen r sedan omv xlande associerade med plusoch minustecken precis som rutorna p ett schackbr de omv xlande r vita och svarta. Exempel 6.. Om vi vill utveckla f ljande 3=3-determinant efter 2a kolonnen, s b r vi allts associera ett minustecken med elementen 6 och 2 och ett plustecken med elementet, i andra kolonnen. Vi f r utvecklingen 4 6 3 3, 7 7 2 5 =,6 3 7 7 5, 4 3 7 5, 2 4 3 3 7
Determinanter 97 Matrisinverser Betrakta utvecklingen efter rad k av determinanten f r en n=n-matris A =èa lm è è2è detèaè =a k A k ++a kn A kn Den likartade summan a i A k + +a in A kn ; èi 6= kè ; kan uppenbarligen betraktas som utvecklingen efter rad k av den determinant som vi f r ur detèaè genom att ers tta rad k med en kopia av rad i. Eftersom tv rader r lika i denna determinant, r dess v rde noll è3è a i A k + +a in A kn =; èi6=kè Likheterna è2è och è3è kan skrivas p en enda rad med hj lp av Kroneckers delta, a i A k + +a in A kn = detèaè ik V nstra ledet kan nu tolkas som ett matriselement i produkten av A med A = B@ A A 2 A n A 2 A 22 A n2,,,, A n A 2n A nn vilken ibland kallas den adjungerade matrisen till A. Observera att det f rsta indexet h r r kolonnindex medan det andra r radindex. Vi har allts likheten AA = detèaèi, vilket ger formeln A, = A detèaè f r matrisinversen om detèaè 6= èdvs. om A r icke-singul rè. Anm rkning. Denna formel r intressant ur teoretisk synvinkel men ol mplig f r numerisk utr kning av matrisinverser. Alla de n 2 matriselementen r ju èn,è=èn,èdeterminanter, som var och enskall r knas ut separat. Exempel 6.. Om A =ç a b c d ifall detèaè =ad, bc 6=. ç,s r A, = ad, bc ç d,b ç ;,c a
98 Bj rkfeltçbjon Cramers regel Om n=n-matrisen A r inverterbar s kan l sningen till en ekvation Ax = b skrivas x = A, b = Ab ; detèaè vilket ikomponentform ger x j = detèaè nx k= A kj b k ; èj =;;nè Summan i h gerledet kan uppfattas som utvecklingen efter kolonn j av en determinant detèb i è, d r B j r den matris som uppst r ur A d kolonn j ers tts med b B j = B@ a a 2 b a n a 2 a 22 b 2 a 2n,,,,,, a n a n2 b n a nn Vi f r d rmed Cramers regel f r komponenterna av x x j = detèb jè detèaè ; èj =;;nè Anm rkning. Cramers regel r inte l mplig f r numeriska kalkyler. F r det f rsta kan den anv ndas bara om detèaè 6=. F r det andra r den oekonomisk, eftersom den kr ver v sentligt çer r kneoperationer n Gausseliminering. I nedanst ende tabell j mf rs antalet r kneoperationer vid l sning av ekvationen Ax = b medelst tre metoder èè genom Gausseliminering, è2è genom anv ndning av formeln x = A, b èd r A, r knas ut genom Gausselimineringè, è3è genom Cramers regel. Som r kneoperationer betraktas h r addition è= subtraktionè och multiplikation è= divisionè. Metod Antal operationer Gausseliminering ç 2 3 n3 x = A, b ç 2n 3 Cramers regel ç 2 3 n4 Om n =s kr ver allts Cramers regel ungef r g nger çer operationer n l sning genom Gausseliminering, om n = kr ver den ungef r g nger çer operationer. vningsuppgifter. èaè R kna ut determinanten f r matriserna ç 2 ç och 3 4 @ 2 3 4 5 6A 7 8 9
èbè Ber kna determinanten f r matrisen A = B@ 2,2 2 3,4,,2 2 2 5 3 Determinanter 99 genom att gausseliminera A till en upp t triangul r form U. 2. En matris A r skevsymmetrisk om A T =,A. Visa att f r varje skevsymmetrisk n=n-matris A g ller att detèaè =om n r ett udda heltal. 3. Best m determinanterna f r èaè matrisprodukten A = @ 4A è2, 2è; 2 èbè den upp t triangul ra matrisen U = B@ 4 4 8 8 2 2 2 6 2 ècè den ned t triangul ra matrisen U T ; èdè inversen U, ; èeè matrisen M = B@ 2 2 6 2 2 4 4 8 8. 4. èaè Visa att om Q r en ortogonal matris s g ller detèqè =eller detèqè =, èse uppgift 2 i kapitel 3è. ; èbè F r vilka 2=2-matriser A g ller att detè3aè = 3 detèaè? 5. Ber kna determinanten x x2 y y 2 z z 2 6. R kna ut den n-radiga determinanten 7. Visa att a + b c + a b + c c + a a + b b + c b + c a + b c + a 8. Ber kna determinanterna èaè,,,,, =2èa+b+cè c b b b b a 2 4 6 8,2 3 2 3 5 5,9 6 3 ; èbè ; ècè, 2,6,2, 2 3 2 8 6 2,8 6 8 3,9 5,3,2,4 6
Bj rkfeltçbjon 9. Visa att a, b, c 2a 2a 2b b, c, a 2b 2c 2c c, a, b =èa+b+cè3. Visa, utan att utveckla determinanterna, att a + a 2 b + b 2 c + c 2 d + d 2 = a b c d + a b 2 c d 2 + a 2 b c 2 d + a 2 b 2 c 2 d 2. R kna ut determinanaten 47 472 473 472 473 474 473 474 476 2. Anv nd determinantformeln f r en matrisinvers till att ber kna A,,d @ A= A 3. L s f ljande system med hj lp av Cramers regel x +4y, z= x+ y+ z= 2x +3z = 4. Visa att matriselementen i A, r heltal om A r inverterbar, alla matriselement i A r heltal och detèaè r eller,. 5. Visa att a a 2 b b 2,,,, a n,,,, b n = +a b a b 2 a b n a 2 b +a 2 b 2 a 2 b n,,,, a n b a n b 2 a n b n 6. Visa att om i en matris A summan av elementenivarje rad r noll, s r detèaè =. 7. R kna ut detèaè, d n=n-matrisen A =èa ik è har matriselementen a ik = i + k f r varje i och k i m ngden f;;ng. 8. Best m med hj lp av determintteori f r vilka v rden p k f ljande matriser inte r inverterbara èaè A =ç k, 2 ç @ k,4 ; èbè B = k 2 A,5 k +4 3 k, 9. I en triangel med sidorna a, b och c m de motst ende vinklarna vara, respektive. Med hj lp av element r trigonometri f s sambanden b cos + c cos = a; c cos + c cos = b; a cos + c cos = c H rled med hj lp av Cramers regel formler for vinklarnas cosiner.