Bearandelagar för flidranspor, dimensionsanals och skalning
Innehåll Blodes reologi Balansekaionerna på differeniell form Dimensionsanals Naier-Sokes ekaioner på dimensionslös form Krpsrömning
Blodes reologi Plasma (~93% aen) Neonsk flid iskosie@37 C: 1.16 10-3 < m < 1.13 10-3 Pa s Jämför med 0.69 10-3 Pa s för aen@37 C μ = μ sol 1 +.5φ Einsein, 1906 Gäller för små olmkoncenraioner f Blode som helhe är icke-neonsk id låga deformaionshasigheer (< 100 s -1 )
Blodes reologi Blode som helhe är icke-neonsk id låga deformaionshasigheer (< 100 s -1 ) Blode kan modelleras som en Casson-flid: τ 1/ = τ 0 1/ + ηn 1/ γr 1/ Deformaionshasighe Flspänning iskosie id höga deformaionshasigheer
Blodes reologi iskosieen arierar med deformaionshasighe och koncenraion a RBC Fedoso D A e al. PNAS 011;108:1177-11777
Blodes reologi I små blodkärl Fåhræs-Lindqis-effeken: iskosieen minskar med minskad kärldiameer hp://.coheadqarers.com/pennlibr/m Phsiolog/lec6/fig6.04.hm hp://anares.sanford.ed/inde.php/ ieknarsimhan/homepage Fåhræs-effeken: Medelkoncenraionen a RBC är lägre i kärle än i dess flöde. OBS! Noera orsaken ill dea!
Blodes reologi I kapilärer: Öka frikionsmosånd pga. endoele. Deformaion a RBC.
Srande ekaioner Ssem: En samling maeria inom föreskrina gränser. Ingen maeria passerar ssemgränsen Massa: dm ss dm 0 d d Energi: Impls: ss F de ss d dq d dw d Konrollolm: Fi eller rörlig och eenell defomerbar olm genom ilken maeria srömmar
Srande ekaioner db dm Renolds ransporeorem: Gäller för godcklig, deformerbar konrollolm db d ss d d d C Ändring a B i C CS Neoflöde ds a B öer CS Om konrollolmens olm är konsan (fi konrollolm) : d d C d C d d d
Srande ekaioner Differenialrelaioner Berakelsesä: Lagrange: Följer med flidparikel Eler: Fi läge i rmme a,,, 0 0 0 a,,, Maeriella deriaan: F,,, Anag a i har en fnkion, F: Kedjeregeln ger då: F F F F D DF
Srande ekaioner Differenialrelaioner Maeriella deriaan: Inför operaorn D D Applicera n på hasighesekorn,,,,, Ger a acceleraionen kan skrias som D D
Srande ekaioner Differenialrelaioner Koniniesekaionen: Beraka infiniesimal konrollolm Anänd Renolds ransporeorem för fi konrollolm med endimensionell srömning C Anag d C m d m in 0 dd ddd d d ddd d d d
Srande ekaioner Differenialrelaioner Koniniesekaionen: 0 dd dd dd dd d dd d dd d ddd Smmera öer alla rikningar: Diision med ddd ger 0 0
Srande ekaioner Differenialrelaioner Koniniesekaionen: Saionär srömning: 0 0 Inkompressibel srömning: 0 konsan
Srande ekaioner Differenialrelaioner Implssekaionen: C Beraka infiniesimal konrollolm Anänd Renolds ransporeorem för fi konrollolm med endimensionell srömning Anag d C m m dd in d ddd d F d d d dd
Srande ekaioner Differenialrelaioner Implsekaionen: Gör på samma sä som för koninie, ilke ger: F ddd Anänd kedjeregeln: F ddd Koniniesekaionen Maeriella deriaan F ddd D D
Srande ekaioner Differenialrelaioner Krafer: Graiaion (olmkraf) F g g, g, g d g gddd Ykrafer Spänningsensorn: ij p p p
Srande ekaioner Differenialrelaioner Krafer: Beraka infiniesimal konrollolm d ddd dd d ddd df s, d ddd dd d d
Srande ekaioner Differenialrelaioner Krafer: ddd df s, ddd df s, ddd df s, : : :
Srande ekaioner Krafer: Differenialrelaioner diision med olmen, sam inför definiionen på df s, d df s, d df s, d d ddd p p p ij pij ij Kroneckers dela ij 1 om i j 0 annars
Srande ekaioner Differenialrelaioner Krafer: p d d s F p D D g p g p g p g g d d g F koneki acceleraion Lokal acceleraion graiaion rckkraf iskös kraf
Srande ekaioner Deformaion a e flidelemen Translaion: Roaion: Skjning: olmändring:
Srande ekaioner Differenialrelaioner Ykrafer Spänningsensorn: ij p p p
Skjning Deformaion a e flidelemen d d d d d d d d d d
Deformaion a e flidelemen Skjning Deformaionshasighe: d d d d 1 Små inklar ger: d d d d d 1 d d d d d 1 d d d d d d d d d d
Deformaion a e flidelemen Skjning Lå d d d d d 0 I en neonsk flid beror spänningen linjär på deformaionshasigheen m om inkompressibel 0 3 ij ij ij m m ij m dnamisk iskosie d d d d d d d d d d
Srande ekaioner Differenialrelaioner Implsekaionen: p D D g p g m p g m p g m Kan för inkompressibel srömning a en neonsk flid skrias: g m p D D Naier-Sokes ekaioner
Dimensionsanals Meod för minska kompleieen i beskriningen a e fsikalisk fenomen sam a minska anale ariabler som påerkar dea. Eempel, rörsrömning: p = f ρ, μ, L, D, Bckinghams Pi-eorem. 1. Idenifiera anal ariabler och dimensioner: 6 ariabler, 3 dimensioner (massa, längd, id). Dea medför a 6-3=3 dimensionslösa grpper kan skapas.. Finn de sörsa anal ariabler som ine kan bilda en dimensionslös grpp. Börja med a gissa a anale är de samma som anale dimensioner. Här.e. densie, hasighe och diameer 3. Skapa dimensionslösa grpper (Pi-grpper) genom a kombinera dessa med de öriga ariablerna. p ρ = g ρd μ, L D
Dimensionsanals p ρ = g ρd μ, L D = L g Re D Fannings frikionsfakor p = f L ρ D
Naier-Sokes ekaioner på dimensionslös form ρ + + = p + μ + + ρg Dimensionslösa ariabler: = L = L = T = U = U g = g g p = p ρu = U L = U L = U L = U L ρ U T + U L + U L = ρu L p + U L μ + + ρg
Naier-Sokes ekaioner på dimensionslös form ρ U T + U L + U L = ρu L p + U L μ + + ρg g L UT + + = p + μ ρul + + Lg U g Srohalale S = fl U = L Renoldsale Re = ρul Frodeale UT μ Fr = U gl S + + = p + 1 Re + + 1 Fr g
Naier-Sokes ekaioner på dimensionslös form Alernai form: 4α Re + + = p + 1 Re + + 1 Fr g Womersleale α = D πρf Renoldsale Re = ρul Frodeale μ μ Fr = U gl
Krpsrömning (Sokes-srömning) S + + = 1 Re p + 1 Re + p = p ρg L μu Re S + + = p + + Re 0 p = +
Krpsrömning kring en sfär Sokes lösning: r = U 0 1 3 θ = U 0 1 3 4 R r + 1 R 3 r 3 R r 1 R 3 4 r 3 cos θ sin θ p = p ρg 3μU 0 R R r cos θ
Krpsrömning kring en sfär Srömningsmosånd (mosåndskraf, eng. drag force) Inegraion a rck och skjspänning projicera på srömningsrikningen öer an ger mosåndskrafen Mosåndskraf: F D = 6πμU 0 R Mosåndskoefficien: C D = F D = 1 ρu 0 πr 6πμU 0 R = 1 ρu 0 πr 4μ ρu 0 R = 4 Re
Krpsrömning kring en sfär Fallande sfär (sedimenering) ρ p 4 3 πr3 du 0 d = ρ p ρ g 4 3 πr3 F g F b 6πμU 0 R F d Gränshasighe (eng. erminal eloci) du 0 d = 0 U 0 = gr 9μ ρ p ρ